高一数学学年度综合复习小题训练十四(立体几何)

1、高一数学学年度综合复习小题训练十四（立体几何）1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A. a2B. 7 a23C.上 a23D.2.在三棱锥S ABC中，SA平面ABCAB BC, ABBC2,若其外接球的表面积为12 ,则SA （A. 1B. 2C.2.3D.3.半径为R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积是（C.、,324R3D.4 .九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题:“今有圆堡璇cong周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡,底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3)(

2、A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺5.在空间中,a?b?c是三条不同的直线,? 是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是（.右a cB.若aC.若 a/b/ / ，则 a / /bD.若/，则 a/6.在正六棱锥ABCDEF中，底面边长和侧棱分别是N分别是AB和DE的中点,给出下面三个判断：（1） PD和AB所成的角的余弦值为1八；(2) PC4和底面所成的角是 一；（3）平面PAB 平面3PMN ；其中判断正确的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 37.（多选）已知m,n是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,则下列命题正确的是A.若mB.若

3、C,若 m/n/,m, n ，则/D.若n8.（多选）已知卜3是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的试卷第3页，总2页贝U m/nm/n , nC.若 / , m , n ，则 m/n D.若 ，m , I n , m n ,则 m9.下列命题中，正确的为 (正确序号全部填上)(1)空间中，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；(2) 一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别垂直，则这两个二面角相等或互补；(3)直线a , b为异面直线，所成角的大小为 40 ,过空间一点P作直线l ,使l与直线a及直线b都成相等的角70 ,这样的直线可作

4、3条；(4)直线a与平面 相交，过直线a可作唯一的平面与平面垂直.10 .如图所示，在圆锥 SO中，AB, CD为底面圆的两条直径，ABI CD 。，且AB CD, SO OB 2 , P为SB的中点，则异面直线SAW PD所成角的正切值为 .11 .如图，三棱锥 P ABC中，底面 ABC是边长为2的正三角形，PA 2,PA 底面ABC ,点E, F分别为AC , PC的中点.0(1)求证：平面BEF 平面PAC;(2)在线段PB上是否存在点G ,使得三棱锥B AEG体积为近？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由13.如图，在四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD为平行四边形，E为

5、侧棱PD的中点，。为AC与BD的交点.(1)求证：OE/平面PBC;4(2)若平面 PAD 平面 ABCD, AC 4, AB 5, sin ABC ,求证：AC PD .本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考1. B【解析】【分析】【详解】a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就试题分析：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为是球心， 如图：,J I < /二二一41B匚则其外接球的半径为 R aa:22sin60o7a27 c球的表面积为S球 4 a ;123故选B.2. B【解析】【分析】首先将三棱锥S ABC放入长方体中，得到三棱锥根据外接球的表面积即可得到答案.【详解】S

6、ABC与长方体有相同的外接球，再将三棱锥S ABC放入长方体中，如图所示：由图可知三棱锥 S ABC与长方体有相同的外接球设SA h ,长方体的外接球半径为 R ,因为4 R2 12 ,解得R忑.T2 T22又因为r 2点,解得h 22故选：B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于简单题3. C【解析】【分析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体 积.R设底面半径为r,则2 r R,所以r 一.2所以圆锥的高h.Rv R.2所以体积 V 1 r2 h - R-3R -3 R3.332224故选：C.【点睛】本题考查圆锥的

7、性质及体积,圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考 查这两种关系的应用，属于简单题4. B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积【详解】设圆柱体底面圆半径为 r ,高为h ,周长为C . C因为C 2 r ,所以r ,2_ 2_ 2_22 C2C2h 482 11、所以V r h2 h 2112 （立方尺）.4 2412故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题5. D【解析】【分析】结合空间直线与平面间的位置关系进行判定，适当

