函数不等式恒成立问题总结

1、函数、不等式恒成立问题解法(老师用)恒成立问题的基本类型:类型 1：设 f(x) ax2 bx c(a0),(对于任意实数R上恒成立)(1) f(x) 0在x R上恒成立a 0 且0;(2) f (x) 0在x R上恒成立a 0且0。类型 2：设 f(x) ax2 bx c(a0)(给定某个区间上恒成立)(1)当 a0 时，f (x) 0在 x 上恒成立bbb2a或 2a或 2af( ) 00f( ) 0f (x) 0在x ,上恒成立f( ) 0f( ) 0当a 0时，f(x) 0在x ,上恒成立f( ) 0f( ) 0bf (x) 0在x ,上恒成立2a 或f( ) 0类型3:f (x) 对

2、一切x I恒成立 f (x)minbb2a 或 2a0f( ) 0f (x) 对一切x I恒成立 f (x)max类型4:f (x)g(x)对一切x I恒成立(x I)f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)ming(x)max恒成、用一次函数的性质对于一次函数 f (x) kxb, xm, n有:tf (m) 0tf(x) 0包成立,f(x) 0包成立f(n) 0f(m) 0f(n) 0例1：若不等式2x 1 m(x2 1)对满足 2 m2的所有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为:m(x2 1) (2x 1) 0,；人，、，2八 八f

3、 ( 2)0令f (m) m(x2 1) (2x 1),则 2 m 2时，f(m) 0恒成立，所以只需即f (2) 02(x2 1) (2x 1) 01 .7 1,3、2,所以x的氾围是x (,)。2(x1) (2x 1) 022二、利用一元二次函数的判别式0,x R)有:对于一元二次函数 f (x)ax2 bx c 0( a(1) f (x) 0在x R上恒成立a 0 且0;(2) f (x) 0在xR上恒成立例2：若不等式(m 1)x2(m 1)x 2 0的解集是R,求m的范围。m,所以要讨论解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m-1是否是0。(1

4、)当m-1=0时，元不等式化为 2>0恒成立，满足题意；m 1 0 m 1 0时，只需9，所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 0三、利用函数的最值(或值域)(1) f (x) m对任意x都成立 f(x)min m；(2) f (x) m对任意x都成立 m f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。2B、例3：在 ABC中，已知f(B) 4sinBsin2( ) cos2B,且| f(B) m| 2恒成立，求实数 m的 42范围。解析：由,2 B,f (B) 4sin Bsin ( ) cos2B 2sin B

5、 1, 0 B , sin B (0,1 , f (B) (1,3, 42| f (B) m| 2 恒成立，2 f(B) m 2,即 m f (B) 2 恒成立，m (1,3m f(B) 2例4： (1)求使不等式a sin x cosx, x 0,恒成立的实数a的范围。解析：由于函a sin x cosx J2sin(x ), x / ,-,显然函数有最大值J2 ,a 。2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：(2)求使不等式a sin x cosx,x (0,一)恒成立的实数a的范围。 42解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y

6、 sin x cosx的最大值取不到 。2,即a取d2也满足条件，所以 a M2。a的取值。利所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。1例5：已知a 0,a 1, f(x) x2ax,当x ( 1,1)时，有f(x)恒成立，求实数a的取值范围。2C V 1,1 C 1解析：由f(x) x2 a ,得x2 _ a ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函2221211数分另在x=-1和x=1处相父，则由1 2及(1)-

7、a 得到a分别等于2和，并作出函数221 1y 2、及丫 ()x的图象，所以，要想使函数x2 ax在区间x ( 1,1)中恒成立，只须y 2x在2 2区间x ( 1,1)对应的图象在yx2 1在区间x ( 1,1)对应图象的上面即可。当a 1时，只有a 221 1才能保证，而0 a 1时，只有a才可以，所以a -,1) (1,2。2 2例6：若当P(m,n)为圆x2 (y 1)2 1上任意一点时，不等式m n c 0恒成立，则c的取值范围是()A、1 2>c <2 1 B、1 c <2 1C c72 1 D 、c V2 1解析：由m n c 0,可以看作是点P(m,n)在直线

