人教版数学选修21第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义

1、案例(二) 精析精练课 堂 合作 探究重点难点突破知识点一平面的法向量1 .平面法向量的定义(1)定义:已知平面a如果向量n的基线与平面a垂直,则向量n叫 做平面 a 的法向量或说向量n 与平面 a 正交 .(2)平面法向量的性质：平面a的一个法向量垂直于与平面a共 面的所有向量 一个平面的法向量有无数个，一个平面的所有法向量 互相平行 .2 .平面的法向量的求法方法一 :找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量方法二 :待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系 ,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设出平面的法向量为n=(x,y,x

2、);找出(求出)平面内的两个不共线的向 量的坐标a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)； 根据法向量的定义,建立关于 x,y,z的方程组n?a 0,解方程组，取其中的一个解，即得法向量. n?b 0;这里需要说明的是:方法二必须建立空间直角坐标系 ,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系，视具体情况而定；在求平面的法向 量时，要先找有没有和平面垂直的直线，若没有则用待定系数法；在利用方法二求解平面的法向量时，方程组：?： 0；有无数多个解，只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值，即可确定平面的一个法向量.赋 予的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量.3 .平面法向量的作

3、用大，丁7详解:设ni,m2分别是平面a,的法向量,m是直线l的方向向量， %, _ T-则有:l / a或l a mX ni m m=0; 1，a m / ni;all 或 a与 重合 ni/n2； a±=njn2 ni - n2=0.知识点二三垂线定理及其逆定理.三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系.三垂线定理的符号描述如右图，PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,a a,且a LOA,则 a± PA.三垂线定理的逆定理的符号描述如上图，PO、PA分别是平面a的垂线、斜线，OA是PA在a内的射影,a a且a± PA,则a LO

4、A.关于定理的应用，首先是找出平面的垂线，至于射影则是由垂足， 斜足来确定的，因而是第二位的，由此，我们可以得出三垂线定理证明a ，b的一个程序：一垂、二射、三证，即:第一:找平面及平面的垂线；第二: 找射影线（或斜线），这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线（或 射影）;第三:证明射影（或斜线）与直线a垂直，从而得出a,b垂直.典型例题分析题型1求平面的法向量【例11已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面 a的一个法向量.解析用待定系数法求解平面a的法向量.答案 因为 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0)，所以 AB=(1

5、,-2,-4), AC 二(2,-4,-3).设平面a的法向量为n=(x,y,z),依题意，应有n -AB =0,n -AC =0,即有x 2y 4z 0，解得x 2y,令y=1,则x=2，所以平面a的一个2x 4y 3z 0, z 0.法向量为n=(2,1,0方法指导 用待定系数法求解平面的法向量，关键是在平面内找 两个不共线的向量，然后列出方程组，方程组有无数解取其中的一个解 即可，但要注意在取方程组的一组解时，不能都取零，否则得到零向量， 而零向量的方向不能确定，不能作为法向量.【变式训练11已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量答案 因

6、为 A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5)，所以 AB =(-3,4,0), AC二(-3,0,5).设平面ABC的法向量为n= (x,y,z)依题意，应有n . AB3 y x,=0,n - ac =0,即有3x4y0,解得4,即平面A的法向量为n(x,3x5z0,3z -x,53x,3x)，所以平面ABC的单位向量为 45n0= =(-.2L ,/5=，/L)或 n0=-n J 769 V 769 V769第6页/共17页二(-).201512.769 , - 769 , 一 769【例2】在棱长为1的正方体ABCD-A iBiCiDi中,求平面ACDi的法向量n和单位法向量

7、no.解析 首先建立空间直角坐标系，再用待定系数法求解平面的法 向量.答案 建立空间直角坐标系，如图，则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面 ACD1 的法向量 n=(x,y,1).得 AC =(-1,1,0), AD =(-1,0,1).又n,面ACD,得n± AC ,n± AD，所以有得 x ' .=(1,1,1),y 1,n0=n = (1,1,1)n <1 1 1方法指导 用待定系数法求解平面的法向量，应该说是个基本方 法，它具有操作简单的特点，应切实掌握其实，对于本题来说，却未必是 一个好的方法，这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DBUAD

