2018年数学中考压轴题

1、2018年数学中考压轴题1·由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2斤(1)求4月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感因此，猪肉价格4月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元求5、6月份猪肉价格的月平均增长率解析 (1)【思路分析】设4月初猪肉价格下调后每斤x元，由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x元根据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2斤”列方程解答解：设4月初猪肉价格下调后

2、每斤x元，则原价格为每斤x元(1分)根据题意得：2，(3分)解得：x10，经检验，x10是原方程的解(4分)答：4月初猪肉价格下调后每斤10元(5分)(2)【思路分析】由(1)题可知，猪肉的原价格是10元，设月平均增长率为y，则第一个月上调后的价格为10(1y)，第二个月上调后的价格为10(1y)2，根据题意可列方程解：设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y，根据题意得，10(1y)214.4，(6分)解得：y10.220%，y22.2(不合题意舍去)，答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)2·如图，抛物线yax2bx4(a0)的图象过A(1，0)，B(4，0)两点，

3、与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当t1时，求ACP的面积；(3)如图，过点P向x轴作垂线分别交x轴、抛物线于E、F两点求PF的长度关于t的函数解析式，并求出PF的长度的最大值；连接CF，将PCF沿CF折叠得到PCF，当t为何值时，四边形PFPC是菱形？ 解析 (1)【思路分析】将A、B两点的坐标代入抛物线解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可解：抛物线yax2bx4(a0)的图象过A(1，0)，B(4，0)两点，解得：，抛物线的解析式为：yx2

4、3x4或y(x1)(x4)(3分)(2)【思路分析】要求ACP的面积，可用ACB的面积减去APB的面积本题关键是如何求解APB的面积过点P作PQAB于点Q，则PQ是APB的高在APB中根据PB的长度及PBA的度数，利用三角函数求出PQ，该题即可得到解决第2题解图解：当t1时，CP.抛物线y(x1)(x4)的图象与y轴交于点C，C(0，4)CO4.(4分)COB90°，COOB4，CBO45°，CB4，BPCBCP3，(5分)过点P作PQAB于点Q，如解图，PQPB·sinCBA3×3.(6分)SACPSACBSABP AB·OCAB·

5、PQ ×5×4×5×3 .(8分)(3)【思路分析】求出直线BC的解析式，根据CBA的度数以及CP的长度与t的关系式，可得到OE的长度与t的关系式，设出点P、F的坐标，由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值；由翻转特性可知PCPC，PFPF，若四边形PFPC是菱形，则有PCPF，由此得出关于t的一元二次方程，解方程确定t值解：设直线BC的解析式为ykxm(k0)，直线BC过B(4，0)，C(0，4)两点，解得：.直线BC解析式为yx4.(9分)CPt，CBA45°，OEt，点P在直线B

6、C上，点F在抛物线上，设P(t，t4)，F(t，t23t4)，(0t4)PFt23t4(t4)t24t，(0t4)当t2时，PF最大4.(10分)第2题解图PCF沿CF折叠得到PCF，如解图，PCPC，PFPF，当四边形PFPC是菱形时，只需PCPF.tt24t，解得：t10(舍去)，t24.当t4 时，四边形PFPC是菱形(12分)3·商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形，各扇形分别标有数字2、3、4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字(指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形)，先

7、记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字(1)请用列表或树状图的方法(只选其中一种)，表示出两次所得数字可能出现的所有结果；(2)求出顾客购买商品的价格不超过30元的概率 第3题图解析 解：(1)列表如下：第一次结果第二次234222324232333434243444(4分)或画树状图如解图：第3题解图(4分)共有9种等可能的结果(2)如(1)的列表法或树状图法所示，在一共9种等可能的事件中，其中两次指针指向的两个数字组成的价格不超过30元的有3种情况顾客购买商品的价格不超过30元的概率为：P.(7分)4·如图，在平面直角坐标系中，O为顶点，平行四边形ABCD的边B

8、C在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为(2，0)，BC6，BCD60°，点E是AB边上一点，AE3EB，P过D、O、C三点，抛物线yax2bxc过点D、B、C三点(1)求抛物线的解析式；(2)求证：ED是P的切线；(3)若将ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E会落在抛物线yax2bxc上吗？请说明理由；(4)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由 第4题图解析 (1)【思路分析】根据题意先确定D、B、C三点的坐标，然后用待定系数法可得抛物线的解析式解：由题意得D、

9、B、C三点的坐标分别是(0，2)、(4，0)、(2，0)，分别代入yax 2bxc中得， ，解得 ，所以抛物线的解析式为yx 2x2.(2分)(2)【思路分析】延长DE交x轴于点F，构造BFEADE，利用相似三角形的性质求得BF的长；在RtDOF中，利用锐角三角函数得到FDO的度数，进而求出CDE90°.解：延长DE交x轴于点F，如解图所示，ADBC，ADEBFE，第4题解图，即，BF2，B(4，0)，OB4，OF6.(3分)D(0，2)，OD2.在RtDOF中，tanFDO，FDO60°.(4分)BCD60°，CDO30°，CDE90°，CD

