均值不等式常考题型

1、.均值不等式及其应用一均值不等式1.（1）若 a,bR ，则 a 2b22ab (2)若 a,b R ，则 aba 2b2（当且仅当 ab 时取“=”）22. (1)若 a, bR*，则 abab(2)若 a,bR* ，则 a b2ab （当且仅当 ab 时取“ =”）22(3)若 a,b*，则 aba b(当且仅当 ab 时取“ =”）R23. 若 x0 ，则 x12 (当且仅当 x1时取“ =”）; 若 x 0 ，则 x12 ( 当且仅当 x1时取“ =”）xx若 x0 ，则 x112或 x1-2 (当且仅当 a b 时取“ =”）x2即 xxx3. 若 ab0 ，则 ab2( 当且仅当

2、ab 时取“ =”）ba若 ab0 ，则 ab2即 ab2或 ab-2 ( 当且仅当 ab 时取“ =”）bababa4. 若 a,bR ，则 ( a2b ) 2a 2b 2（当且仅当 ab 时取“ =”）2注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3) 均值定理在求最值、 比较大小、 求变量的取值范围、 证明不等式、 解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1：求下列函数的值域211（ 1） y 3x 2x 2（ 2） y x x解：（ 1） y

3、 3x212 2212 6值域为 6， +）3x ·2x2x11（ 2）当 x 0 时， y xx 2x· x 2；当 x0 时， y x 1= （1） 21= 2xx xx·x值域为（， 2 2， +）解题技巧：技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y4x21的最大值。44x5解：因 4x50，所以首先要 “调整” 符号， 又 (4 x 2)1不是常数， 所以对 4x2 要进行拆、 凑项，4x5x5 , 5 4x 0 ，y 4 x 2155 4x51323144 x4x当且仅当 5 4x1，即x1时，上式等号成立，故当x1 时， ymax 1。54x评注：本题

4、需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。;.技巧二：凑系数例 1.当时，求 yx(82x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2x(82x)8为定值， 故只需将 yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x2 时， y x(82x) 的最大值为 8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设 0x34x(32x) 的最大值。，求函数 y232解： 0x 3 2x0 y4x(3 2x) 2 2x(3 2x)2 2x 3 2x9

5、222当且仅当 2x32x, 即 x30, 3时等号成立。42技巧三 ： 分离例 3. 求 yx27x101)的值域。(xx 1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当, 即时 , y2 （ x1)45 9 （当且仅当 x 1 时取“”号）。1x技巧四 ：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1，化简原式在分离求最值。y27(t）25t4t45(t 1)1 +10 = tttt当, 即 t=时, y 2t459（当 t=2 即 x 1 时取“”号）。t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分

6、开再利用不等式求最值。即化为 ymg( x)AB( A0, B0) ，g(x) 恒正或恒负的形式， 然后运用均值不等式来求最值。g (x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)a的单调性。xx例：求函数yx25 的值域。x24解：令x24 t (t2) ，则 yx25x2414t1 ( t 2)x24x2t因 t 0,t11，但 t1解得 t1 不在区间 2,，故等号不成立，考虑单调性。t1t5因为 yt1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故 y在区间。t2;.所以，所求函数的值域为5 ,。2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x

7、的值 .（ 1） yx23x1,( x0)（2） y2x1, x3(3)y2sin x1, x(0,)xx3sin x2已知0x1，求函数 yx(1x) 的最大值 .；3 0x2yx(23x) 的最大值 .，求函数3条件求最值1. 若实数满足 ab 2 ，则 3a3b 的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a 3b 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3b 都是正数， 3a3b 23a3b23a b6当 3a3b 时等号成立，由 ab2 及 3a3b 得 ab1即当 ab1时， 3a3b 的最小值是 6变式：若 log 4xlog 4y 2 ，求11x的最小值 .

8、并求 x,y 的值y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y191，求 xy 的最小值。0 ，且xy错解 ：x0, y0 ，且191 ，199xy min 12xyxy22 xy 12故。xyxyxy错因：解法中两次连用均值不等式，在xy 2xy 等号成立条件是xy ，在 1929等号成立xyxy条件是 19即 y 9x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出xy等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ： x 0, y 0, 191， x yx y19y9x 10

9、6 10 16xyxyxyy9x194, y 12 时， x y min 16 。当且仅当x时，上式等号成立，又x1，可得 xyy变式：（ 1）若 x, y R且 2 x y1，求 11 的最小值xy(2) 已知 a, b, x, yR且 ab1 ，求 xy 的最小值xy技巧七 、已知 x， y 为正实数，且x 2y 21，求 x2的最大值 .21 y;.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2 b 22。1y 2中 y2 前面的系数为11 y 21 y21 y2同时还应化简，x x 2 x·2·222212下面将 x，y2 2分别看成两个因式：22 (1y

10、 2)22y 212x2x 223131 y22yx·2 222 4即 x 1 y 2 ·x2 2 42技巧八：已知a， b 为正实数，2b ab a 30，求函数 y 1的最小值 .ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a 30 2b30 2b 2 b 230b，·bb 1b1ab b 1由 a 0 得

11、， 0 b 15 2t 2 34t 311616令 t b+1， 1 t 16，ab 2（ t t ） 34 t t 2t1 ab 18 y 18 当且仅当 t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 u ab则 u2 2 2 u 30 0， 5 2 u 3 21 ab 3 2 ， ab 18， y 18ab点评： 本题考查不等式ab（ a, bR ）的应用、 不等式的解法及运算能力；216t· t 8如何由已知不等式 aba（R）2b 30 a,b出发求得 ab 的范围， 关键是寻找到 a b与 ab

12、 之间的关系， 由此想到不等式 abab（a, b R）ab 的不等式，进而解得 ab 的范围 .，这样将已知条件转换为含2变式： 1.已知 a>0，b>0， ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数W 3x 2y 的最值 .a ba 2 b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，2，本题很简单23x 2y 2（ 3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定

13、值”条件靠拢。W 0， W 2 3x2y 23x · 2y 10 23x · 2y 10 (3x )2· (2y )2 10 (3x 2y) 20 W 2025变式 :求函数 y2x152 x( 1 x 5 ) 的最大值。2 2解析：注意到 2 x 1与 5 2x 的和为定值。;.y 2( 2 x 152 x )24 2 (2 x 1)(5 2 x) 4 (2 x 1) (5 2 x) 8又 y 0 ，所以 0y 22当且仅当 2x1= 52x ，即 x3故 ymax 2 2 。时取等号。2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

14、总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1已知 a,b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b2c2abbcca1）正数 a， b， c 满足 a b c1，求证： (1 a)(1 b)(1 c) 8abc例 6：已知 a、 b、 cR ，且 ab c1 。求证：1111118abc分析：不等式右边数字8 ，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2 ”连乘，又111a b c2bc，可由此变形入手。aaaa解：a、b、cR ， abc1 。111abc2bc 。同理 112 ac ， 1 12ab 。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111 1112 bc 2 ac 2 ab8 。当且仅当 abc1时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x 0, y0 且 191，求使不等式xym 恒成立的实数 m 的取值范围。x