高中数学必修4平面向量典型例题及提高题

1、【基本概念与公式】平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量。记作:jjj rAB 或 a。2.向量的模：向量的大小（或长度）jjj r，记作:|AB向|a|。3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e| 1。4.零向量：长度为0的向量。记作:r r0。10方向是任意的，且与任意向量平行】5 .平行向量6 .相等向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 :长度和方向都相同的向量。7.相反向量：长度相等,方向相反的向量。jjjABuuuBA。8.三角形法则:jur juur jur jurAB BC AC ; ABjjjr jjjr jjlt BC CD DE

2、juirAEjjjABHJLTACJJJCB（指向被减数）9.平行四边形法则：r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为r r r r10.共线定理：a b a/b。当 0时,a与b同向；当r r0时，a与b反向。11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。r12.向量的模：若a(x, y),则 | a| . x22 ar 2 r|af, |ar b|13.数量积与夹角公式:r|a|r| b | coscosr ra b-r r-|a| |b|14.平行与垂直：a/bxy2X2y1；X1X2y*0题型1.基本概念判断正误：(1)a与b共线,r rb与c共线,a与c共线。(2)r 若m

3、a(3)r mar r（4）若a与b不共线,a与b都不是零向量。(5)|a | |b|,则 a/b。r r(6)若 |a b|r|a题型2.向量的加减运算10 / 6uur， AD uuur uur uuruur r uuur r uuu4 .已知AC为AB与AD的和向量，且 AC a, BD b ,则ABuuu BC 。uur 3uur uuruuu uur5 .已知点C在线段AB上，且AC AB ,则ACBC , AB5-题型3.向量的数乘运算八 rr, r 1 r2.已知 a (1, 4),b ( 3,8),贝U 3a -b。2题型4根据图形由已知向量求未知向量uur HJLTUULT1

4、.已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD。uuur2.在平行四边形 ABCD中，已知ACr uuir ruuur uuura, BD b» A*口 AD o题型5.向量的坐标运算 uuruuiruuuruuur6 .已知 AB (2,3), BC (m,n), CD ( 1,4),则 DA uur uur r uuur7 .已知O是坐标原点，A(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0 ,求OC的坐标。题型6.判断两个向量能否作为一组基底it ut1 .已知0,号是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：iTiuiTur iTLurrrr

5、it ur utrr u uurrA. e1$和e1 殳B. 32e2和4e2 6eC. e130和e23eD. e2和色e题型7.结合三角函数求向量坐标UUTUUJ1.已知。是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2, xOA 1500,求OA的坐标。题型8.求数量积r rr rr r r r r1.已知1a 3,ibi 4,且a与b的夹角为 60°,求(1)a b,(2)a (a b),r1 r rrJ、 ，rr、(3) (a-b) b, (4) (2ab) (a3b)。2题型9.求向量的夹角3.已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BACo题型10.求

6、向量的模1.已知向量.白I，的夹角为9,定义3名为三与E的向量积”，且W名是一个向量，它的长度|它*目二|4| b|sin 0,若u= (2, 0),后-俨(1, - Ml),则 |UX ( + V)|=()A. 43B. V3C. 6D. 2行r rr rrr1 .已知 |a|3,|b| 4,且 a 与b 的夹角为60°,求(1) |a b|, 12a 3b |。 r rrr , rr3.已知 |a| 1,|b| 2, |3a 2b | 3,求 13a b|。r题型11.求单位向量【与a平行的单位向量：1.与a (12,5)平行的单位向量是 2.与m (题型12.向量的平行与垂直

7、r.r1.已知a (1,2), b ( 3,2), (1) k为何值时，向量r r 向量ka b与53b平行？11，2)ka rr ,r2.已知a是非零向量，a br星】 |a|平行的单位向量是r r rb与a 3b垂直？ （2） k为何值时rr 一 rr,r r ra r ,且 b C ,求证：a (b c)o3.若向量缶(2cosa, 1), b=( '匣,tana),且己/ b,贝 U sin a=()A.返B.一退C.224题型13.三点共线问题uurr r uur rr uur r r3 .已知ABa2b, BC5a6b,CD7a2b,则一定共线的三点是 4 .已知A(1,

8、3), B(8, 1),若点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值。uuu uuu UULT5 .已知四个点的坐标 O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t ,使OA tOB OC成立？题型14.判断多边形的形状1 .已知P为三角形ABC内部任一点(不包括边界)，且满足(而-而)？ (Pb+fA- 2PC) =0,则4ABC的形状一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.钝三角形D.等腰三角形LUU LUU uuur2 .在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。rr1.已知 a

9、 (m,3) , b题型15.平面向量的综合应用(2, 1) , (1)若与b的夹角为钝角，求 m的范围;(2)若与b的夹角为锐角，求m的范围。2.已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,4), B(0,0) , C(c,0),uut uult(1)若AB AC 0,求c的值；(2)若c 5,求sin A的值。提高题1 .设向量.-=1,0B=与共线，且 团b|=1, | a- b|=3,则AOAB的形状是（A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2 .已知点 G是4ABC的重心，若 A=目 标?位=3,则筋|的最小值为（C.D. 23.如图，各棱长都为 2FA.B.C.D.

10、 14.已知函数f (x) =sin（2位+加的部分图象如图所示，点BC是该图象与x轴的交点，过点的四面体ABCD中，CE=而，AF=2FD,则向量丽?E=（C的直线与该图象交于 D, E两点，则（BD+BE） ?BC的值为（A.B.C. 1D.5.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界）,且满足(FB- PA) ? (PB+FA-2FC)二0,则4ABC的形状一定为（A.等边三角形B .直角三角形C.钝三角形D.等腰三角形6 .如图所示，设 P为4ABC所在平面内的一点，并且7AC,则4ABP与4ABC的面 5积之比等于（B.C.7 .在 4ABC 中，|AB|=3r 1 k|AC|=2, AD=AE,则直线AD通过 ABC的（）A.垂心B.夕卜心C.重心D.内心8.在 4ABC 中，Z BAC=60 °, AB=2 , AC=1 , E, F 为边 BC 的三等分点，则 蛆 AF=(A.B.C.3（向量数量积的运算坐标化）9.已知空间向量a, b满足I a I二b |二1,且耳的夹角为109D.158JTy,O为空间直角坐标系的原点,点A、B满足0A=2 aH-b,而二3;一总 则4OAB的面积为（A.B-汕D.1110.已知向量七（cos。，sin 0）和b=(V2 _ sin / cos