高中数学会考知识点总结1-(填空)

1、5 / 21高中数学知识点复习资料第一章集合与简易逻辑1、集合常用数集：自然数集： ；正整数集： ;整数集： ;有理数集： ;实数集： 2、子集A B时，A有两种情况： A =与A丰性质：若A B,BC ,则 A C ;若 A B,B A 则 AB ;3、真子集定义：A是B的子集，且B中4、补集定义：记作：CUAx|性质：A CUA,CU(CUA)5、交集与并集(1)、交集：AB x|性质：、A A,A、若B B,则(2)、并集：A B x|性质：、A A,A、若B B,则一兀二次不等式2一, 八ax bx c 0( a 0)的解集一兀二次不等式2 ., 八ax bx c 0(a 0)的解集不

2、等式解集的 是相应方程的解7、绝对值不等式的解法：(“>”取 , 取 )(1)、当a 0时，|x| a的解集是x|xa,x a , |x| a的解集是x| a x a(2)、当 c 0 时，| ax b | c ax bc, ax b c, | ax b | cc ax b c8、简易逻辑:(1)逻辑联结词;构成三种形式的命题：p或q、p且q、非p；三种形式的命题(p或q、p且q、非p)判断真假的方法1、思路：、确定复合命题的结构, 、判断构成复合命题的简单命题的真假，、利用真值表判断复合命题的真假；2、真值表：p或q,同假为假，否则为真；p且q,同真为真；非p,真假相反。(2)、四种命

3、题：原命题：若 p 则 q； 逆命题 ：;否命题：; 逆否命题：互为逆否的两个命题是等价的。(3)、充分条件与必要条件：若p q ,则p叫q的充分条件；若p q ,则p叫q的必要条件；若p q ,则p叫q的充要条件；第二章函数1、函数：(1)、定义：设A, B是非空数集，若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有,就称f： A - B为集合A到集合B的一个函数，记作 y=f (x),(2)、函数的三要素： , , ;自变量 x的取值范围叫函数的 ,函 数彳t f (x)的范围叫函数的 ,定义域和值域都要用 表示；(3)、函数的表示法常用： , , ;(4)、求值域的一般

4、方法：、图象观察法:y 0.2凶，y x2 4x,x 1,5), y x2 2x 2、单调函数：代入求值法:1 y log 2 (3x 1),x -,33、“一次”分式：yx2 sin x,y2x 12 sinx(5)、求f (x)的一般方法:、待定系数法：一次函数f(x),且满足 3f (x 1) 2f (x 1)2x 1乙求 f (x)1 c 1、配凑法：f(x -) x2 下，求f(x) x x、换元法:f (Jx1) x 2 v, x ,求 f (x)1,、解方程(方程组)：定义在(-1 , 0) U ( 0, 1)的函数f (x)满足2f( x) f(x),求f (x) x2、函数的

5、单调性:(1)、定义：区间 D上任意两个值 x1, x2 ,若 时有,称f(x)为D上增函数;若 时有,称f(x)为D上减函数。(一致为增，不同为减)(2)、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间 ;(3)、判断单调性的一般步骤：、设 ？ ?,、作差，、变形，、下结论(4)、复合函数y fh(x)的单调性： 为增，为减;3、指数及其运算性质:当n为奇数时，%an ；当门为偶数时，；/mm分数指数哥：正分数指数哥：an ；负分数指数哥：a n 4、对数及其运算性质：(1)、定义：如果ab N(a 0,a1),数b叫以a为底N的对数，记作，其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为 ,以

6、e=2.7182828为底叫自然对数：记为 lOgam n b(2)、性质：1的对数等于:、底的对数等于 :、loga(MN ): lOg a M "5、指数函数和对数函数的图象性质函数指数函数对数函数定义图象(非奇非偶)性定义域值域质单调性图定点象图象关系yax的图象与ylog a x的图象关于_对称第三章数列(一)、数列：(1)、递推公式：很多数列是用递推关系来定义的,如等差数列是用:如等比数列是用:(n 1)(2)、数列前n项和公式Sn与通项公式an的关系：an(n 2)(二)、等差数列：(1)、通项公式：an(整理后是关于 n的 函数)；(2)、前 n 项和：1. Sn 2.

