椭圆及其标准方程教案设计

1、椭圆及其标准方程一、 学情分析 学生在必修中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。二、 教材内容分析 椭圆及其标准方程是人教版教科书（选修）数学1-1第2章圆锥曲线与方程第二节内容。本节在教材中的地位和作用：椭圆及其标准方程在本章节是非常重要的部分，起着总领全章的作用。而圆锥曲线是高考的重点，也是教学的重点。而且本章节的内容和生活实践的联系也比较紧密，是培养学生把数学知识应用到实际生活的能力的重要章节。本章节的教学还有利于培养学生的数形结合的能力。因为椭圆，双曲线以及抛物线有相类似的性质，教学中只要真正的把椭圆的性质讲透了，那其

2、它两部分的教学也就事半功倍了。二、教学设计思想 为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的“椭圆的标准方程及其推导”，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。三、教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆、椭圆的焦点和焦距的定义。2、掌握椭圆标准方程的推导过程。 3、建立直角坐标系，根据椭

3、圆的定义建立椭圆的标准方程。（二）过程与方法通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力。（三）情感态度、价值观 通过主动探究、合作学习，相互交流，对知识的归纳总结，感受探索的乐趣与成功的喜悦，增强学生学习的信心。四、教学重点和难点重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导。难点：椭圆标准方程的推导和化简。关键点：抓住“建立坐标系”和“化简方程”两个环节。教学方法：主要采用探究实践、启发与讲练相结合 五、教学基本流程（一）动手实验，亲身体会阅读教材第43页探究1的内容，按着步骤动手画图（教师巡视指导，展示学生成果）思

4、考1：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？思考2：如果调整细绳两端的相对位置，细绳的长度不变，猜想椭圆会发生怎样的变化?师：同学们，看到老师写的标题，大家想知道什么呢？生：椭圆。（有些会说是标准方程，这时老师：是什么的标准方程呢，椭圆）。椭圆椭圆，从字面来看，同学们会想到什么图形呢？师：大家对圆应该不那么陌生吧。请大家告诉我：圆的定义是什么？生：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。师： 那么，大家想想，画圆的时候我们有什么工具呢？师生：圆规。师：那画椭圆呢，（稍停顿）有没有椭圆规呢。生：没有椭圆规，还没发明。师：不用椭圆规，这里老师有一个办法可以画出椭圆，请

5、同学们把课前准备的绳子拿出来。并翻到课本23页，按着探究1的步骤动手画一画，待会同学们在画图的过程中，要认真观察你画出来的是什么图形，图形上的点要满足什么条件？下面同桌两个人一组，动动手。师：（教师巡视）两个同学，一个同学把绳子的两端固定好，另一个同学用笔尖把绳子拉紧并在纸上慢慢地移动。师：好，这个小组已经画好了，她们画出来的是什么图形呢？师、生：是一个椭圆。师：还有哪个小组来展示一下自己的成果。.好，大家一起来看看，她们画出的是什么图形？为什么会出现这种现象呢？（二）分析实验，得出规律活动：教师用多媒体演示画图的整个过程，之后与学生探讨在华椭圆的过程中能得到什么规律。(1)在画出一个椭圆的过

6、程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？(4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？学生总结规律： 轨迹为椭圆； 轨迹为线段 ； 轨迹不存在。【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备。师：刚才在画图的过程中，我们发现这两个点（F1、F2）是固定的还是移动的？生：固定的。师：在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？生：没有

7、变，到两个定点、的距离之和等于常数。师：我们可以另它为2a。我想找一位同学来当我的助手，同学们要认真观察我们画出来的是什么图形。当定长>两定点距离的时候会画出来什么图形呢？生：一个椭圆。（板书： 椭圆）师：那如果改变两定点距离的大小，轨迹又是什么呢？生：一条线段。（板书：线段）师：很好，如果绳子的长度<两定点距离的时候又会画出怎么样的图形呢？生：画不出。师：（板书：轨迹不存在 ） （三）总结归纳，形成概念定义：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力