8、利用反例或者模型【详解】对于A,垂直于同一直线的两条直线，位置关系可能是平行、相交或者异面，例如下图中AB,CC1均和BC垂直，但AB CC1，因此选项A不正确；对于B,分别位于两个相互垂直的平面内的两条直线可能是平行的，例如下图中 AB/DC ,因此选项B不正确；对于C,如下图，平面 AC/平面AC1，直线AC/平面AC1，直线BQ"/平面AC ,而AC与B1D1异面，因此选项 C不正确；对于D,直线a与平面 没有公共点，因此 a/ ，选项D正确.故选：D.力S【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，构建空间模型有助于解题， 侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.6. D【解析】(

9、1)把PD和AB所成的角转化成 PD和DE所成的角，然后在三角形PDE中用余弦定理求解即可;(2)根据线面角的定义得出PCO为所求的角，然后在三角形 PCO中进行求解即可；(3)通过题意得出 OM AB和PO AB ,进而得出AB 平面PMN ,最后得出结论【详解】解：根据题意，画出图形如下:答案第13页，总12页由题得：AB BC CD DE EF FA 2, PA PB PC PD PE PF 4,对于(1)因为P ABCDEF为正六棱锥，所以底面ABCDEF为正六边形，所以AB/DE .所以PD和DE所成的角就是PD和AB所成的角，即 PDE为PD和AB所成的角.2222_22在 4PD

10、E 中，cos PDEPD DE PE 42412 PD DE 2 4 24所以PD和AB所成的角余弦值为 1 .故(1)正确.4对于(2),连接BE和CF交于O ,连接PO .则PO 底面ABCDEFPC和底面所成的角为PCO.因为PO 底面ABCDEF , CO平面ABCDEF ,所以PO CO.所以cos PCOCOPC又因为 PCO0, ,所以 PCO 一.23所以，PC和底面所成的角为§.故（2）正确.对于（3）,连接OA,则VOAB为等边三角形，因为 M为AB中点，所以OM AB.因为PO 底面ABCDEF , AB 平面ABCDEF ,所以PO AB .又因为PO、OM

11、 平面PMN ,所以AB 平面PMN .又因为AB 平面PAB ,所以平面PAB 平面PMN .故（3）正确.综上：（1） （2） （3）都正确，所以正确的个数为 3个.故选：D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直，属于中档题7. ADA利用线面垂直的性质判断；B利用面面关系来判断；C利用面面平行的判定定理来判断;D利用面面垂直的判定定理来判断解：对A：若/ ,则m ，又n ，所以m/n ,故正确;对B:若,则 与 可能平行，也可能相交，故错误;对C ：若m/n/m,n ，由于没有强调 m与n相交，故不能推出/ ，故错误;对D：若n,根据面面垂直的判定定理，可得故选：AD.

12、本题考查线面面面平行与垂直的判定和性质，是基础题8. ABD【解析】根据线面的位置关系对每个选项进行判断.由m , m/n，得n ,又由n由，m /Um ，又由n,得m/n , B正确;若，mm, n可能平行也可能是异面直线，C错误;由面面垂直的性质定理知D正确.故选：ABD .【点睛】本题考查空间线面间的平行与垂直关系，掌握直线、平面间平行垂直的判定定理的性质定理是解题关键.9. (1) (3)【解析】【分析】(1)利用等角定理，即可判断正误；(2)列举反例，即可得出结论；(3)利用异面直线所成角，即可判断正误；(4)列举反例，即可得出结论 .【详解】(1)空间中，若一个角的两边与另一个角的

13、两边分别平行，则由等角定理知，这两个角相等或互补，所以(1)正确；(2)如图，平面，两两垂直，I m,且n , n过直线n作平面，此时二面角 m 为90 ,而满足条件的平面有无穷多个，所以二面角n 无法确士所以（2）错误；（3）直线a , b为异面直线，所成角的大小为 40 ,过空间一点P作直线l ,设直线l与直线a及直线b都成相等的角，若020 ,可作0条；若 20 ,可作1条；若2070 ,可作2条；若 70 ,可作3条；若7090 ,可作4条；若 90 ,可作1条，所以（3）正确；（4）若直线a与平面 垂直，过直线a可作无数个平面与平面垂直，所以（4）错误.故答案为：（1） （3）.【点