7、 Sn(整理后是关于 n的没有 的 函数)(3)、等殳数列 an ,若n m p q ,则an、am、au、av四项的关系为 (4)、等差数列的证明方法：、定义法：对于数列 an ,若(常数)，则数列an是等差数列。、任意连续三项成等差数列：对于数列an ,若2an1 an an2,则数列an是等差数列。(5)、等差数列的性质：若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，k N ,那么Sk, , 成等差数列。S3 k如图所示：a1a2a3akak1 a2ka2k1a3kSkS2k SkS3k S2k(三)、等比数列:(1)、通项公式：an aqn1 (当a1 >0且q>0时，可类比于

8、 函数)(2)、前n项和Sn,(q 1),(q 1)(3)、对于等比数列 an ,若n m u v ,则an、am、au、av四项的关系为 (4)、等比数列的证明方法：、定义法：对于数列an ,若,则数列an是等比数列。、任意连续三项成等比数列：对于数列an ,若anan 2 a2 1,则数列an是等比数列。(5)、等比数列的性质：若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N*,那么& , , 成等比数列。如图所示：al a2 a3SkS3 kakak 1a2ka2k 1a3kS2k SkS3k S2k（四）、求数列前n项和公式的方法：12n、转化法：（2 3 5 ） （2 3 5

9、 ）（2 3 5 ）1 2 3 4( 1)n 1 n、裂项相消法:1112 8 151(n 2)n、错位相减法：“差比之积”的数列:? ，一 一?= 227?，求前n项和.（五）、求数列通项公式的方法：、迭加法：a1=3, an+1-an = 2?+ ?、迭乘法:c an 11a1=2, Znan2、已知前n项和公式Sn和通项an之间的递推关系时，怎么办？已知数列?粉,?,都有？?= 5?+ 1 ,求数列?7的通项公式第四章三角函数1、弧度制：1弧度 弧长公式：l （ 是角的弧度数）扇形面积：S 2、三角函数 （1）、定义：（如图）（2）、各象限的符号:(3)、 特殊角的三角函数值的角度030

10、456090120135150180270360的弧度064322T3不5-632sincostansintancos3、同角三角函数基本关系式(1)平方关系：(2)商数关系：(3)同角三角函数的常见变形：(活用“1”)、sin21 cos2 , sinv1 cos2 ； cos21 sin2 , cos V1 sin2 tan，tan(sin cos )2,V1 sin 2|4、诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)公式一：sin( k 360 ) sin cos( k 360) cos tan( k 360 ) tan公式二：公式二：公式四：公式五：sin(180)sin(180)sin()

11、sin(360)cos(180)cos(180)cos()cos(360)tan(180)tan(180)tan()tan(360)S()：sin(S() : sin(C():cos(aC()： cos(aT():tan(T() : tan(例:)的整式形式为:tantan tan(若 A B 45则(1tan A)(1 tanB)6、辅助角公式：sin xcos x.3 sin x cos xcosx - sin x.3 cosx - sin x3 sin x -3cosx1一 cos x -4- 3sin x47、二倍角公式：(1)、S2sin 2(2)、降次公式:(多用于研究性质)C2c

12、os2sin cos2 sinT2 :tan 22 cos-(3)、二倍角公式的常用变形：、，1 cos2,1 cos2.44sin cos44,cos sinsin(2)sin( 2)3 sin(-2-)3 sin( )cos( 2)cos( 2)c0s得)cos(-2)33tan( 2)tan( 2)tan( 22)tan( )5、两角和与差的正弦、余弦、正切9、三角函数的图象性质(1)、函数的奇偶性：、定义：对于函数f (x)的定义域内白任意一个 x,若都有： ,则称f (x)是奇函数, 若都有： ,则称f (x)是偶函数、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称；、奇函数，偶函数

13、的定义域关于 对称；(2)、正弦、余弦、正切函数的性质( k Z )函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间y sin xy cosxy tanxy sin x图象的五个关键点：y cosx图象的五个关键点： y Asin( x)和 y Acos( x )的周期 T y Atan( x)的周期 T ；10、三角函数求值域(1) 一次函数型：y Asinx B,例：y?_._ .? ?2sin(3x 6) 5,xC0, 3, y sinxcosx, x -,-10 / 21(2)二次函数型：ysin x?cos2x, x e 0,311、解三角形：(1)三角形的面积公式:(2)在 ABC 中：