8、和数学语言的表达能力。师：结合圆的定义，现在我们能否给出椭圆一个完整的定义呢？谁来说说？*同学，你来说说。生：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。师：呃，概括得非常好，那么在这个定义中，我们要特别注意的是哪些地方呢？（教师一步一步地给以引导）刚才我们说在木板上画图，板是一个平面，那我们来看看，如果不是在平面的话会画出怎么样的图形呢？像一个鸡蛋的椭球吧？椭圆是平面图形，所以要加“在平面上”这几个字。要画成椭圆，这里的定长要.。生：大于两定点的距离。师：对于这句话，我们能否用数学语言来描述一下呢？也就是用数学符号来表示。生：|MF1|+|MF2|=2a师：在必修一我们

9、已经学习了集合，那我们该如何用集合的语言来表示椭圆的定义呢？生：P=M|MF1|+|MF2|=2a教师板书师：对啦，我们得到的椭圆的定义就是：平面内，到两个定点、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。师：这里呢，我们把 F1和F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离我们叫焦距。用2c来表示。师：好了，以前我们学习了圆的定义之后，我们还要求出椭圆的标准方程，那这里我们已经得到了椭圆的定义了，接下来我们还要做什么呢？（指着标题提问）对，求椭圆的标准方程。（四）合理建系，推导方程回顾：前面讲过圆的标准方程及其求圆的标准方程的步骤。问题1：请同学们回顾一下求圆的标准方程的基本步骤有哪些？建系；设点；列

10、式；化简。活动：学生通过回忆后，由他们来回答，不正确的教师给予纠正。问题2：如何选取坐标系？问题3：如何化简方程？师：下面同学们思考一个问题：我们学习过圆的方程，大家一起来回顾一下求圆的方程的基本步骤有哪些？学生2：建立直角坐标系、设点、寻找等量关系列出方程、化简方程、检验。教师：很好。接下来我用这个步骤来求出椭圆的标准方程，首先是建立直角坐标系，诶，问题来了，我们该如何选取坐标系呢，那么就请同学们互相讨论一下，看看到底应该怎样建立直角坐标系，才能使我们接下来的化简比较加容易呢？待会我请几个同学来回答。师：哪位同学能和大家说说，*，你是怎么想的呢？学生1：把F1、F2建在x轴上，以F1、F2的

11、中点为原点。师：很好，请坐！其他同学，还有不同的观点吗？学生2：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点。师：好，刚才这几位同学是这么想的，那我们一起来对比一下到底哪种方法比较好呢？生：方案一。师：为什么呢？*同学，你赞成哪种方案呢？（学生回答方案一后），你能具体说说为什么吗？生：用到椭圆的对称性。师：哦.这里就涉及到了数学美的问题，我们要充分利用图形的对称性以及简洁性。这样的图形看起来就比较和谐了。【设计意图】在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思考如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程，我想学生通过这些活动能够建立几种常见的坐标系，并列出相应的代数方程。我认为这样有利于培养学生的动手

12、实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。教师：好，建立了坐标系后，下一步我们要做什么？生：设点。师：在椭圆上任意取一个点，它的坐标可以设为（x，y）,我们也可以把F1和F2的坐标写出来。接下来（与学生一起说）我们要干什么呢？寻找等量关系，椭圆上的点要满足的条件是？生：MF1+MF2=2a师：接下来，列出方程，同学们动动手跟老师一起写一写，.诶，我们发现得到这样一个式子后，大部分学生就不会往下做了。还有极少数同学知道通过两边同时平方去根号，但是化简了一步，就无法再进行下去了，过程太复杂了。【设计意图】 我选择放手让学生化简，让学生体验化简方程的艰辛，同时注意化简的技巧，注意考

13、虑问题要有多种视角，不要一条胡同走到黑。 教师：（提示）显然两边直接平方的效果并不好，那是否有更好的方法呢？可以尝试将根式中的一项移项后，再平方。教师：好，请同学们继续化简。求椭圆的标准方程:xyOF1F2M图1设为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=2a，F1F2=2c，（m >n>0）则、移项后再平方由MF1+MF2=2a得 移项得 平方得 整理得 再平方得再整理得 师：如果我们把点M放到特殊的位置Y轴上设为M1，连接M1F1和M1F2之后发现M1F1F2是一个等腰三角形，所以这里M1F1=a,M1F2=a,OF2=c,在直角M1OF2中，我们再来看一下这个式子，看到a2-c2