8、1,DB1，CD1,从而DB平面ACD1,所以函就是平面ACD1的一个 法向量.【变式训练2】 已知正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为1,在 BC,DD1上是否存在点E,F,使丽是平面ABF的法向量诺存在，请证 明你的结论，并求出点E,F满足的条件；若不存在，请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,1),B(1,1,1),B1(1,1,0).设 F(0,0,h),E(m,1,1)则 AB=(0,1,0),B；E=(m-1,0,1),FA=(1,0,1-h).AB B1E=0,/.AB ±BiE.若BF是平面ABF的法向量，则B1F , FA=m-1+1

9、-h=m-h=0,h=m 即 E,F 满足 D1F=CE 时,B1F 是平面ABF的法向量.所以存在，且E,F满足DiF=CE.题型2三垂线定理及其逆定理的应用【例3】 如下图，下列5个正方体图形中，线段l是正方体的条对 角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出1，面MNP的图形 的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）解析 本题以正方体为依托，主要考查直线与平面垂直的判定，比 较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案，必须对5个图形逐 一进行判别.对于给定的正方体，1位置固定，截面MNP变动,1与面 MNP是否垂直，可以从正、反两方面进行判断，MN、NP、MP三条线 中，若有一条不

10、垂直1，则可断定1与面MNP不垂直；若有两条相交直线 与1都垂直，则可断定1， 面 MNP.答案 解法一:如果记正方体对角线1所在的对角线截面为a,各图 可讨论如下：在图中，MN、NP在平面a上的射影为同一直线，且与1垂直故1 ，面MNP.事实上，还可这样考虑：1在上底面的射影是MP的垂线，故1 IMP;在左侧的射影是 MN的垂线，故1 LMN,从而1，面MNP.在图中，由MPL面a,可证明MN在平面a上的射影不是l的垂 线，故l不垂直于MN.从而l不垂直于面 MNP.在图中点M在a上的射影是1的中点，点P在a上的射影是上 底面的中点，知MP在a上的射影不是1的垂线，得1不垂直于面MNP.在图

11、中，平面a平分线段MN,故1 LMN,又1在左侧面的射影(即 侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而1，MP,故1，平面MNP.在图中点N在平面a上的射影是对角线1的中点，故M、P在平 面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点，三个射影在同一条直线上，且1与这一直线垂直从而1，面MNP.至此,得为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角 线1的方向向量可取为1=(2,2,-2).对图，有 MP =(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),MN =(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1),由 1 MP =0,1 MN =0,得 1，面

12、MNP.对图，有 MN =(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1),由1 MN ?0知1与面MNP不垂直.对图，有 MP=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1),由1 而小0知与面MNP不垂直.对图，有 MP =(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1),MN =(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0),由1 MP=0,1 加=0,得1，面 MNP.对图，有 MP =(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2),MN =(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1),由 1 MP =0,1 MN =0,得 1，面 MNP第6页/共17页综

13、合得本题答案为.方法指导 从解法二可以看到：应用向量法讨论两直线是否垂直 十分方便，操作也比较简单，无须多动脑筋，只需要计算正确即可.【变式训练3】已知正方体ABCD-AiBiCiDi中,E、F、G分别是 棱AB、BC、BBi上的点，且BE=BF=BG,求证:BD平面EFG.答案 如下图所示，因为四边形ABCD是正方形，BE=BF,所以EF / AC,又因为ACLBD,所以EFLBD.因为BD为BDi在平面AB上的 射影，所以BDiEF（三垂线定理）.同理BDJEG,故BDi,平面EFG.【例4】 如右图,P是4ABC所在平M面外一点,且PAL平面ABC,若O,Q分别是 ABC PBC 的垂心