14、Asin(A B)cos(A B)tan(A B). /A B、 sin()cos(tan(3)正弦定理，余弦定理一a正弦定理：sin A sin Ba 2Rsin A, b2a余弦定理：b22cb22a2a2c2cb22bc cos A2ac cosB一一2 一2abcosC (a b) 2ab(1cocC)应用：若分别有:b2b2abJ2ab,则分别可得到结论:b2(1)单位向量：长度等于3ab第五章、平面向量1、空间向量:个单位长度的向量叫单位向量；与向量a平行的单位向量：eab；规定0与任何向量的非零向量叫平行(共线)向量，记作(2)平行向量：方向2、(2)、数乘(实数与向量的积)：、

15、定义：实数 与向量a的积是一个向量，记作： a ；：它的长度：| a| ；：它的方向：当 0, a与向量a的方向；当 0, a与向量a的方向.3、平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内的两个 的向量，那么对平面内的任一向量a,有且只有一对实数 1, 2,使a ；的向量e,e2叫这个平面内所有向量的一组基向量，ee 叫。4、平面向量的坐标运算：(1)坐标运算：设 a x1, y1 , b x2,y2 ，贝U a b ,设A、B两点的坐标分别为(X1, yi),(X2, y2),则AB , .(3)实数与向量的积的运算律：设a x, y ,则入a,(4)平面向量的数量积：、 定义： a b,

16、 0 a 0； |a|2 a a x2 y2.、平面向量的数量积的几何意义：向量a的模ia与 在 的方向上的投影 的乘积；、a b、设 是向量 a x1,y1 ,bx2, y2 的夹角，贝U cos ,5、重要结论：(1)、两个向量平行的充要条件：a/b ( R)设 ax1, y1 , b x2, y2 ，贝U a b (2)、两个非零向量垂直的充要条件：a b设 a x1, y1 , b x2, y2 ，贝U a b(3)、两点 Ax1,y1 ,B x2,y2 的距离：| AB| 21 / 21第六章：直线和圆的方程1、倾斜角和斜率:(1)倾斜角：范围:(2)斜率：ko2： i tan a(

17、3)直线上两点P1(x1, y1), P2(x2,y2),则斜率为k2、直线方程：直线方程的五种形式(2)、斜截式：(1)、点斜式：(3)、截距式：(截距是直线与坐标轴的,可正可负可为零 )(4)、一般式：斜率ky轴截距为3、两直线的位置关系(1)平行：1112A1B1CiB2C2lll2；垂直：l1 l2(2)使用公式的准备工作点到直线的距离公式d(直线方程必须化为般式)两平行线间的距离公式：d(即一条直线上任一点到另一条直线的距离)4、圆的方程:(1)圆的标准方程,圆心为C(a,b),半径为r(2)圆的一般方程22D 2E 2x y Dx Ey F 0 (配方：(x 万)(y -)22D

18、2 E 2 4F4时，表示一个以为圆心，半径为 工JDe1 4F的圆2(3)圆的参数方程为(为参数)，圆心在原点时:(为参数)(参数方程的实质是曲线上点的横、纵坐标)(4)直线与圆位置关系：已知直线Ax By C 0和圆(x a)2 (y b)2 r2使用圆心到直线的距离 d与r比较，相离d r ,相切d r,相交d r ；(5)求圆的切线方程：设 点斜式，用圆心到切线的距离等于半径，求斜率；、过圆x2 y2 r2上一点M(Xo, yo)的切线只有一条，方程为：x°x y°y r2、过圆外一点的切线一定有、斜率为已知的某定值的切线第七章：圆锥曲线222由双曲线求渐进线：、1

19、a2 b22x-2ab22、求离心率e ：方法一:c用e的定义e ；法二：得到与aa、b、c有关的方程，解方程，求3、直线和圆锥曲线的位置关系：(1)、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法(基本思路)直线方程.、，一联立一消元一一元二次方程一判别式A圆锥曲线方程(方程的思想)(2)、求弦长的方法：1 k 21y1 y2 |1、r, 1 2 )( y1k2y2) 4yy2(消 y)(消 x)求交点，利用两点间距离公式求弦长；弦长公式l J - x1 x2(1 k 2 )( X1X2)24X1X2(3)、与弦的中点有关的问题常用“点差法”把弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，作差一弦的斜率与中点的关系；