14、就可以联想到什么呢？生：勾股定理。师：所以说，这里可以令b2=a2-c2。好了，我们可以对这个式子再进行进一步的化简，请同学们观察一下的系数之间有什么关系？学生：它们的乘积刚好等于右边的常数。教师：同学们的观察还是非常仔细的。好，所以，我们可以对等式两边同时除以 。 就可以得到这就是焦点在轴上的椭圆的标准方程。师：刚才在建立直角坐标系时，我发现有些同学把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点，那这样也充分利用了椭圆的对称性和简洁性，为什么我们不选择它呢？（稍停顿）其实这样也是可以的，我们只是把x轴和y轴对换了一下，那我们求出的椭圆的标准方程应该是。那这里的椭圆焦点就不在x轴上了，焦点在y

15、轴上。焦点在y轴上得出的方程同学们课后自己去验证一下。师：请同学思考：这里的大小关系如何？对比着两个方程和焦点的位置，考虑一下它们的大小与焦点所在的位置有什么关系？师：（指着直角三角形的各条边进行暗示）显然，且焦点在轴上。所以应该是哪个分母大，焦点就在哪个轴上。【设计意图】让学生自己观察，分析，得出结论，这样不仅能够使他们树立起对自己的信心，更重要的是在潜移默化中，使他们解决数学问题的能力得到了提高。（五）归纳概括，掌握特征（1）椭圆标准方程形式（2）椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系（3）椭圆焦点的位置的确定。师：下面我们来对比一下椭圆的两种标准方程，看看他们有什么相同点和不同点，首先我

16、们来看看相同点吧。（1）相同点椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1；椭圆标准方程中三个参数 , , 的关系：；椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定.（2）不同点标准方程互换x，y 图 形OF1F2xyMA1xyOF1F2MA1A2B1B2A2B1B2焦点坐标F1(-c,0），F2(c,0）F1(0,c），F2(0,-c）与坐标轴交点A1（-a，0） A2（a，0）B1（0，-b） B2（0，b）A1（0，a） A2（0，-a）B1（-b，0） B2（b，0）【设计意图】让学生通过数形结合的这种方式来熟练地掌握椭圆的有关性质。特别要强调学生注意观察，会区分

17、上面的两个图形的相同点和不同点。（六）尝试应用，范例教学例1 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4米，外轮廓线上的一点到两个焦点距离的和为3米，求这个椭圆的标准方程。【设计意图】设计此题的目的是为了巩固椭圆的标准方程中的量的关系和用对称法建立直角坐标系。师：我们既然学习了椭圆，那我们就要学会学以致用，接下来我们做一道练习题。（把题目放映出来）学生：以两焦点所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为xyOF1F2P图1根据题意得，2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2因此这个椭圆的标准方程为例2将圆上的点的横坐标不变，纵坐标变为原

18、来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。【设计意图】设计的目的有两个：(1) 对求动点的轨迹的方法进行再巩固；(2) 让学生把椭圆的方程与圆的方程来类比，巩固椭圆的标准方程。师：点拨：设点，然后寻找未知点与已知点之间的关系，列出等式，再化简。生：设所得曲线上任何一点的坐标为，圆上的对应点的 坐标，由题意可知因为，所以，即师：能不能用自己的语言来总结一下，求解这类题目的一般方法？生：设出已知点和未知点的坐标； 找出它们坐标之间的等量关系，并且用未知量的代数式表示已知量； 利用已知点所满足的关系，解出未知点所满足的关系。（七）课堂小结（让学生自己总结这节课所学的内容）1、推导椭圆的标准方程2、 椭圆两种标准方程的比较3、椭圆的标准方程的基本求法及应用【设计意图】为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。（八）作业布置1基础训练题:课本第28页1,2,3【设计意图】 为了进一步巩固椭圆的标准方程，让学生能够灵活利用椭圆的性质来求解其方程,于是我布置了上面的作业。五、评价设计1、在“椭圆的标准方程”的引入与推导中，运用“实验猜想推导应用”的思想方法。我认为这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要