高二数学选修2-3教案

1、二次备课第 课时总第 教案课型：新授课主备人： 审核人： 1. 1分类加法计数原理和分步乘法计数原理一、教学目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点：重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程一、新课讲授引入课题先看下面的问题：从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一

2、规则做某事时，一共有多少种不同的做法在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1 :用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编 出多少种不同的号码？问题1.2 :从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有 3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么

3、完成这件事共有N m n种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B 大学生物学 化学数学 会计学二次备课医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A,B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A ,B两所大学中的一所.在 A大学中有5种专业选择方法，在 B大学中有4种专业选择方 法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计

4、数原理，这名同学可能 的专业选择共有 5+4=9 (种).变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第 2类方案中有m2种不同的方法，在第 3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同 的方法？ 如果完成一件事情有 n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：完成一件事情，有 n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第 2类办法中有 m2种不 同的方法在第 n类办法中有mn种不同白方法.那么完成这件事共有N

5、 m1 m2 mn种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立， 各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事2 分步乘法计数原理(1)提出问题问题2.1 :用前6个大写英文字母和 1 9九个阿拉伯数字，以 A, A2,，B，B2,的方式 给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 用列举法可以列出所有可能的号码：字母 数字得到的号码我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6X9 = 54个不同的号码.探究：

6、你能说说这个问题的特征吗？(2)发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有1类方案中有 m种不同的方法，在二次备课种不同的方法.(3)知识应用例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析 ：选出一组参赛代表，可以分两个步骤第 l 步选男生第2 步选女生解 ：第 1 步，从 30 名男生中选出 1 人，有 30 种不同选择；第 2 步，从 24 名女生中选出 1 人，有 24 种不同选择根据分步乘法计数原理，共有30 X 24 =720种不同的选法探究： 如果完成一件事需要

7、三个步骤，做第1 步有m1 种不同的方法，做第2 步有 m2 种不同的方法，做第 3 步有m3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要n 个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.3 理解

8、分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.3 综合应用例 3. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书，第 2 层放有 3 本不同的文艺书，第3 层放 2 本不同的体育书.从书架上任取1 本书，有多少种不同的

9、取法？从书架的第 1、 2 、 3 层各取 1 本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第 1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第 1、 2 、 3 层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理 .要完成的事是“取 2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 1 本，再要考虑取1 本计算机书或取1 本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计

10、数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.解 ： (1) 从书架上任取 1 本书， 有 3 类方法： 第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书， 有 4 种方法；第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书，有3 种方法；第3 类方法是从第3 层取 1 本体育书，有2 种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是Nm1m2m3 =4+3+2=9;( 2 ) 从书架的第1 , 2 , 3 层各取 1 本书， 可以分成 3 个步骤完成： 第 1 步从第 1 层取 1 本计算机书，有4 种方法；第2 步从第 2 层取 1 本文艺书，有3 种方法

11、；第3 步从第 3 层取 1 本体育书，有2 种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是Nm1m2 m3 =4X3X2=24 .( 3) N 4 3 4 2 3 2 26。例 4. 要从甲、乙、丙3 幅不同的画中选出 2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从 3 幅画中选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1 步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有 3种选法；第 2步，从剩下的 2幅画中选1幅挂 在右边墙上，有 2种选法.根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=3 X 2=6 .6种挂法可以表示如下：左边 右边 得到的挂法* 一丙左甲右丙一

12、一甲左乙右甲Z.一三二f J-丙左乙右丙_一-甲左丙右甲内 vC7 _一 '乙生丙右乙五、课后总结分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问 题.区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中 任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的 方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事.六、作业布置七、教学设计二次备课八、板书设计第 课时总第 教案课型：习题课 主备人： 审核人：一、教学目标：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题二、教学重难点

13、：重点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）难点：分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解三、教学方法讲授法四、教学过程例5.给程序模块命名，需要用 3个字符，其中首字符要求用字母AG或UZ ,后两个要求用数字19.问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第 1步，选首字符；第 2步，选中间 字符；第3步，选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.解：先计算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7 + 6 = 13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9 = = 1053个不同的名称，即最

