多元数量值函数积分的概念和性质

1、多元数量值函数积分的概念和性质1.2 1.2 多元数量值函数积分的概念多元数量值函数积分的概念第一节第一节 多元数量值函数积分的概念和性质多元数量值函数积分的概念和性质 多元数量值函数积分的概念和性质 定义定义1(1(多元数量值函数积分多元数量值函数积分) )记作上的积分在为函数也简称在不致混淆的情况下上的在元函数且称此常数为多上在称函数那末同一常数时上述和式都趋于的直径的最大值当所有中怎样选取在点怎样划分如果不论作和式作乘积任取点的度量示表用个小部分任意地划分为将上的数量值函数是定义在函数可求体积即可求长或可求面积或它是可度量的界的几何形体表示一个有设. .) )( (, ,积积分分. .)

2、 )( (可可积积. .fffdMMfnkMfMnknfkkknkkkkkkkkkk)(,0)(,)(,)(., 2 , 1,),(.)(, 2 , 1),()(,)(),(,)(1多元数量值函数积分的概念和性质 .或d,)(limd10积积分分微微元元积积式式被被被被积积函函数数积积分分域域称为称为称为其中ffMfMfknkkd .d,)( ,)(d,limd,)(),()() 1 (10微微元元面面积积二二重重积积分分称为是二重积分的积分域的直角坐标是点其中上的在区域称为于是就是子区域的面积上的二元函数定义在就是那么平面上的区域是如果kkkknkkkdkkMfyxffMffxOy多元数量值

3、函数积分的概念和性质 .d,)( ,)(,limd,)(),()()2(10积微元积微元体体三重积分三重积分称为是三重积分的积分域的直角坐标为点其中上的在区域称为于是就是子区域的体积上的三元函数定义在就是那么是三维空间的闭区域如果VVMVfVfVzyxfVVfVkkkknkkkkkdVkk于是就是子弧段的弧长函数或三元上的二元就是定义在弧段那么的曲线弧段或空间是一条平面如果,)()(),()()()3(kCfC多元数量值函数积分的概念和性质 .)(,)(,limd,limd,1010积积分分路路径径一一型型曲曲线线积积分分第第对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分称为其中也称为上在曲线段称为或CCf

4、sfszyxfsfsyxfCnkkkkkdCnkkkkd .,)(,limd,)(),()()4(1,0曲曲面面积积分分第第一一型型对对面面积积的的曲曲面面积积分分也称为上在曲面称为于是就是子曲面的面积上的三元函数就是定义在那么为一片曲面如果SfSfSzyxfSSfSSnkkkkkdkk多元数量值函数积分的概念和性质1.1.线性性质线性性质 ddd)2(,dd) 1 (MgMfMgMfkMfkMkf为一常数2.2.对积分域的可加性对积分域的可加性 21ddd,)()(),()()(2121MfMfMf则除边界点外无公共部分与且设1.3 1.3 积分存在的条件和性质积分存在的条件和性质多元数量值

5、函数积分的概念和性质 dd)2(fMf LMflMLMfld,)3(则若4.4.中值定理中值定理 PfMfPCfd,)(,使点上至少存在一则在设 dd,) 1 (MgMfMMgMf则若3.3.积分不等式积分不等式多元数量值函数积分的概念和性质这这种种立立体体称称为为曲曲顶顶柱柱体体上上连连续续且且在在面面顶顶部部是是曲曲轴轴的的柱柱面面线线平平行行于于的的边边界界曲曲线线为为准准线线而而母母是是以以侧侧面面面面上上的的有有界界闭闭区区域域它它的的底底部部是是设设有有一一立立体体 ), 0 ) ,( ( ) ,( , , , DyxfyxfzzDDyxo 2.1 2.1 二重积分的几何意义二重积

6、分的几何意义1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算 xzo),(yxfz yD定义定义多元数量值函数积分的概念和性质体积体积 = =平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算底面积底面积高高类似曲边梯形面积的求法类似曲边梯形面积的求法曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算多元数量值函数积分的概念和性质多元数量值函数积分的概念和性质iiiifV ) , (xzyoDiD ),(ii 多元数量值函数积分的概念和性质（3 3）求求和和 将将 n 个个小小平平顶顶柱柱体体的的体体积积相相加加，得得到到原原曲曲顶顶柱柱体体 体体积积的的近近似似值值，即即 .) ,(11

7、iniiiniifVV （4 4）取取极极限限 设设max1的的直直径径iniD ，则则曲曲顶顶柱柱体体 的的体体积积 iniiifV 10) ,(lim. . 多元数量值函数积分的概念和性质2.2.平面薄板的质量平面薄板的质量 设设有有一一平平面面薄薄板板在在oxy平平面面上上占占有有区区域域 D，其其面面密密度度 为为 D 上上的的连连续续函函数数) ,(yx ，求求该该平平面面薄薄板板的的质质量量 m. . xyoD如何求非均匀薄板的质量呢如何求非均匀薄板的质量呢? ? 多元数量值函数积分的概念和性质（2 2）近近似似 ) , (iiiD ) , 2, , 1(ni ， 第第i块块小小薄

8、薄板板的的质质量量 im) , (ii i . . xyoD) , (ii iD （1 1）分分割割 将将区区域域 D ( (即即薄薄板板) )任任意意分分成成 n 个个子子域域：nDDD , , ,21， 并并以以i 表表示示iD ) , 2, , 1(ni 的的面面积积. . 多元数量值函数积分的概念和性质多元数量值函数积分的概念和性质9.1.2 9.1.2 二重积分的概念二重积分的概念 ) ,(limd),( 10iniiiDfyxf 多元数量值函数积分的概念和性质积分和积分和被积表达式被积表达式.),( lim d ),( 10iniiiDfyxf 积积分分区区域域被积函数被积函数积分

9、变量积分变量面积元素面积元素多元数量值函数积分的概念和性质多元数量值函数积分的概念和性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义.,的的体体积积二二重重积积分分表表示示曲曲顶顶柱柱体体当当被被积积函函数数大大于于零零时时., 的的负负值值的的体体积积二二重重积积分分表表示示曲曲顶顶柱柱体体当当被被积积函函数数小小于于零零时时多元数量值函数积分的概念和性质 .dd),(d),( DDyxyxfyxf ,dddyx xyo. D区域区域分分于坐标轴的直线网来划于坐标轴的直线网来划在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行则面积元素为则面积元素为故故二二重重积积分分可可写写为为多元数量值函数积分的概念和性

10、质xyzO32223421 d ayxaD .323a , 222表表示示上上半半球球面面被被积积函函数数yxaz .),(,d222222ayxyxDyxaD : . 1 求求积积分分的的值值根根据据定定积积分分的的几几何何意意义义例例由由定定积积分分的的几几何何意意义义知知多元数量值函数积分的概念和性质9 9. .1 1. .2 2 二二重重积积分分的的性性质质 .重重积积分分都都存存在在假假设设以以下下所所涉涉及及到到的的二二多元数量值函数积分的概念和性质多元数量值函数积分的概念和性质性质性质 7 7 （二重积分中值定理二重积分中值定理） .),(d),( ), ,( , , ) ,( fyxfDDDyxfD 使使得得上上至至少少存存在在一一点点则则在在的的面面积积为为记记上上连连续续在在有有界界闭闭区区域域设设多元数量值函数积分的概念和性质解解：区区域