10、DE，ED是P的切线(5分)(3)【思路分析】根据旋转的性质求得E点的坐标，代入抛物线的解析式验证即可解：点E不会落在抛物线yx 2x2上理由如下：第4题解图将ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点是E，A点的对应点是A，如解图所示，则DADA6，ADBC，EDO60°，ADE30°，AEAEAD3，ABCD60°，DEA90°，(6分)过点E作EG y轴于点G，则AEG30°，AG，OG622，在RtAEG中，EG，E(，2)，(7分)当x时，y×() 2×2，2.所以点E不会落在抛物线yx 2x2上(8分)

11、(4)【思路分析】先求得M点的坐标，然后分别以MB、DM、BD为平行四边形的对角线，通过平移的性质确定N点的坐标解：存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：yx2x2(x1)2，M(1，)，且B(4，0)，D(0，2)，如解图所示：第4题解图当BM为平行四边形BDNM的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，则点M(1，)向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1(5，); (9分)当DM为平行四边形BNDM的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点M，则点D(0，2)向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2(3，)；(1

12、0分)当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点B，则点D(0，2)向左平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3(3，)，(11分)综上所述，点N的坐标为(5，)、(3，)、(3，)(12分)5·如图，在ABC中，ABBC，D是AC的中点，BE平分ABD交AC于点E，点O是AB上一点，O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)判断直线AC与O的位置关系，并说明理由；(2)当BD6，AB10时，求O的半径 第5题图解析 (1)【思路分析】连接OE，如解图，由BE平分ABD和OEOB，可得OEBD，由等腰三角形的性质得BDAC，所以OEAC

13、，根据切线的判定定理可得AC与O相切解：连接OE，如解图，(1分)第5题解图BE平分ABD，OBEDBE，(2分)OEOB，OBEOEB，OEBDBE，OEBD，(3分)ABBC，D是AC中点，BDAC，OEAC，AC与O相切；(4分)(2)【思路分析】设O半径为r，易证AOEABD，利用相似三角形对应边成比例，建立关于r的方程，然后解方程求出r.解：设O半径为r，则AO10r，(5分)由(1)知，OEBD，AOEABD，即，(6分)r，即O半径为.(8分)6·如图，直线l：y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，使得点A落到点C，抛物线过点B、C和D(3，0)(

14、1)求直线BD和抛物线的解析式；(2)若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使SPBD6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由第6题图解析 (1)【思路分析】由待定系数法求出直线BD和抛物线的解析式解：直线l：y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B.A(1，0)，B(0，3)；把AOB沿y轴翻折，使点A落到点C，C(1，0)设直线BD的解析式为：ykxb，点B(0，3)，D(3，0)在直线BD上，解得k1，b3；直线BD的解析式为：yx3.(1分)由于点D(3，0)，点C(1，0

15、)均在抛物线上，故可设抛物线的解析式为：ya(x1)(x3)，点B(0，3)也在抛物线上，3a×(1)×(3)，解得：a1，抛物线的解析式为：y(x1)(x3)x24x3.(3分)(2)【思路分析】解题关键首先确定MCD为等腰直角三角形，因为BND与MCD相似，所以BND也是等腰直角三角形如解图所示，符合条件的点N有3个解：抛物线的解析式为：yx24x3(x2)21，抛物线的对称轴为直线x2，顶点坐标为(2，1)第6题解图直线yx3与抛物线的对称轴交于点M，M(2，1)设对称轴与x轴交点为点F，则CFFDMF1，MCD为等腰直角三角形以点N、B、D为顶点的三角形与MCD相似

16、，BND为等腰直角三角形如解图所示：()若BD为斜边，则易知此时直角顶点为原点O，N1(0，0)；(5分)()若BD为直角边，B为直角顶点，则点N在x轴负半轴上，OBODON23，N2(3，0)；(6分)()若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，OBODON33，N3(0，3)(7分)满足条件的点N坐标为：(0，0)，(3，0)或(0，3)(8分)(3)【思路分析】解题关键是求出PBD面积的表达式，然后根据SPBD6的已知条件，列出方程求解即可第6题解图解：假设存在点P，使SPBD6，设点P坐标为(m，n)()当点P位于直线BD上方时，如解图所示：过点P作PEx轴于点E，连接PD

17、、PB，则PEn，DEm3.SPBDS梯形PEOBSBODSPDE(3n)·m×3×3·(m3)·n6，化简得：mn7 ，P(m，n)在抛物线上，nm24m3，代入式整理得：m23m40，解得：m14，m21，n13，n28，P1(4，3)，P2(1，8)；(10分)第6题解图()当点P位于直线BD下方时，如解图所示：过点P作PEy轴于点E，连接PD、PB，则PEm，OEn，BE3n.SPBDS梯形PEODSBODSPBE·(3m)·(n)×3×3·(3n)·m6，化简得：mn1 ，P

