圆幂定理课件讲义(带答案).doc

1、圆幂定理STEP 1: 进门考理念： 1.检测垂径定理的基本知识点与题型。2.垂径定理典型例题的回顾检测。3. 分析学生圆部分的薄弱环节。（ 1）例题复习。1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含 30锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A ， B 恰好都落在量角器的圆弧上，且AB MN 若 AB=8cm ，则量角器的直径MN=cm【考点】 M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形【分析】 作 CD AB 于点 D ，取圆心 O，连接 OA ，作 OE AB 于点 E，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角AOE 中，

2、利用勾股定理求得半径OA 的长，则MN 即可求解【解答】 解：作 CDAB 于点 D，取圆心O，连接 OA ，作 OE AB 于点 E在直角 ABC 中， A=30，则 BC=AB=4cm ，在直角 BCD 中， B=90 A=60，CD=BC?sinB=4 =2（ cm）， OE=CD=2，在 AOE 中， AE=AB=4cm ，则 OA=2（ cm），则 MN=2OA=4（ cm） 故答案是： 4【点评】 本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形1/272. （2017?阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后， 圆弧恰好经过

3、圆心 O，则折痕 AB 的长为（）A 2cm BcmC2cm D2cm【考点】 M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）【分析】 通过作辅助线， 过点 O 作 OD AB 交 AB 于点 D，根据折叠的性质可知OA=2OD ，根据勾股定理可将AD 的长求出，通过垂径定理可求出AB 的长【解答】 解：过点 O 作 OD AB 交 AB 于点 D，连接 OA ，OA=2OD=2cm ， AD=（ cm），OD AB ， AB=2AD=2cm 故选： D 【点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中， P 的圆心坐标是（

4、3， a）（ a3），半径为 3，函数 y=x 的图象被 P 截得的弦 AB 的长为，则 a 的值是（）A4BCD【考点】 M2：垂径定理；F8：一次函数图象上点的坐标特征；KQ ：勾股定理【专题】 11 ：计算题； 16 ：压轴题【分析】 PC x 轴于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，连结 PB，由于 OC=3 ， PC=a，易得 D 点坐标为（ 3，3），则 OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形由PE2/27AB ，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在 Rt PBE 中，利用勾股定理可计算出PE=1 ，则 PD=PE=，所以 a=3+【解答】 解：作 PC

5、 x 轴于 C，交 AB 于 D，作 PE AB 于 E，连结 PB，如图， P 的圆心坐标是（3， a）， OC=3 ，PC=a，把 x=3 代入 y=x 得 y=3， D 点坐标为（ 3， 3）， CD=3， OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形，PEAB ， AE=BE=AB= 4=2，在 Rt PBE 中， PB=3 ，PE=， PD=PE=， a=3+故选： B【点评】 本题考查了垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质4. （2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（ 1

6、3，0），直线 y=kx 3k+4 与 O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为【考点】 FI：一次函数综合题【专题】 16 ：压轴题【分析】 根据直线 y=kx 3k+4 必过点 D（ 3， 4），求出最短的弦CB 是过点 D 且与该圆直径垂直的弦，再求出OD 的长，再根据以原点O 为圆心的圆过点A （ 13， 0），求出OB 的长，再利用勾股定理求出BD ，即可得出答案【解答】 解：直线y=kx 3k+4=k （ x 3） +4， k（ x 3） =y 4， k 有无数个值， x 3=0 ， y 4=0 ，解得 x=3 ，y=4 ，直线必过点D （3， 4），最短的弦CB 是过点

7、 D 且与该圆直径垂直的弦，点 D 的坐标是（ 3， 4）， OD=5 ，3/27以原点 O 为圆心的圆过点A（ 13， 0），圆的半径为13，OB=13 ， BD=12 ， BC 的长的最小值为24；故答案为： 24【点评】 此题考查了一次函数的综合， 用到的知识点是垂径定理、 勾股定理、 圆的有关性质，关键是求出 BC 最短时的位置STEP 2: 新课讲解1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路。3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。4、通过课上例题，结合课下练习。掌握此部分的知识。一、相交弦定理相交弦定理（ 1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交