14、，求证:OQ,平面PBC.解析欲证线面垂直，只须证明OQ垂直于面PBC中的两条相交线，据重心，结合PAL面ABC,禾I用三垂线定理其逆定理及求解BC 平面PAE .绞安O是ABC的垂心 BC AE 口 Q是PBC的垂心 BC PE因为OQ 平面PAE,所以OQLBC,因为PAL平面ABC,BFC平 面ABC所以BFLPA,又因为。是4ABC的垂心，所以BFLAC,所以 BFL平面PAC,则FM是BM在平面PAC上的射影.因为BM,PC,根据三垂线定理的逆定理，可得FMLPC,从而PC ，平面BFM,又OQ 平面BFM,所以OQLPC,又PCA BC=C,所以OQ ，平面PBC.方法指导三垂线定

15、理及其逆定理是证明线线垂直，特别是异面 直线垂直的常用工具.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时 ，解决问题的 关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图，在正三棱柱ABC=AiBiCi中,ABJBCi, 求证:AiC±BCi.答案 如上右图，取BC、BiCi的中点分别为D、Di,由正三棱柱 的性质知ADL面BCCiBi,AiD面BCCiBi,所以BiD、CDi分别为 ABi、AiC在面BCCiBi上的射影.因为ABJBCi,所以BiD，BCi（三垂线定理的逆定理）又D、Di分别为BC、BiCi的 中点，所以BiD/CDi,所以CDBCi,所以BCAiC（三垂线定理）.题

16、型3利用法向量证明平行与垂直【例5】已知正方体OABC-OiAiBiCi的棱长为i,E是CiOi上的点, 且 CiE=!eOi,F 是 CCi 上的点，且 CiF=a FC.22第8页/共i7页(1)求平面AiBCi的一个法向量；(2)证明 EF/平面 A1BC1.解析一建立恰当的空间直角坐标系 用待定系教法求出平面AiBCi的一个法向量n,然后证明EF ±n.答案建立如右图所示的空间直角坐标系，则B(1,1,0),Ai(1,0,1),Ci(0,1,1).(1)设n=(x,y,z)是平面AiBCi的一个法向量，贝U n± BX,n，BC1,从而 n - BA1 =0,n -

17、 bc1=0y z 0, ; BA =(0,-1,1),BCi =(-1,0,1), ：n x=z=y.x z 0,取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面AiBCi的一个法向量.(2)要证明EF/平面AiBCi只要证明EF ±n.e(0,2,i)F(0,i,2),ef=(0,L). 333 3. n EF = 1-1=0,. .n，EF,. .E/平面 AiBCi. 3 3又EF不在平面AiBCi内，.EF/平面AiBCi.方法指导由于有了第(1)小题，所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由EF=CF- i11一CiE = -(GC-CQi )=-(

18、 BB-BiA )=- AB,得 EF 333/ AB,. EF/平面 AiBCi,又 EF 平面 AiBCi,故 EF/平面 AiBCi.或由 EF =(0),AB3 3二(0,1,-1)=3EF 来证明.【变式训练5】已知正方体ABCD-A iBiCiDi的棱长为2,E、F分别是BBi、DDi的中点，求证:(1)FCi /平面 ADE ;(2)平面 ADE /平面 BiCiF.答案如下图，建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0, 0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、Ci(0,2,2)、E(2,2,i)、F(0,0,i)，所以元=(0,21)、DA二(2,0,0)、AE=(0,2

19、,i).设 ni=(Xi,yi,Zi),n2=(X2,y2,Z2)分别是平面 ADE、平面 BiCiF 的法向 量，则 nil DA,ni± ae,ni?DA 2x 0,ni ?AE 2y z 0,0,2y,取 y=i.第i0页/共i7页同理可求n2=(0,i,-2).则 ni=(0,i,-2). ni FCi=(0,i,-2) (0,2,i)=0, nil FCi，又 FCi。平面 ADE,FCi / 平面 ADE.(2) ni II 及,.平面 ADE /平面 BiCiF.【例6】 在正方体ABCD AiBiCiDi中,E是棱BC的中点，试在 棱CCi上求一点P,使得平面AiBi

