清华大学-杨虎-应用数理统计课后习题参考答案

1、习题一1 设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）； 2）； 3）； 4）.解 设总体的样本为，1）对总体，其中：2）对总体其中：3）对总体4）对总体2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.解 设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：表1.1 频率分布表i0 1 2 3 4个数6 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1经验分布函数

2、的定义式为：，据此得出样本分布函数：图1.1 经验分布函数3 某地区测量了95位男性成年人身高，得数据(单位：cm)如下： 组下限165 167 169 171 173 175 177组上限167 169 171 173 175 177 179人 数3 10 21 23 22 11 5试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.4 设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.解 因k较大，由中心极限定理,：所以：查表得：，.5 从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落

3、在50.8到53.8之间的概率.解 6 从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.解 设两个独立的样本分别为：与，其对应的样本均值为：和.由题意知：和相互独立，且： ， 7 设是总体的样本，试确定C，使得. 解 因，则，且各样本相互独立，则有：所以： 查卡方分位数表：c/4=18.31，则c=73.24.8 设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：试确定统计量的分布.解 由已知条件得：，其中.因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有，.9 设是来自总体X的样本，试求。假设总体的分布为：1） 2) 3)

4、4) 解 1) 2) 3) 4) 10 设为总体的样本，求与。解又因为 ,所以：11 设来自正态总体，定义：，计算.解 由题意知，令：，则 12 设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解 1)， 所以：2) 令： 所以： 计算可得：3) 查表可得： ，而取整数，.13 设和是两个样本，且有关系式：（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.解 因： 所以：即：14 设是总体的样本.1) 试确定常数，使得，并求出；2) 试确定常数，使得，并求出和.解 1）因：，标准化得：，且两式相互独立故：可得：，.2） 因：， 所以

5、：， 可得：.15 设分别是分布和分布的分位数，求证.证明 设，则： 所以： 故：.16 设是来自总体的一个样本，求常数，使： . 解 易知，则； 同理，则 又因：，所以与相互独立. 所以：计算得：c = 0.976.17 设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证： 1）； 2）； 3）.解 1）因：， 所以：， 又： 且：与相互独立 所以： 2） 由1）可得：3） 因：，所以：18 设为总体的样本，为样本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 设为总体的样本，试求：1）的密度函数； 2）的密度函数；解 因：， 所以的密度函数为：， 由定理： 20 设为总体的样本，试求

6、：1）； 2）解 21 设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：1）； 2）；3）解 1）因为：所以：，且与相互独立，由抽样定理可得：2）因为：，且与相互独立，所以：3）因为：，所以：，且与相互独立，由卡方分布可加性得：.22 设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？解 由抽样分布定理：,查表可得：，.23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.解 设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，又因分别为两独立的样本方差：所以：. 24 设总体，抽取容量为20的样本，求概率1）；2）.解 1）因，且各样本间相

7、互独立，所以：故：2）因：, 所以：25 设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：1） 已知；2） 未知，但已知样本标准差.解 1） 2）26 设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：1） 2）3）确定C，使.解 1） 2）其中,则 3） 其中，则所以： ,计算得：. 27 设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数. 证明 所以：.28. 设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.解 因，为该总体的简单随机样本，令，则有 可得：习题二1 设总体的分布密度为：为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量 .现

8、测得样本观测值为：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值 .解 计算其最大似然估计： 其矩估计为： 所以：，.2 设总体X服从区间0, 上的均匀分布，即，为其样本，1)求参数的矩估计量和极大似然估计量；2)现测得一组样本观测值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.解 1）矩估计量： 最大似然估计量：无解 .此时，依定义可得：2）矩法： 极大似然估计：.3 设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量 .已知总体X的分布密度为：1）未知2）未知3）未知4) 未知5），其中参数未知6）

9、，其中参数未知 7）未知8）解 1） 矩法估计：最大似然估计：.2) 矩估计： 最大似然估计：.3） 矩估计： 联立方程： 最大似然估计： ,无解，当时，使得似然函数最大，依照定义，同理可得.4) 矩估计：，不存在 最大似然估计：，无解；依照定义，.5) 矩估计： 即最大似然估计：，无解依定义有：.6) 矩估计： 解方程组可得：最大似然估计： 无解，依定义得， 解得 .7) 矩估计：最大似然估计：.8)矩估计：最大似然估计： .4. 设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量 .解 记则；.5 设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件

10、工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为： 组中值 5 15 25 35 45 55 65频 数 365 245 150 100 70 45 25如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.解 最大似然估计：.6 已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命(单位：小时)为： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.解 设灯泡的寿命为,极大似然估计为：根据样本数据得到： .经计算得，这个星期生产的灯泡能使用

11、1300小时的概率为0.0075.7. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆 菌的个数(假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布)，其化验结果如下：大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5 6 升 数 17 20 10 2 1 0 0试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？解 设为每升水中大肠杆菌个数，由3题（2）问知，的最大似然估计为，所以所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大 .8 设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量 .1）若时； 2）若均未知时 .解