20、(弦的中点与弦的斜率可以相互表示)(4)、与抛物线只有一个交点的直线：一相切，二与对称轴平行4、圆锥曲线的最值问题:(1)、结合曲线上的点的坐标，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值;在y22 px上的点常设2(_y_,y),在x2 2 py上的点常设2p2（X，2P）(2)、利用数形结合求最值；基本思路：与直线平行，与曲线相切(椭圆中，长轴是最长的弦；双曲线中，实轴是最短的弦。第八章直线平面简单的几何体公理1 ：如果有一条直线的在一个平面内,1、平面的性质：3、直线与平面的位置关系：J直线在平面内.记作aA a =A直线在平面外 j直线与平面 直线与平面,记作aC a =A,记作公理2

21、：如果两个平面有一个公共点，那么 公理3: 的三点确定一个平面。2、两条直线的位置关系：平行，相交，异面的两条直线叫异面直线空间平行直线：公理 4: 4、直线与平面平行:定义：直线和平面没有公共点。(1)、判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(线线平行线面平彳t)l ,m ，且l/m l /(2)、性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.(线面平行线线平行)l，l ,m l/m5、两个平面平行： 定义：两个平面没有公共点。(1)、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平

22、面,那么这两个平面平行。(线面平行面面平行) 推论：如果一个平面内有两条 相交直线分别平行与另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。(2)、性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行线线平行)两个平面平行，其中一个平面内的直线， 平行于另一个平面；(面面平行线面平行)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。平行间的相互转化关系：线线平行4=线面平行 三W 面面平行6、直线和平面垂直： 定义：如果一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，叫直线和平面垂直。(常用于证明线线垂直：线面垂直线线垂直)(1)、判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直

23、线都垂直，则直线和这个平面垂直。(线线垂直线面垂直)(2)、性质定理：过一点和已知平面垂直的直线只有一条，过一点和已知直线垂直的平面只有一条。如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。线段垂直平分面内的任意一点到线段两端点距离相等。(3)正射影：自一点 P向平面 引垂线，垂足 P叫点P在 内的正射影(简称射影)斜线在平面内的射影：过斜线上斜足外一点，/r平面的垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线在平面内的射影。 (4)三垂线定理：在平面内的一条直线和平临一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。7、两个平面垂直： 定义：平面角是直角的二面角叫直二面角，相交成直二面角的两个平面垂直。

24、(1)、判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(线面垂直面面垂直)(2)、性质定理：两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面。(面面垂直线面垂直)垂直间的相互转化关系：线线垂直 .线面垂直 ，,面面垂直8、空间向量：在空间具有大小和方向的量，空间任意两个向量都可用同一平面内的有向线段表示。(1)、共线向量定理：空间任意两个向量a, b (b 0), a/ba b ( R)空间直线的向量参数表达式( P在面MAB内的充要条件)OP OA ta 或 OP OA tAB (1 t)OA tOB (a 叫直线 AB,11 _当t 时，点P是线

25、段AB的中点，则OP (OA OB)22(2)、共面向量定理：两个向量a, b不共线，则向量p与a , b共面p xa yb (x, y R)平面的向量表达式(P在面MAB内的充要条件)：MP xMA yMB或OP OM xMA yMBO为空间任一点，当 OP xOAyOBzOC且x y z 1时，P、A、B、C四点共面。(3)、空间向量基本定理：如果三个向量c不共面，那么对空间任一向量p ,存在一个的唯一有序实数组x, y, z,使pxa yb zcb , c叫基底,c叫基向量。如果三个向量a、b、c不共面，那么空间向量组成的集合为p|p xa yb zc, x,y,z R °(4

26、)、两个向量的数量积:a b |a|b|cos a,b ,向量 a 的模 | a|： |a|2 a a向量a在单位向量e方向的正射影是一个向量，即 a e | a | cos a,e(5)、共线向量或平行向量：所在的直线平行或重合的向量;直线的方向向量：和直线平行的向量;共面向量：平行于同一平面的向量;平面的法向量：和平面垂直的向量。法向量的求法：设是 a (a1,a2,a3),b(b1，b2，b3)平行于平面的两个不共线向量,9、a(x, y, z)是平面的法向量，则：b空间直角坐标系：单位正交基底常用i, j, k来表不。(如图)(1, 0, 0) j (0,1, 0) k (0, 01)

27、其中：i 1,-12-.2k7k 0,1、空间向量的坐标运算：设a (a1，a2,a3)(b1,b2h)，则(1)(a1 b，a2b2&bs)； (2)b (ab1,a2b2,a3b3)(3)(科包)(a1，a2,a3)(R);(4)/ b匕色b2，a3ab1曳b2ab3)；(5)b 0a1bl a2b2(6)b |cosv a2 一2 一2a0-21口a2 b2a3 b3 a a1 a2a3 cosv a由此可以得出：两个向量的夹角公式 cosv a , b > =为“a2b2a3b3二a；a2a2、b2b2bf当 cos va、b>=1 时，a与 b 同向；当 cosv