8、点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦 AB 、CD 交于点 P，则 PA?PB=PC?PD（相交弦定理）（ 2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项几何语言：若 AB 是直径， CD 垂直 AB 于点 P，则 PC2=PA?PB（相交弦定理推论）基本题型：【例 1】 （2014 秋?江阴市期中）如图，O 的弦 AB 、CD 相交于点 P，若 AP=3，BP=4，CP=2，则 CD 长为（）A6B12C8D不能确定4/27【考点】 M7：相交弦定理【专题】 11 ：计算题【分析】 由相交线定理可得出

9、 AP?BP=CP?DP，再根据 AP=3 ，BP=4 ， CP=2，可得出 PD 的长，从而得出 CD 即可【解答】 解： AP?BP=CP?DP，PD=， AP=3 ， BP=4 ， CP=2， PD=6 ，CD=PC +PD=2+6=8 故选 C【点评】 本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等【练习 1】（ 2015?南长区一模）如图，矩形 ABCD 为 O 的内接四边形， AB=2 ，BC=3，点 E 为 BC 上一点，且 BE=1，延长 AE 交 O 于点 F，则线段 AF的长为（）AB5C+1D【考点】 M7：相交弦定理【分析】 由矩形的性质和勾股定理求

10、出AE ，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF 的长【解答】 解：四边形ABCD 是矩形， B=90，AE=， BC=3 ， BE=1 ， CE=2 ，由相交弦定理得： AE?EF=BE?CE，EF=，AF=AE +EF=；故选： A【点评】 本题考查了矩形的性质、勾股定理、 相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定理，并能进行推理计算是解决问题的关键综合题型【例 2】 （2004?福州）如图， AB 是 O 的直径， M 是 O 上一点， MN AB ，垂足为 NP、Q 分别是 、 上一点（不与端点重合），如果 MNP=5/27MNQ ，下面结论： 1=2； P+ Q=180； Q=PMN

11、；PM=QM ；MN 2=PN?QN其中正确的是（）ABCD【考点】 M7：相交弦定理； M2 ：垂径定理； M4 ：圆心角、弧、弦的关系； M5 ：圆周角定理； S9：相似三角形的判定与性质【专题】 16 ：压轴题【分析】 根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案【解答】 解：延长MN 交圆于点 W ，延长 QN 交圆于点E，延长 PN 交圆于点 F，连接 PE，QF PNM= QNM ，MN AB ， 1= 2（故正确）， 2 与 ANE 是对顶角， 1= ANE ，AB 是直径，可得 PN=EN ，同理 NQ=NF ，2点 N 是 MW 的中点， MN?NW=MN=PN?NF

12、=EN?NQ=PN?QN （故正确）， PNM= QNM ， NPM NMQ ， Q= PMN （故正确）故选 B【点评】 本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解与代数结合的综合题【例 3】 （2016?中山市模拟） 如图，正方形 ABCD 内接于 O，点 P 在劣弧 AB上，连接 DP，交 AC 于点 Q若 QP=QO，则的值为（）6/27ABCD【考点】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理【专题】 11 ：计算题【分析】 设 O 的半径为r，QO=m ，则 QP=m ，QC=r +m，QA=r m利用相交弦定理，求出 m 与 r 的关系，即用r 表示出 m，即可表示出所

13、求比值【解答】 解：如图，设 O 的半径为 r，QO=m ，则 QP=m ， QC=r +m， QA=r m在 O 中，根据相交弦定理，得QA?QC=QP?QD即（ r m）（ r+m） =m?QD，所以 QD=连接 DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2+QO2，即，解得所以，故选 D【点评】 本题考查了相交弦定理，即 “圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等 ”熟记并灵活应用定理是解题的关键需要做辅助线的综合题【例 4】 （2008 秋?苏州期末）如图， O 过 M 点， M 交 O 于 A，延长 O的直径 AB 交 M 于 C，若 AB=8 ，BC=1，则 AM

14、=7/27【考点】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圆周角定理【分析】 根据相交弦定理可证AB?BC=EB?BF= （ EM +MB ）（ MF MB ） =AM22，MB =8又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6 【解答】 解：作过点 M 、 B 的直径 EF，交圆于点E、F，则 EM=MA=MF ，22由相交弦定理知，AB?BC=EB?BF= （EM +MB ）（ MF MB ） =AM MB =8， AMB=90 ，由勾股定理得，AM 2+MB 2=AB 2=64 ， AM=6 【点评】 本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解二、割线定理割

