特殊平行四边形典型例题解析题

1、一、参考例题例 1如下图， ABC 中，点 O 是 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设 MN 交 BCA 的平分线于点 E，交 BCA 的外角平分线于点 F.(1)求证： EO=FO(2)当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明你的结论.分析： (1)要证明 OE=OF，可借助第三条线段 OC，即证： OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证 OEC、 OCF 是等腰三角形，由已知条件即可证明 .(2)假设四边形 AECF 是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到： ECF=90°，由 (1)可证得 OE=

2、OF，所以要使四边形AECF 是矩形 ,只需OA=OC.证明： (1) CE、 CF 分别是 ACB、 ACD 的平分线 . ACE=BCE， ACF= DCFMN BC OEC=ECB， OFC= FCD ACE=OEC， ACF=OFCOE=OC，OF=OC OE=OF(2)当点 O 运动到 AC 的中点时，即 OA=OC又由 (1)证得 OE=OF四边形 AECF 是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知： ECA+ACF= 1ACB+ 1 ACD=1(ACB+°222ACD)=90即 ECF=90°四边形 AECF 是矩形 .因此：当点 O 运

3、动到 AC 的中点时，四边形AECF 是矩形 .例 2如下图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O，OFAD 于 F，OF=3 cm， AEBD 于 E，且 BE ED=13，求 AC 的长 .分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算 .即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出 BE=OE，进而得出 AB=AO，即得出 BE=OF=3 cm，求出 BD 的长，即 AC 的长 .解：四边形 ABCD 是矩形 . AC=BD,OB=OD=OA=OC 又 BEED=13 BEBO=12 BE=EO 又 AEBO ABE ADEAB=OA 即 AB=AO=OB BAE=EAO=30&

4、#176;， FAO=30° ABE AOF BE=OF=3 cm,BD=12 cm AC=BD=12 cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6 cm,BC=8 cm，将纸片沿 EF 折叠，使点 B 与 D 重合，求折痕 EF 的长 .解：连结 BD、 BE、 DF由折叠的意义可知： EFBD，EF 平分 BD.BE=ED,BF=FD四边形 ABCD 为矩形AB=CD，AD=BC， C=90°， AD BC EDO=FBO点 B和D重合BO=DO， BOF= DOE BOF DOE ED=BF， ED=BF=FD=BE四边形 BFDE 是菱形S菱形= 1&#

5、215; BD× EF=BF×CD2BF=DF，可设 BF=DF=x则 FC=8x在 RtFCD 中，根据勾股定理得：x22+62=(8x)x= 25 18262EF256EF=7.5424因此，折痕 EF 的长为 7.5 cm.2.当平行四边形 ABCD 满足条件 _时，它成为矩形 (填上你认为正确的一个条件即可 ).答案： BAC=90°或AC=BD 或 OA=OB 或 ABC+ ADC=180°或 BAD+ BCD=180°等条件中的任一个即可.典型例题例 1?如图，在菱形 ABCD中， E 是 AB的中点，且，求：（1）的度数；（ 2）

6、对角线 AC的长；（ 3）菱形 ABCD的面积分析?（ ）由E 为 AB的中点，可知DE是 AB的垂直平分线，从而，1且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出（ 2）而，利用勾股定理可以求出AC（ 3）由菱形的对角线互相垂直，可知解? （1）连结 BD，四边形 ABCD是菱形，是 AB的中点，且，是等边三角形，也是等边三角形（2）四边形 ABCD是菱形， AC与 BD互相垂直平分，（3）菱形 ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是 60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点例 2? 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F求证：分析 ? 要证明，可以

7、先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论证明 ? 四边形 ABCD是菱形，且，例 3 已知：如图，菱形ABCD中， E，F 分别是 BC，CD上的一点，求的度数 .?解答：连结 AC.?四边形 ABCD为菱形，.?与为等边三角形 .?， ，为等边三角形 .?，说明 本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连 AC，证.?例 4 ? 如图，已知四边形和四边形都是矩形，且求证：垂直平分分析 ? 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分证明：四边形、都是矩形，四边形是平行四边形，在和中四边形平分垂直平分例 5? 如图

8、，求证：分析? 要证?，是平行四边形四边形是菱形? 平分? 中，、在直线上，且，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论证明 ?四边形，是平行四边形，在和中 ? 同理：? 四边形是平行四边形? 四边形是菱形?典型例题例 1? 一个平行四边形的一个内角是它邻角的 3 倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析 ? 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数解?设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为x，根据题意，得3，解得，这个平行四边形的四个内角的度数分别为 45°， 135°， 45°， 135°例2?已知：

9、如图，的周长为，对角线 AC、BD相交于点 O，的周长60cm比的周长多 8cm，求这个平行四边形各边的长分析 ? 由平行四边形对边相等， 可知平行四边形周长的一半30cm，又由的周长比的周长多 8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长解? 四边形为平行四边形，答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm， 11cm说明：学习本题可以得出两个结论：（ 1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差例 3已知：如图，在中，交于点 O，过 O点作 EF交 AB、CD于 E、 F，那么 OE、OF是否相等，

10、说明理由分析 ? 观察图形，从而可说明证明? 在中，交于 O，例 4? 已知：如图，点 E 在矩形 ABCD的边 BC上，且，垂足为 F。求证：分析 ? 观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明 ? 四边形 ABCD是矩形，又，。若例 5O是ABCD对角线的交点，的周长为 59，则_，与的周长之差为，则，ABCD的周长=_.?15_解答：ABCD中，.?的周长.?在ABCD中，.?的周长的周长? ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差 .?例 6?