14、多可以给1053个程序命名.例6.核糖核酸（RNA分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用 A,C,G,U表示.在一个 RNA分子中，各种碱基能够以任意 次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析：用图1. 1 2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从 A , C , G , U中任选一个来占据.二次备课解：100个碱基组成的长链共有100个位

15、置，如图1 . 1 2所示.从左到右依次在每一个位置中，从 A , C , G,U中任选一个填人，每个位置有4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同 RNA分子数目有1442L434 4100 （个） 100例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有O或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1 ） 一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符

16、？（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了 6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析：由于每个字节有 8个二进制位，每一位上的值都有 0,1两种选择，而且不同的顺 序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题.解：（1 ）用图1.1 3来表示一个字节.图 1 .1 3一个字节共有8位，每位上有2种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2 X2X 2X 2X 2X 2X 2X 2= 28 =256个不同的字符；（2）由（1 ）知，用一个字节所能表示的不同字符不够 6 763个，我们就考虑用2个 字节能够表示多少个字符.前一个

17、字节有256种不同的表示方法，后一个字节也有 256种表示方法.根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示 256 X 256 = 65536个不同的字符，这已经大于汉字国标码包含的汉字个数6 763 .所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 2个字节表示.例8.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试.程序员需要知道到底有多 少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多子模块组成.如图1.1 一 4,它是一个具有许多执行路径的程序模块.问：这个程序模块有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数你能帮助程序员设

18、计一个测试方法，以减少测试次数吗？图 1.1 4分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到 A点；第2步是从A点执行到结束.而第 1步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第 2步可由子模块4或子模块5来完成.因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需 要用到两个计数原理.解：由分类加法计数原理，子模块 1或子模块2或子模块3中的子路径共有18 + 45 + 28 = 91（条）;子模块4或子模块5中的子路径共有38 + 43 = 81（条）.又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径共有一91 X 81 = 7 371（条）.在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一

19、个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块.这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常.总共需要的测试次数为18 + 45 + 28 + 38 + 43 =172.再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3X 2=6 .如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模 块就工作正常.这样，测试整个模块的次数就变为172 + 6=178 （次）.显然，178与7371的差距是非常大的.你看出了程序员是如何实现减少测试次数的吗？例9.

20、随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法， 每一个汽车牌照都必须有 3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字， 并且3个字母必须合成一组出现， 3个数字也必须合成一组出现. 那 么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？分析：按照新规定，牌照可以分为2类，即字母组合在左和字母组合在右.确定一个牌照的字母和数字可以分 6个步骤.解：将汽车牌照分为 2类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右.字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有 26种选法；第2步，从剩下的25个字母中选

21、1个，放在第2位，有25种选法；第3步，从剩下的24个字母中选1个，放在第3位，有24种选法；第4步，从10个数字中选1个，放在第4位，有10种选法；第5步，从剩下的9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；第6步，从剩下的8个字母中选1个，放在第6位，有8种选法.根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有26 X 25X24X 10X 9X 8=11 232 000 （个）同理，字母组合在右的牌照也有11232 000个.所以，共能给11232 000 + 11232 000 = 22464 000（个）.辆汽车上牌照.用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析一

22、需要分类还是需要分步.分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”一完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原 理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.练习1.乘积（a1 a2 a3）（b1 b2 4）（G 020 c4 c5）展开后共有多少项?2 .某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是。到 9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个?二次备课3 .从5名同学中选出正、副组长各 1名，有多少种不同的

23、选法？4.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出 去，共有多少种不同的进出商场的方式？例1. 一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少 条？解：从总体上看，如，蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法，从局部上看每类又需两步完成 所以，第一类，m1 =1X 2 = 2条第二类，m2 =1X 2 = 2条第三类，m3 =1X 2 = 2条所以，根据加法原理，从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6条例2 .如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上 3种不同颜色中的某一种，允许同一 种颜色使用多次，但相邻区域

24、必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？解 : 按地图A、 B、 C、 D 四个区域依次分四步完成,第一步,m1= 3种,第二步,m2= 2种,第三步,m3= 1种,第四步,m4= 1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N = 3 X2 X1X1 = 6变式1 ，如图 , 要给地图A、 B、 C、 D 四个区域分别涂上3 种不同颜色中的某一种 , 允许同一种颜色使用多次, 但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？2 若颜色是 2 种， 4 种， 5 种又会什么样的结果呢？75600 有多少个正约数?有多少个奇约数?解：由于 75600=2 4 X 33 X 52 X