15、线定理割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： PBA ， PDC 是 O 的割线 PD?PC=PA?PB（割线定理）由上可知： PT2=PA?PB=PC?PD基本题型【例 5】 （1998?绍兴）如图，过点P 作 O 的两条割线分别交 O 于点 A 、 B和点 C、 D，已知 PA=3，AB=PC=2 ，则 PD 的长是（）8/27A3B7.5 C5D5.5【考点】 MH ：切割线定理【分析】 由已知可得PB 的长，再根据割线定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD 的长【解答】 解： PA=3， AB=PC=2 ，PB=5 ，PA?PB=

16、PC?PD，PD=7.5 ，故选 B【点评】 主要是考查了割线定理的运用【练习 2】（ 2003?天津）如图， RtABC 中， C=90， AC=3，BC=4，以点 C 为圆心、 CA 为半径的圆与 AB 、BC 分别交于点 D、 E求 AB 、AD 的长【考点】 MH ：切割线定理；KQ ：勾股定理【分析】 Rt ABC 中，由勾股定理可直接求得AB 的长；延长 BC 交 C 于点 F，根据割线定理，得BE?BF=BD?BA ，由此可求出BD 的长，进而可求得 AD 的长【解答】 解：法 1：在 Rt ABC 中， AC=3 ， BC=4 ；根据勾股定理，得AB=5 延长 BC 交 C 于

17、点 F，则有：EC=CF=AC=3 （ C 的半径），BE=BC EC=1 ， BF=BC +CF=7 ；由割线定理得，BE?BF=BD?BA ，于是 BD=；所以 AD=AB BD=；法 2：过 C 作 CM AB ，交 AB 于点 M ，如图所示，9/27由垂径定理可得M 为 AD 的中点，S ABC =AC?BC=AB?CM ，且 AC=3 ， BC=4 ， AB=5 ，CM=，在 Rt ACM 中，根据勾股定理得： AC 2=AM 2+CM 2，即 9=AM 2+（） 2，解得： AM=，AD=2AM=【点评】 此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用综合题型【例 6】 （20

18、15?武汉校级模拟） 如图，两同心圆间的圆环的面积为16，过小圆上任意一点 P 作大圆的弦 AB ，则 PA?PB的值是（）A 16B16C 4D4【考点】 MH ：切割线定理【分析】 过 P 点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定22222 r2理得到 PA?PB=（OC OP）?（ OP+OD） =R r ，再利用 R r得到 R=16，所=16以 PA?PB=16【解答】 解：过 P 点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r， PA?PB=PC?PD， PA?PB=（OC OP） ?（ OP+OD ）10 /27=（R r）（ R+r）22=R

19、 r ，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16，22R r=16 ，R2 r2=16 ， PA?PB=16故选 A【点评】 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了相交弦定理【思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？三、切割线定理切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： PBA ， PDC 是 O 的割线 PD?PC=PA?PB（割线定理）2由上可知： PT =PA?PB=PC?PD【例 7】 （2013?长清区二模）如图， PA 为 O 的切线， A 为切点， O 的割线 PBC

20、过点 O 与 O 分别交于 B、C，PA=8cm，PB=4cm，求 O 的半径【考点】 MH ：切割线定理【专题】 11 ：计算题【分析】 连接 OA ，设 O 的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可【解答】 解：连接 OA ，设 O 的半径为 rcm，（ 2 分）则 r2+82=（r+4） 2，（ 4 分）11/27PC2=PB?PA解得 r=6， O 的半径为6cm（ 2 分）【点评】 本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握【练习 3】（ 2013 秋 ?东台市期中）如图，点P 是 O 直径 AB 的延长线上一点，PC 切 O 于点 C，已知 OB=3，PB=2则 PC

21、等于（）A2B3C4D5【考点】 MH ：切割线定理【专题】 11 ：计算题2【分析】 根据题意可得出PC =PB?PA，再由 OB=3 ，PB=2 ，则 PA=8，代入可求出PC2【解答】 解： PC、 PB 分别为 O 的切线和割线，PC =PB?PA，2OB=3 ， PB=2 ， PA=8 ， PC =PB?PA=2 8=16， PC=4故选 C【点评】 本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式四、切线长定理切割线定理（ 1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长（ 2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点