18、(m，n)在抛物线上，nm24m3，代入式整理得：m23m40，70，此方程无解故此时点P不存在(11分)综上所述，在抛物线上存在点P，使SPBD6，且点P的坐标为(4，3)或(1，8)(12分)第6题解图一题多解：假设存在点P，使SPBD6，如解图所示，过点P作直线l平行BD，l与BD的距离为d，l与y轴交点为B，BD3，SPBDBD×d6，d2，BD与y轴夹角为45°，BB4，将BD上移或下移4个单位，上移4个单位，l解析式为：yx7，联立l解析式与抛物线解析式得：x23x40，x14，x21，此时点P坐标为(4，3)或(1，8)；下移4个单位，l解析式为yx1，联立l

19、解析式与抛物线解析式可得：x23x40，0，此方程无解，此时点P不存在综上所述，点P的坐标为(4，3)或(1，8)7·如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90°.(1)求证：BDCE，BDCE；(2)将图中的ADE绕点A顺时针旋转角(0°<<90°)，如图，(1)的结论还成立吗？请说明理由第7题图解析 (1)【思路分析】要证BDCE，可先证BD、CE所在的两个三角形即ABD、ACE全等，根据题意可用SAS证全等；要证BDCE，可先延长BD，交CE于点F，证BFE(或BFC)为90°即可；而要证BFE90

20、6;，可先证ABDBEF90°，由ABDACE可得ABDACE，而ACEBEF90°，问题就得到解决了第7题解图解：延长BD交CE于点F，如解图，(1分)在ABD和ACE中，ABDACE(SAS)，BDCE，ABDACE，(3分)在RtAEC中，ACEBEF90°，ABDBEF90°，BFE180°90°90°，BDCE.(4分)(2)【思路分析】结论仍然成立，要证BDCE，还是先证ABDACE；要证三角形全等，可先证BADEAC，然后仍用SAS证全等；要证BDCE，可先延长BD交CE于点F，证BFC90°；而要证

21、BFC90°只需证出CBFBCF90°即可第7题解图解：(1)的结论仍成立延长BD交CE于点F，如解图，(5分)BADCAD90°，EACCAD90°，BADCAE，(6分)在DAB和EAC中，DABEAC(SAS)，BDCE，ABDACE，(8分)ABCACB90°，CBFBCFABCABDACBACE90°，BFC180°CBFBCF180°90°90°，ECBD.(9分)8· 如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，点D为抛物线的顶点且对称轴为x

22、1.(1)求抛物线的解析式；(2)直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NFx轴，交直线CD于点F，求EF的长；(3)在第(2)问的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心，OM为半径的圆与直线CD相切？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 第8题图 解析 (1)【思路分析】设抛物线解析式为yax2bxc(a0)，把点A(1，0)，点C(0，3)分别代入式中，再由对称轴公式x1，列出三元一次方程组求解解：设抛物线解析式为yax2bxc，由题意可得：，解得，(2分)抛物线的解析式为yx22x3.(3分)(2)【思路分析】要求EF的长，可放到RtENF中，用勾股定理求解，这就

23、需要知道EN、FN的长；而要求EN、FN的长，需知道点E、F的坐标，这就需要先求出直线CD的解析式；设直线CD解析式为ykxb，将C、D两点代入，用待定系数法求出直线CD的解析式解：点D为抛物线的顶点，D(1，4)，设CD的解析式为ykxb，把C(0，3)，D(1，4)代入，得，解得k1，b3，直线CD解析式为yx3，(4分)E(3，0)，OEOC3，AEC45°，令抛物线yx22x3中y0，解得x11，x23，OB3，(5分)点N是OB的中点，ON，NE，(6分)FNx轴，AECEFN45°，ENFN，EFEN.(7分)(3)【思路分析】假设存在符合条件的点M，设M(，y

24、)，过点M作MQCD于点Q，根据题意得MQMO，再证出RtFQM RtFNE，根据相似三角形对应边成比例列出关于y的方程求解解：直线NF上存在点M.过点M作MQCD于点Q，如解图，(8分)第8题解图M与CD相切，MQOM，设M(，y)，MQ2OM2y2，(9分)MFQNFE，FQMFNE90°，FQMFNE，即，整理得：4y236y630，解得：y1，y2.(11分)点M的坐标为：M1(，)、M2(，)(12分)9·如图，边长为4的正方形ABCD的边ADy轴，点P(0，1)是CD的中点，以P为顶点的抛物线经过点B，连接BD.(1)求抛物线和直线BD的解析式；(2)如图，若点M是抛物线上一动点(点M不与点A、B重合)，过点M作y轴的平行线FM与直线AB交于点F，与直线BD交于点E，当线段ME2EF时，求点M的坐标；(3)如图，平移抛物线，使平移后的抛物线顶点N在直线PB上，抛物线与直线PB的另一个交点为Q，点H在y轴正半轴上，当以H、N、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的H点的坐标第9题图解析 (1)【思路分析