25、 7(1)75600 的 每 个 约 数 都 可 以 写 成 2l 3j 5k 7l 的 形 式 , 其 中0 i 4, 0 j 3, 0 k 2,0 l 1于是 , 要确定 75600 的一个约数 , 可分四步完成, 即 i, j,k,l 分别在各自的范围内任取一个值 , 这样 i 有 5 种取法 , j 有 4 种取法 , k 有 3 种取法 , l 有 2 种取法 , 根据分步计数原理得约数的个数为5X4X3X2=120个.？课堂小结1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2理解分类加法计数

26、原理与分步乘法计数原理，并加区别分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即 " 不重不漏 ".分步乘法计数原理： 首先确定分步标准， 其次满足： 必须并且只需连续完成这 n 个步骤， 这件事才算完成.分配问题把一些元素分给另一些元素来接受这是排

27、列组合应用问题中难度较大的一类问题因为这涉及到两类元素：被分配元素和接受单位而我们所学的排列组合是对一类元素做排列或进行组合的，于是遇到这类问题便手足无措了事实上， 任何排列问题都可以看作面对两类元素例如，把10 个全排列，可以理解为在10个人旁边，有序号为1, 2,，10的10把椅子，每把椅子坐一个人，那么有多少种坐法？这样就出现了两类元素，一类是人，一类是椅子。于是对眼花缭乱的常见分配问题，可归结为以下小的“方法结构” ：. 每个 “接受单位” 至多接受一个被分配元素的问题方法是Anm ， 这里 n m . 其中 m 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位” ，不要管它在生活中原来的意义

28、，只要n m .少个数为m的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为A多.这里的“多”只要“少” . . 被分配元素和接受单位的每个成员都有“归宿” , 并且不限制一对一的分配问题，方法是分组问题的计算公式乘以a：.七、教学设计八、板书设计九、课后反思二次备课第 课时总第 教案课型：新授课主备人： 审核人： 1. 2. 1排列一、教学目标：1 .了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能 运用排列数公式进行计算。2 .能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题二、教学重难点：重点：排列、排列数的概念难点：排列数公式的推导三、教学方法讲授法四、教学过程一

29、、复习引入：1 .分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法，在第 n类办法中有 mn种不同的方法那么完成这件事共有 N m1 m2 L mn种不同的方法-2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 m1种不同的方法,做第二步有 m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N mi m2 L mn种不同的方法.分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法

30、只属于某一类， 用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事 .应用两种原理解题：1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成 ，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制.二、讲解新课：问题1.从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午 的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取 2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列

31、，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素 .二次备课解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从 3人中任选1人,有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午 活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有 2种方法.根据分步乘法计数原理，在 3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X 2=6种，如图1.2 1所示.相应的排法甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙图 1.2 1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素

32、a , b ，。中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列 是 ab,ac,ba,bc,ca, cb, 共有 3 x 2=6 种.问题2 .从1,2,3,4 这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同 的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在 4个字母中任取1个，有4 种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数，从余下的2个数中取，有2种方法.由分步计数原理共有：4X3X2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法.显然，从4个数字中，每次取出 3个

33、，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得到 一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决 这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1 , 2,3,4 这4个数字中任取1个，有4种方法;第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字， 当百位、十位上的数字确定后， 个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2种方法.根据分步乘法计数原理，从1 , 2,3,4 这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，共有4X 3X 2=24种不同的排

34、法，因而共可得到24个不同的三位数，如图 1.2 2所示.由此可写出所有的三位数:123, 124, 132, 134, 142, 143,213, 214,231,234, 241,243,312, 314,321,324, 341,342,二次备课412, 413, 421,423, 431,432。同样，问题2可以归结为：从4个不同的元素a, b, c , d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同 的排列方法？所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba,

35、cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有4X 3X 2=24种.树形图如下从n个不同元素中，任取 m (m n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排 成一列，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列. 说明：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同.3 .排列数的定义：从n个不同元素中，任取 m(m n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出 m元素的排列数，用符号 Amm表示.注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 n个不同元素中，