22、的连线，平分两条切线的夹角（ 3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量（ 4）切线长定理包含着一些隐含结论：垂直关系三处；全等关系三对；弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到12 /27【例 8】 （2015?秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD ，且 BC=10，AD=7 ，则四边形的周长为（）A32B34C36D38【考点】 MG ：切线长定理【分析】根据切线长定理， 可以证明圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长【解答】 解：由题意可得圆外切四边形的两

23、组对边和相等，所以四边形的周长=2（ 7+10） =34 故选： B【点评】 此题主要考查了切线长定理， 熟悉圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键【练习 4】（ 2015?岳池县模拟）如图， PA，PB 切 O 于 A ，B 两点， CD 切 O 于点 E 交 PA，PB 于 C，D，若 O 的半径为 r， PCD 的周长为 3r，连接OA， OP，则的值是（）ABCD【考点】 MG ：切线长定理；MC ：切线的性质【分析】 利用切线长定理得出CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ，进而得出PA=r，求出即可【解答】 解： PA，PB 切 O 于 A，B 两点，

24、CD 切 O 于点 E 交 PA， PB 于 C，D， CA=CF ， DF=DB ， PA=PB ， PC+CF+DF +PD=PA=PB=2PA=3r ， PA= r，则的值是：=故选： D【点评】 此题主要考查了切线长定理，得出PA 的长是解题关键13 /27【例 9】 （2014 秋?夏津县校级期末）如图， P 为 O 外一点， PA，PB 分别切 O 于 A ， B，CD 切 O 于点 E，分别交 PA，PB 于点 C，D若 PA=5，则PCD 的周长和 COD 分别为（）A 5，（90+ P）B7，90+C10，90 P D10， 90+ P【考点】 MG ：切线长定理【分析】根据

25、切线长定理， 即可得到PA=PB，ED=AD ，CE=BC ，从而求得三角形的周长=2PA ；连接 OA 、OE、OB 根据切线性质，P+ AOB=180 ，再根据 CD 为切线可知COD=AOB 【解答】 解： PA、PB 切 O 于 A 、 B ，CD 切 O 于 E， PA=PB=10 ， ED=AD ， CE=BC ； PCD 的周长 =PD+DE +PC+CE=2PA，即 PCD 的周长 =2PA=10，；如图，连接 OA 、 OE、 OB由切线性质得，OA PA， OBPB ， OE CD， DB=DE ，AC=CE ，AO=OE=OB ，易证 AOC EOC（ SAS）， EOD

26、 BOD （ SAS）， AOC= EOC， EOD= BOD ， COD= AOB ， AOB=180 P， COD=90 P故选： C【点评】 本题考查了切线的性质， 运用切线的性质来进行计算或论证， 常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型五、圆幂定理14 /27请尝试解出下列例题：【例 10】 （ 2005?广州）如图，在直径为 6 的半圆上有两动点 M 、N，弦 AM 、BN 相交于点 P，则 AP?AM+BP?BN 的值为【考点】 M7：相交弦定理；KQ ：勾股定理； M5 ：圆周角定理【专题】 16 ：压轴题； 25 ：动点型【分析】 连接 A

27、N 、BM ，根据圆周角定理，由 AB 是直径，可证 AMB=90 ，由勾股定理知， BP2=MP 2+BM 2，由相交弦定理知， AP?PM=BP?PN，原式 =AP（AP +PM ）+BP（BP+PN）=AP 2+AP?PM+BP2+BP?PN=AP2 +BP2+2AP?PM=AP 2+MP2+BM 2+2AP?PM=AP 2+ （ AP +PM ）2=AP 2+AM2=AB 2 =36【解答】 解：连接 AN 、 BM ，AB 是直径， AMB=90 222BP =MP +BM AP?PM=BP?PN原式 =AP （ AP+PM ）+BP（ BP+PN）=AP 2 +AP?PM +BP2