20、PL平面CiDE.解析 若要在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P，平面C1DE, 需建立恰当的空间直角坐标系，并设出点P的坐标，求出平面A1B1P与平面CiDE的法向量，建立方程求出点P的 坐标,确定点P的位置.答案如右图，以D为原点建立如图 所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1,则1 P(01a),Ai(1,0,1),Bi(W)E(1l0),Ci(0,1,1)： AB=(0,1,0,AP=(-1,1,a-1) ,1 ,DE=(2,1,0)DG =(0,1,1).设平面A1B1P的一个法向量为m?AB 0, n1=(x,y,z),则n1?AP 0,y 0,x y (a 1)z 0.令z

21、=1,则得x=a-1,所以平面A1BD的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x,y,z),1c则 n2.DE 0,2x y 0,令 y=1,则得 x=-2,z=-1，所以平面n2?DC1 0, y z 0.CB1D1的一个法向量为 口=(-2,1,-1).因为平面A1B1P，平面 GDE,所以n1 n2=0, -2(a-1)-1=0，解得a=1,所以当P为CG的中点时，平面ABP，平面C1DE.规律总结 此题是确定点P的位置，但考查的是两个平面垂直的 充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出两个平 面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错

22、，否则将得到错误答案【变式训练6】 如下图,zABC是一个正三角形，ECL平面ABC,BD / CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证:平面DEAL平面ECA.答案不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A( , 3 10),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),EA=(j3l-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1)，设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 Q=(xi,yi,zi)、窕=仪2,丫2否),所以得不妨取ni=(1,-3,0),n2=(3,1,2)从而计算得ni我=0，所以两个法向量 相互垂直，两个平面就相互垂直.规律方法

23、总结(1)求平面法向量的方法：求一个平面的法向量的坐标的方法步骤：建立空间直角坐标系，设出平面的法向量为n=(x,y,z) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2).根据法向量的定义建立关于x、 y、 x 的方程组n?a 0,n?b 0.解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量 .(2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量 ,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决 .(3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向

24、向量和平面的法向量 ,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决 .定时 巩固 检测基础训练1 . 下列说法中不正确的是()A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量B 一个平面的所有法向量互相平行C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D.如果a,b与平面a共面，且n±a,n±b,那么n就是平面a的一个法 向量【答案】D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2 .给定下列命题：若ni,n2分别是平面a, (3的法向量，则ni / n2 a / B ；若ni,n2分别是平面a, B的法向量，则a/ B ni

25、 -n2=0;若 n是平面a的法向量，且向量a与平面a共面，则a n=0;若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是A.1B.2C.3D.4【答案】C（点拔:正确，中a/ p=mn / m,）3 .给定下列命题：若a是平面a的斜线，直线b垂直于a在平面a内 的射影，则a，b;若a是平面a的斜线，平面（3内的条直线b垂直于a 在平面a内的射影，则a± b;若a是平面a的斜线，直线b a且b垂直 于a在平面B内的射影，则a,b；若a是平面a的斜线，直线b a, 且b垂直于a在平面a内的射影，则a± b.其中，正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.3【

26、答案】 B（点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有正确.） 4. RtAABC的斜边BCC平面a顶点A a,则 ABC的两条直角边在 平面a内的射影与斜边所成的图形只能是（）A. 一条线段或一个直角三角形B一条线段或一个锐角三角形C. 一条线段或一个锐角三角形D.一个锐角三角形或一个直角三角形【答案】 C（点拨:当平面ABC，平面a时,Rtz ABC在平面内的射 影是一条线段.当平面ABC与平面a斜交时，如右图所示，过A作AO ，a,连接 BO,CO,在 BOC 中,AB2 AO2=BO2,在 RtAAOC 中,AC2-AO2=CO2,在 RtAABC 中,AB2+AC2=BC2,在 RtAABC 中,cos/ BOC=bq2 CO2 BC2,2?BO?CO将代入彳导cos/ BOC= AO2 <0,所以/ BOC是钝角，所以 2?BO?CO BOC是钝角三角形.)5 .设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件丽-n=0 的点M的轨迹是.【答案】过点