36、任取 m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 n个不同元素中，任取 m ( m n)个元素的 所有排列的个数，是一个数所以符号Anm只表示排列数，而不表示具体的排列4 .排列数公式及其推导：,.2,由An的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2,K an中任取2个元素去填空,一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种.2 、.填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数An .由分步计数原理完成上述填空共有-2n(n 1)种填法，An = n(n 1).33由此，求 An可以按依次填 3个空位来考虑， An = n(n

37、1)(n 2),求Am以按依次填m个空位来考虑 Am n(n 1)(n 2)L (n m 1),茸I隹期第3住二次备课排列数公式：Am n(n 1)(n 2)L (n m 1)(m, n N ,m n)说明：(1)公式特征：第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是 n m 1,共有m个因数；(2)全排列：当n m时即n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数：An n(n 1)(n 2)L 2 1 n!(叫做n的阶乘).另外，我们规定 0! =1 .五、课后总结排列的特征：一个是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”，“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排

38、列问题的重要标志。根据排列的定义，两 个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同.了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列 数公式进行计算。对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”.前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义，掌握排列数公式及 推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。六、作业布置七、教学设计二次备课第 课时总第 教案课型：习题课主备人： 审核人： 1 . 2.

39、 1 排列(1)、教学目标：1 .能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题、教学过程,例 1.用计算器计算：(1 )篇；(2 ) A58； (3 ) A18 A133.解：用计算器可得：(1) 10 SHIFT 叵 4=5 040J(2) 18 |SHIFT画 5=1 028 160,(3) 18 |SHIFT 画 18 日 13 |SH)nPt 13=1 028 MO.由(2 ) ( 3)我们看到，A58 A1； A1； .那么，这个结果有没有一般性呢？即AmAnn!Ann m.An m (n m)!排列数的另一个计算公式：Am n(n 1)(n 2)L (n m 1)n(n 1)(n 2

40、)L (n m 1)(n m)L 3 2 1 n! _ Anm n!.仪 H An =(n m)(n m 1)L 3 2 1(n m)! An m(n m)!例 2 .解方程：3 A3 2A21 6A2.解：由排列数公式得： 3x(x 1)(x 2) 2(x 1)x 6x(x 1),x 3, 3(x 1)(x 2) 2(x 1) 6(x 1),即 3x2 17x 10 0,2 一一斛得x 5或x -, . x 3,且x N ，原万程的解为 x 5.3例3.解不等式：Ax 6Ax 2.解：原不等式即9!(9 x)!6,(11 x)!二次备课,1也就是一1一（9 x）!(11 x) (10 x)

41、(9 x)!，化简得：x2 21x 104 0,解得x 8或x 13,又 2 x 9,且x N所以,原不等式的解集为2,3,4,5,6,7例4.求证：（1）Am nAnAn(2)(2n)!2n n!5L (2n 1).证明:m n m AnAn m(n(n m)!m)! n!An,(2)(2n)! 2n (2n.n .2 n!1) (2n 2)L 4 3 2 1n2 n!2nn (n 1)L 2 1 (2n 1)(2n 3)L 3 12n n!n! 1 3L (2n 3)(2n 1)1 3 5L (2n 1) n!原式成立*右边说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数Am 中，m,

42、nN且m n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;(2)公式Amn（n 1）（n 2）L （n m 1）常用来求值，特别是m, n均为已知时，公式Am=， (n m)!常用来证明或化简.例5.化简:(1)12!23!3_4!n 1n!1 1! 22! 33! Ln n! ,解：原式1!工2!12!13!13!14!1(n 1)!提示：由1 n!n!得 n n! n1 ! n!,原式n 1 ! 1 .说1(n 1)!1n!例7.（课本例2）.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行 1次主场

43、比赛与1次客场比赛，对应于从 14个元素中任取2个元素的一个排列.因此，比赛的总场次是A24=14X 13=182.例8.（课本例3）. （1 ）从5本不同的书中选 3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解：（1 ）从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学，对应于从 5个不同元素中任取 3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A53=5X 4X3=60.二次备课（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 5X5X5=125.例8中

44、两个问题的区别在于：（1 ）是从5本不同的书中选出 3本分送3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而（2 ）中，由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，只能用分步乘法计数原理进行计算.例9.（课本例4）.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在本问题的。到9这10个数字中，因为。不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上， 因此。是一个特殊的元素.一般的，我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问题解法1 :由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字 不能是O,因此可以分两步完成排列.第 1步，排百位上的 数字，可以从1到9这九个数字中任选