8、x y c 0的右侧，而点P(m,n)在圆x2 (y 1)21上，实质相当于是x2 (y 1)2 1在直线的右侧并与它相离或相切。0 1 c 0|0 1 c| 1 c V2 1 ,故选 D。1二12一同步练习.1)时，f(x)包有意义，求a的取值范围1 2x a4x 一1、设f(x) lgT-,其中a R,如果x (分析：如果x (.1)时，f(x)包有意义，则可转化为1 2x a4x 0何成立，即参数分、一 1 2x离后a I一 (2 x 2 2x) , x (.1)包成立，接下来可转化为二次函数区间最值求4解。解：如果x (.1)时，f(x)何有意义 1 2x a4x 0,对x (,1)包

9、成立.x1 2a4x(2 x 2 2x) x (.1)恒成立。x21令 t 2 , g(t) (t t )又 x (.1)则 t (-,2-11Qg(t)在 t -,)上为减函数，g(t)maxg(-)22)a g(t)对t (-,)恒成立，又233>a-。442、设函数是定义在()上的增函数，如果不等式f(1 ax x2) f (2 a)对于任意x 0,1恒成立，求实数a的取值范围分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1 ax x2 2 a对于任意x 0,1包成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：Qf(x)是增函数 f(1 ax x2) f (2 a)对于任意x 0,1恒

10、成立1 ax x22 a对于任意xx2 ax 1 a 0对于任意x问题 g(x)min 0,又 g(x)min求得a 1 。0,1恒成立0,1恒成立,令g(x)x2g(0), a 0ag( -), 2 a 。即 g(x)min2, a 2ax 1 a , x 0,1,所以原1 a, a 02a 1, 2 a 0 易42 , a 23、 已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一)分析：在不等式中含有两个变量a及x,本题必须由x的范围(x R)来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式

11、4sinx+cos2x<-a+5当 x R时，不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 -a+5>(4sinx+cos2x) max设 f(x)=4sinx+cos2x 贝U f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx-1) 2 +33. . -a+5>3 a<2方法二)题目中出现了 sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin 2x,故若采用换元法把 sinx换元 成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为a+1-2sin

12、2x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t -1,1,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立2t 2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。设 f(t)= 2t 2-4t+4-a ,显然 f(x)在-1 , 1内单调递减，f(t) min=f(1)=2-a,2-a>0 a<24、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x -1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间 恒成立问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.i)当 =(-2a) 2-4(2-a)

13、=4 (a-1)(a+2)<0 时，即-2<a<1 时，对一切 x -1,+) , F(x)0包成立；ii)当 =4 (a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：0(a1)(a2)f(1)0 即a3 02ala1,2,得-3 a -2;综上所述：a的取值范围为-3 5、当x (1,2)时，不等式(x-1) 2<logax恒成立，求a的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可 以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围。解：设 Ti： f (x) =(x 1)2,T 2： g(x) logax, 则 Ti 的图象

14、为右 图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2), f(x)<g(x)包成立即 Ti的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只 需g(2) f故 log a2>1,a>1,1<a 2.6、已知关于x的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边 分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3 ,则只需考虑这两个函数的图象在 x轴上方包有唯一交点即可。解：令 T&qu

15、ot; y产 x2+20x= (x+10) 2-100, T 2： y2=8x-6a-3, 则如 图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8,而 截距不定的直线，要使和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须 位于l 1和l 2之间。(包括l 1但不包括12)当直线为l1时，直线过点(-20，0)此时纵截距为 -6a-3=160,a=163;61当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-3=0，a=2；a的范围为，1)0627、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围 分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p的范围要求x的相应范围，直接从 x直不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问 题即可转化为在-2，2内关