28、 a、b> = 1 时，a 与 b 反向；当 cos va、b>=0 时，a± b.17 / 21在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),AB (X2 x/ yiZ 乙)a、b 两点间的距离公式：dA、b 7(X2X7一(yi y2)2(ZiZ2)2A、B中点M坐标公式：OM1画 OB) = U,2J_U) 222210、角(1)、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同。(2)、最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最/、的.公式：cos co

29、s 1 cos 2；(3)、角的范围:、异面直线所成的角的范围：02两条直线所成的角的范围：02两个向量所成的角的范围：0、斜线与平面所成的角的范围：02直线与平面所成的角的范围：02、二面角的范围：0(4)、定义及求法:、异面直线所成的角：已知两条异面直线a、b ,经过空间任一点O作a' / a , b' / b , a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a与b所成的角(或夹角).范围:(0，万求法一：作平行线；求法二：(向量)两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦。、斜线和平面所成的角： 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角；

30、斜线和平面不垂直，不平行。如果直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0°的角。求法一：公式cos cos 1 cos 2 ；求法二：解直角三角形，斜线、斜线的射影、垂线构成直角三角形;求法三：向量法：已知 PA为平面 的一条斜线，n为平面 的一个法向量，过 P作平面 的垂线PO,连结OA则PAO为斜线PA和平面 所成的角为，则sin|sin(OP, AP ) |28 / 21AIAPO.面角的平面角：垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线所成的角。求法一：几何法：一作二证三计算 .利用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角，再解直角三角形;平面的法向量为n,过点P作平面 的垂

31、线PO,记PA和平面 所成的角为(3)、两个平行平面的距离：两个平行平面的共垂线段的长度；求法：转化为点到平面的距离来求。(4)、异面直线的距离：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分；(公垂线是唯一的，必须垂直相求法一：解直角三角形；求法二：异面直线上任意两点的距离公式：12 d2 m2 n2 2mncos求法三：向量法：先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上两点的连线在公共法向量上一二二 In PA II cos OP , AP | | cos n, AP | I n | PA |、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，直线叫二面角的棱;(2)、直线到平行

32、平面的距离： 直线上任一点到与它平行的平面的距离；求法：转化为点到平面的距离求。EF n的射影长。设E、F分别是两异面直线上的点,n是公共法向量，则异面直线之间的距离d求法一：向量法：二面角的两个半平面的法向量所成的角(或其补角)ni和n2分别为平面 和 的法向量，记二面角 1的大小为11、距离(满足最小值原理)(1)、点到平面的距离：一点到它在平面内的正射影的距离求法一：解直角三角形；求法二：等积法，利用体积相等;则点P到平面的距离dn ,n2 (依据两平面法向量的方向而定)n|n1 n2 |iarccosI n n2 II n1 11n2 I> »|以|也|,若二面角l为钝

33、二面角则arccos：I 必 11n2 | n n2 |求法三：向量法：如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点,| PO | I PA I sin1f| n PA |I n |则n1,n2 或i>总有 | cos | | cos n1 ,n2若该二面角为锐二面角则O-B AnO B第十章 排列 组合 二项式定理1、计数原理：分类计数原理(加法原理)N m1m2 Lmn.(每步都能完成)分步计数原理(乘法原理)Nm1m2 L mn.(多步才能完成)2、排列：(1)定义：从n个不同元素中取出 m (nw m)个元素，按照一定的顺序排成一列，与顺序有关。n!.一(2)、排列数公式：An = n(n 1) (n m 1) =.(n , mCN,且 m n).(n m)!(3)、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列；Annn!；AnnnAn1n 1 ;nA：An111A(4)、价乘：正整数 1 到 n 的连乘积； n! n(n 1)(n 2)3 2 1n (n 1)! ； 0! =13、组合：(1)定义：从n个不同元素中取出 m (nwm)个元素，并成一组，与顺序无关；(组合完成了排列的第一步：Anm Cnm Amm)o(2)、组合数公式：cnm = JAnm= n(n-1一(n一m-") =n( n , m e N*,且 m n)； Cn0 1