45、 1个，有a9种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A2种选法（图1.2 5） .根据分步 乘法计数原理，所求的三位数有A9 麓=9>< 9X 8=648 （个）.解法2 :如图1.2 6所示，符合条件的三位数可分成 3类.每一位数字都不是位数有 A母 个，个位数字是 O的三位数有揭个，十位数字是0的三位数有揭个. 根据分类加法计数原理， 符合条件的三位数有.3. 2 . 2.A9 A9 A9 =648 个. I 一，- U. |解法3 :从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A130,其中O在百位上的排列数是.2A9 ,它们的差就是用这

46、10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是 A30-A2 =10X 9X 8-9 X 8=648.对于例9这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有 不同的解题方法.解法 1根据百位数字不能是。的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法 2以O是否出现以及出现的位置 为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法 3是一种逆向思考方法：先 求出从10个不同数字中选 3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是。的排列数（即不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过

47、程可以看到， 引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m （mwn）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.1.1 节中的例9是否也是这类计数问题？你能用排列的知识解决它吗？四、课堂练习：1 .若 x n! ,则 x () 3!(A)A3(b)w3(C)An372 .与Aio A不等的是 ()989(A) Aio(B) 81A8(C)10A93 .若A、 2A3,则m的值为 ()(A) 5(B)3(C) 6564 计管.2A9 3A9.(m 1)!4刁八z ，- nn9! AoAm 1 (m n)!5.若2 (m m ? 42 ,则m的解集是.

48、Am 1-3(D) An 3A 10(D) Ao(D)76. (1)已知 Am 10 9 L 5,那么 m _；(2)已知 9! 362880,那么 A7=_；(3)已知A2 56 ,那么n ；(4)已知 A2 7A2 4,那么 n .7. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道 只能停放1列火车)？8. 一部纪录影片在 4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4.1,15. 2,3,4,5,66. (1) 6(2) 181440 (3) 8(4) 57. 16808. 24 .第 课时总第 教案二次备课课型

49、：习题课主备人:审核人:1. 2. 1 排列（2）、教学目标:1 .能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题、教学过程补充例题例1. （1）有5本不同的书，从中选 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送 法？（2）有5种不同的书，要买 3本送给3名同学，每人各 1本，共有多少种不同的送法？ 解：（1）从5本不同的书中选出 3本分别送给3名同学，对应于从 5个元素中任取3个元 素的一个排列，因此不同送法的种数是：A 5 4 3 60,所以，共有60种不同的送法*（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5 5

50、 5 125,所以，共有125种不同的送法.说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从5本不同的书中选出 3本分送给3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算.例2.某信号兵用红、黄、蓝 3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有 A3种；第二类用2面旗表示的信号有 A32种；3第三类用3面旗表示的信号有 A3种，由分类计数原理，所求的信号种数是

51、：A3 A2 A； 3 3 2 3 2 1 15,答：一共可以表示 15种不同的信号.例3.将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出 4个元素排成一列，有 A4种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A4种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数.解：由分步计数原理，分配方案共有N A4 A4 576 （种）答：共有576种不同的分配方案.例4.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复

52、数字的三位数？解法1:用分步计数原理：，百慎所求的三位数的个数是：A； A2 9 9 8 648.解法2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是。的三位数有A93个，个位数字是0的三位数有A2个，十位数字是 0的三位数有席个，由分类计数原理，符合条件的三位数的个数是：A93 A2 A2 648.解法3:从。到9这10个数字中任取3个数字的排列数为 A3),其中以0为排头的排列数为 A2 ,因此符合条件的三位数的个数是A130 A2 648-%.说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法.直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法1, 2;间接法：对

53、于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法 3.对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏.例5. (1) 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列 A； = 5040.(2) 7位同学站成两排(前 3后4),共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7X6X5X4X3X 2X 1 = 7! = 5040.(3) 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的 6个元素的全排列一一 A6 =720 .(4) 7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有 A；种；第二步 余下的5名同学进行全排列有 A：种，所以，共有 A； A5 =240种排列方法.(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1 (直接法)：第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中