14、睛】本题考查等角定理的应用、二面角的概念、平面与平面垂直的判定定理及异面直线所成角，属于中档题.10. 近【解析】【分析】由于SAW PD是异面直线，所以需要平移为相交直线才能找到异面直线SAW PD所成角,由此连接OP再利用中位线的性质得到异面直线SA与PD所成角为 OPD ,并求出其正切值.【详解】连接PO ,则PO PSA,OPD即为异面直线SA与PD所成的角，又 SO CD , AB CD , SOI AB O,CD A 平面 SAB,CD OP ,即 DO OP,VOPD为直角三角形，tan OPD OD 2_2OP 2.【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，关键是利用三角形中位线

15、的性质使异面直线平移为相交直线.11. (1)证明见解析.(2)存在，G为PB中点.【解析】【分析】(1)由PA 底面ABC推出PA BE ,结合BE AC可推出BE 平面PAC ,线面垂直推出面面垂直；(2)过G作GH AB,由面面垂直的性质证明 GH 平面ABC,再利用等体积法由vbvg ABE Y3即可求得gh ,根据线面垂直的性质及中位线的性质B AEGG ABE6即可求得点G的位置.【详解】(1)因为PA 底面ABC , BE 底面ABC ,所以PA BE ,因为 ABC是等边三角形且E为AC的中点，所以BE AC,又 PAI AC A, PA 平面 PAC, AC 平面 PAC,所

16、以BE平面PAC ,因为BE 平面BEF ,所以平面BEF 平面PAC ;(2)过 G 作 GH AB,Q PA平面ABC, PA平面PAB,平面PAB 平面ABC又Q平面PABI平面ABC=AB, GH 平面ABC,QVbAEGVG ABE3561 _-.33GH SVABEQ SVABEQ PA 平面 ABC, GH 平面 ABC, PA/GH , 1QGH -PA, G 为 PB 中点. 2【点睛】本题考查面面垂直的判定及性质、线面垂直的性质、等体积法求点到平面的距离，属于中档12. (1)证明见解析(2) PE : ED 1:2【解析】【分析】 连接BD交AC于O ,连接EO,再证明E

17、O PPB即可.(2)根据三棱锥E ACD的体积为卷可求得E到平面ABCD的距离为|，再根据PA平面ABCD且PA 1即可求得PE : ED .证明：(1)连接BD交AC于O,连接EO, ABCD为矩形，。为BD的中点,又E为PD的中点，EOPPB, EO U 平面 AEC , PB?平面 AEC ,PB P平面 AEC .PBC(2)由题设AD 73, CD 1, VADC的面积为 叵. 22 棱锥E ACD的体积为国,E到平面ABCD的距离h满足Y3 1 Y3h，即h -. 9323 PA 平面 ABCD , .平面 PAD 平面 ABCD,过E在平面PAD内作EF AD ,垂足为F ,则

18、EF 平面ABCD,而PA 平面ABCD,于是EF PPA. PA 1 , ED : PD 2:3 .则 PE : ED 1: 2【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及根据三棱锥体积求解比例的问题，需要根据题意求出对应的高，再根据垂直于同一平面的两条直线互相平行的性质分析.属于中档题.13 . (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】 根据中位线的性质证明 OE/PB即可.(2)在VABC中利用正弦定理可得ACB 90，再根据面面垂直的性质证明AC 平面PAD ,进而可得AC PD .【详解】 证明(1)因为四边形 ABCD为平行四边形，0为AC与BD的交点，所以。为BD的中点.又因为E为侧棱PD的中点,所以 0E /PB .又因为PB 平面PBC ,0E 平面PBC ,所以0E/平面PBC.(2)在VABC中，因为AC4, AB5,sin ABC