28、+BP?PN=AP 2+BP2+2AP?PM=AP 2+MP 2+BM 2+2AP?PM=BM 2+（ AP+PM ） 2=BM 2+AM 2=AB 2=36 【点评】 本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解以上四条定理统称为圆幂定理。（部分参考书以前三条为圆幂定理）圆幂定理 ：过平面内任一点P（P 与圆心 O 不重合）做 O 的（切）割线，交 O 与点 A 、B，则恒有 PA PBOP 2r 2 。（“ OP 2r 2 ”被称为点 P 到O 的幂。）15 /27STEP 3: 落实巩固 查漏补缺理念： 找到自己本节课的薄弱环节。STEP 4: 总结理念： 本结课复习了什么？学到了什么

29、？方法： 学生口述 +笔记记录。STEP 5: 课后练习一选择题（共5 小题）1如图所示，已知 O 中，弦 AB ， CD 相交于点 P，AP=6， BP=2，CP=4，则PD 的长是（）A6B5C4D3【分析】 可运用相交弦定理求解，圆内的弦 AB ， CD 相交于 P，因此 AP?PB=CP?PD，代入已知数值计算即可【解答】 解：由相交弦定理得AP?PB=CP?PD， AP=6 ， BP=2 ， CP=4， PD=AP?PB CP=6 24=3 故选 D【点评】 本题主要考查的是相交弦定理 “圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等 ”2O的两条弦 AB与 CD相交

30、于点 P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，则 CD=（）16 /27A 12cmB6cm C8cm D 7cm【分析】 根据相交弦定理进行计算【解答】 解：由相交弦定理得：PA?PB=PC?PD，DP=6cm ，CD=PC+PD=2 +6=8cm 故选 C【点评】 本题主要是根据相交弦定理 “圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等 ”进行计算3如图， O 中，弦 AB 与直径 CD 相交于点 P，且 PA=4， PB=6，PD=2，则 O 的半径为（）A9B8C7D6【分析】 根据相交弦定理得出AP BP=CP DP，求出 CP，求出 CD 即可【解答】 解：

31、由相交弦定理得：AP BP=CP DP， PA=4 ，PB=6 ，PD=2 ， CP=12 ， DC=12 +2=14，CD 是 O 直径， O 半径是 7故选 C【点评】 本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出AP BP=CP DP4如图，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， OA=2 ，AB 是 O 的切线， B 是切点，弦 BCOA ，连接 AC ，则阴影部分的面积等于（）ABCD【分析】 连接 OB ，OC，易证： BOC 是等边三角形，且阴影部分的面积 = BOC 的面积，据此即可求解【解答】 解：连接 OB， OC，AB 是圆的切线，17 /27 ABO=90 ，在直角

32、 ABO 中， OB=1 ， OA=2 ， OAB=30 ， AOB=60 ，OA BC， COB= AOB=60 ，且 S 阴影部分 =SBOC ， BOC 是等边三角形，边长是1，S 阴影部分 =SBOC= 1=故选 A【点评】 本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明BOC 是等边三角形是解题的关键5如图， PA，PB 分别是 O 的切线， A ，B 分别为切点，点E 是 O 上一点，且 AEB=60，则 P 为（）A 120B60C30D 45【分析】 连接 OA ，BO ，由圆周角定理知可知AOB=2 E=120，PA、PB 分别切 O 于点A 、 B ，利用切线的性

33、质可知 OAP= OBP=90，根据四边形内角和可求得 P=180 AOB=60【解答】 解：连接 OA ， BO； AOB=2 E=120， OAP= OBP=90 ， P=180 AOB=60 故选 B【点评】 本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360 度求解18 /27二解答题（共3 小题）6如图， P 为弦 AB 上一点， CPOP 交 O 于点 C，AB=8 ，=，求 PC 的长【分析】延长 CP 交 O 于 D 由垂径定理可知CP=DP ，由 AB=8 ，=，得到 AP=AB=2 ，PB=AB=6 再根据相交弦定理得出PC?PD=AP?PB，代入