12、 1） ，的最大似然估计量为，所以 .2） 的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.9 设总体X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求参数的极大似然估计量 .若给定样本观测值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估计值 .解 分别计算 ，时样本观测值出现的概率：由最大似然估计可得：.10 设总体X具有以下概率分布：， 求参数的最大似然估计量 .解 最大似然估计应该满足：结果取决于样本观测值.11 设是总体X的样本，设有下述三个统计量： 指出中哪几个是总体均值a=EX的无偏估计量，并指出哪一

13、个方差最小？解，所以 无偏，方差最小.12 设总体，为其样本，1）求常数，使为的无偏估计量；2）求常数，使为的无偏估计量 .解 1） 令 得 .2）令 .13 设是来自总体X的样本，并且EX =，DX = ，是样本均值和样本方差，试确定常数，使是的无偏估计量 .解所以 .14 设有二元总体，为其样本，证明：是协方差的无偏估计量 .证明 由于所以：，证毕 .15 设总体，样本为，是样本方差，定义，试比较估计量,哪一个是参数的无偏估计量？哪一个对 的均方误差最小？解 1）所以 是的无偏估计2） 所以，可以看出最小 .16 设总体，为样本，试证：与都是参数的无偏估计量，问哪一个较有效？解所以 比较有

14、效.17 设，是的两个独立的无偏估计量，并且的方差是的方差的两倍 .试确定常数c1, c2，使得为的线性最小方差无偏估计量 .解： 设 当，上式达到最小，此时 .18. 设样本来自于总体X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，证明估计量是参数的有效估计量 .解 所以其C-R方差下界为 所以 是参数有效估计量.19 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，对可估计函数，求的有效估计量，并确定R-C下界 .解 因为似然函数所以取统计量得=，所以是无偏估计量令 由定理2.3.2知 T是有效估计量，由所以 C-R方差下界为.20 设总体X服从几何分布：，对可估计函数，则1）求的有效估计量

15、；2）求；3）验证的相合性 .解 1）因为似然函数所以取统计量 .又因为 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量2）所以 是相合估计量 .21 设总体X具有如下密度函数，是来自于总体X的样本，是否存在可估计函数以及与之对应的有效估计量？如果存在和，请具体找出，若不存在，请说明为什么 .解 因为似然函数所以令 所以是的无偏估计量，取，由定理2.3.2得到，是有效估计量所以：是有效估计量.22 设是来自于总体X的样本，总体X的概率分布为：1） 求参数的极大似然估计量；2） 试问极大似然估计是否是有效估计量？如果是，请求它的方差和信息量；3） 试问是否是相合估计量？解 1）得到最

16、大似然估计量2）所以所以是无偏估计量，由定理2.3.2得到是有效估计量信息量3）所以，T也是相合估计量 .23 设样本来自总体，并且的区间估计为，问以多大的概率推断参数取值于此区间 .解 设以概率推断参数取值于，在已知方差为1条件下，推断参数 的置信度为的置信区间为所以 ，得到 即以概率推断参数取值于.24 从一批螺钉中随机地取16枚，测得其长度(单位：cm)为： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11设钉长分布为正态，在如下两种情况下，试求总体均值的90%置信区间，1）若已

17、知=0.01cm； 2）若未知；解 因为1） 计算所以 置信区间为2） 计算所以 置信区间为.25 测量铝的密度16次，测得试求铝的比重的0.95的置信区间(假设铝的比重服从正态分布) .解 这是正态分布下，方差未知，对于均值的区间估计：因为计算 所以 置信区间为 .26 在方差已知的正态总体下，问抽取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信度为的置信区间长度不大于l？解 均值的置信度为的置信区间为要使即 .27 从正态总体中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4, 5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？解，所以.28假设0.5, 1.25, 0.8, 2.

18、0是总体X的简单随机样本值 .已知 .1） 求参数a的置信度为0.95的置信区间；2） 求EX的置信度为0.95的置信区间 .解 1） 服从正态分布，按照正态分布均值的区间估计，其置信区间为 ，由题意，从总体X中抽取的四个样本为：其中，代入公式，得到置信区间为2），由1）知道的置信区间为，所以置信区间为.29 随机地从A批导线中抽取4根，并从B批导线中抽取5根，测得其电阻()为： A批导线：0.143，0.142，0.143，0.137 B批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测试数据分别服从和，并且它们相互独立，又均未知，求参数的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体，在方差未知且相等条件下，对总体均值差的估计： 置信区间为计算得 所以.30 有两位化验员A、B，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同方法各作了10次测定，其测定值的方差依次为0.5419和0.6065，设与分别为A、B所测量数据的总体的方差(正态总体)，求方差比/的置信度为95%的置信区间 .解 由题意，这是两正太总体方差比的区间估计： 置信区间为计算得 所以置信为 .31 随机地取某种炮弹9发做试验，测得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)，设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为95%的置信区间 .解