34、数值计算即可求解【解答】 解：如图，延长CP 交 O 于 DCPOP，CP=DP AB=8 ，=， AP= AB=2 ，PB= AB=6 AB 、 CD 是 O 的两条相交弦，交点为P， PC?PD=AP?PB， PC2=2 6， PC=2 【点评】本题考查了相交弦定理： 圆内的两条相交弦， 被交点分成的两条线段长的积相等 同时考查了垂径定理，准确作出辅助线是解题的关键7如图， AB ， BC， CD 分别与 O 相切于 E，F，G，且 AB CD， BO=6cm，CO=8cm求 BC 的长19 /27【分析】 根据切线长定理和平行线的性质定理得到BOC 是直角三角形再根据勾股定理求出 BC

35、的长【解答】 解： AB ，BC ， CD 分别与 O 相切于 E， F， G； CBO= ABC ， BCO=DCB ，AB CD， ABC + DCB=180 ， CBO + BCO= ABC +DCB=（ ABC + DCB ） =90cm【点评】 解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现Rt BOC，再根据勾股定理进行计算8如图， PA 切 O 于点 A，割线 PBC 交 O 于点 B、C（ 1）求证： PA2=PB?PC；（ 2）割线 PDE 交 O 于点 D、E，且 PB=BC=4，PE=6，求 DE 的长【分析】（ 1）连接 AB 、AC 、BO、AO ，可证得 PA

36、B PCA，则，即 PA2 =PB?PC22（2）由 PA =PB?PC，同理得， PA =PD?PE，可证得 PD?PE=PB?PC，根据题意可求得 PD，即得出 DE 的长【解答】 解：（ 1）连接 AB 、 AC 、BO 、 AO ，PA 切O 于点 A，PA AO ，即 PAB+ BAO=90 ，（ 1 分）又 2 BAO +O=180， PAB= O， C=O， PAB= C，20 /27 PAB PCA，（ 4 分），即 PA2=PB?PC（ 5 分）（ 2） PA2=PB?PC，同理， PA2=PD?PE，PD?PE=PB?PC，（ 7 分）且 PB=BC=4 ， PE=6，（9

37、分）即 DE=PE PD=6 = （10分）【点评】 本题考查的是切割线定理，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握9.（2014?长沙校级自主招生） 以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧 BC折叠后与直径 AB 交于点 D，若，且 AB=10 ，则 CB 的长为（）ABCD4【考点】 MH ：切割线定理；KQ ：勾股定理； PB ：翻折变换（折叠问题）【专题】 31 ：数形结合【分析】 作 AB 关于直线 CB 的对称线段 AB，交半圆于 D，连接 AC 、CA，构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答【解答】 解：如图，若，且 AB=10 ， AD=4 ，BD=6 ，作

38、AB 关于直线 BC 的对称线段 AB，交半圆于 D，连接 AC 、CA，可得 A 、C、A三点共线，线段 AB与线段 AB 关于直线 BC 对称， AB=AB，AC=AC，AD=AD=4， AB=AB=10而 AC?AA=AD?A，B即AC?2AC=4 10=402则 AC，=202222， CB=4又 AC CB， 20=100 CB=AB故选 A21 /27【点评】 此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答22 /27赠送以下学习资料和倍差倍问题学习目标通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线

39、段图。二、基础知识1. 和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本的数量关系： 和 ( 倍数 +1)=较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )2. 差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。基本公式： 差 ( 倍数的差 ) 标准数 ( 一倍数 )例题解析一、和倍问题例 1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸 240 千克，第一组交的废报纸是第二组的 3 倍，问两组各交废报纸多少千克？23 /27小结：解答基本的和倍问题，先确定其中一个数作为标准数 (1 倍数 ) ，再找出两数的和，及其相对应的倍数关系， 这样就可以求出

40、标准数， 也就可求出另一个数(较大数)。基本的数量关系： 和 ( 倍数 +1)=较小数 ( 即 1 倍数、标准数 )练一练： NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是 339 厘米，姚明的身高大约是小明身高的 2 倍。你能够算出来吗？例 2：哥哥原有 108 元，弟弟有 60 元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的 5 倍，弟弟应给哥哥多少钱？练一练：妹妹有课外书 20 本，姐姐有课外书 25 本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的 2 倍？例 3：二个同学共做了 23 道题。如果乙同学再多做 1 题，将是甲同学做的 2 倍，二个同学各做了几题？例 4：熊猫水果店运来水果 380 千克，其中苹果比梨的 3 倍还少 40 千克，水果店运来苹果和梨各多少千克 ?练一练： 果