大学物理下15章习题参考答案中国石油大学.

1、15 章习题参考答案15-3 求各图中点P 处磁感应强度的大小和方向。 解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：B0 Icos 1cos 24 a对于导线 1： 10，0 I2，因此 B1a24对于导线 2： 12，因此 B20BpB10 IB24 a方向垂直纸面向外。(b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：对于导线 1：对于导线 2：110，2B0 I cos 1cos24 a2，因此 B10 I0 I，方向垂直纸面向内。24a4 r2，因此 B240 I0 I，方向垂直纸面向内。a 4r半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同

2、的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半，即10 I0 IB32r，方向垂直纸面向内。24r所以， BpB1B20 I0 I0 I0 I0 IB34 r4r2 r4r4 r(c) P 点到三角形每条边的距离都是d3a6130o ， 2 150o每条边上的电流在P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是B00 Icos300cos15003 0 I4 d2 a故 P 点总的磁感应强度大小为B3B09 0 I2 a方向垂直纸面向内。15-4 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面线圈，通有电流I，方向如图所示。求中心O 处的磁感应强度。 解 由题意知， 均匀

3、密绕平面线圈等效于通以INI 圆盘，设单位长度线圈匝数为nnNRr建立如图坐标，取一半径为x 厚度为 dx 的圆环 ,其等效电流为 :dIjdxNIdxRrdB00dI0 NI dx2x2x( Rr )所以 B0dB0R0 NIdx0 NIR2x( Rr )lnrNIr2(R r )方向垂直纸面向外 .15-5 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流I=5.0A ，圆筒半径 R=1.0 102m 如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。 解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元dl则 dIdl IyRdl则 dl 在 O 点所产生的磁场为dB0dI0 Idl2

4、 R22 R2x又因， dl RddB所以， dB0dI0 Id22 R2 RdBxdB cos， dBydB sin半圆筒对 O 点产生的磁场为：BxdBx0 ， BydBy0 I002R所以 B 只有 y 方向分量，即 BBy0 I，沿 y 的负方向。2 R15-6 矩形截面的螺绕环， 尺寸如图所示， 均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为0 NIhD12lnD2 证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元dS hdxdx以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为r ， D2rD1 ，x22OxBdl2 rB0 NIB0 NI2rdBd S所以dD120NI0

5、hNID1BdShdr2lnD222 rD215-7 长直导线 aa 与半径为 R 的均匀导体圆环相切于点 a，另一直导线环接于点 b，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1) 求圆环中心点O 的 B。(2)B 沿闭合路径L 的环流B dl 等于什么 ?Labb 沿半径方向与圆a121200O3R 解 (1)B0B1B2B3B4其中 :B40B0 I14 RB20 I 2, B10 I 3I 2l33,232R32RI 3l2故 B2与 B3 大小相等 ,方向相反 ,所以 B2 B3 0因而 B0B10 I,方向垂直纸面向外 .4 R(2) 由安培环路定理 ,有 :b

6、4bB dlI i2I00 ( II )0L3315-9 磁 场 中 某 点 处 的 磁 感 应 强 度 B 0.40i0.20 jT ， 一 电 子 以 速 度v 0.5106 i1.010 6 j m s 通过该点。求作用在该电子上的磁场力。 解 由洛仑兹力公式 ,有ijkFqv B1.610 19 0.51.00 106810 14 kN0.40.2015-10 在一个圆柱磁铁N 极正上方，水平放置一半径为R 的导线圆环，如图所示，其中通有顺时针方向 (俯视 )的电流 I。在导线处的磁场 B 的方向都与竖直方向成角。求导线环受的磁场力。 解 圆环上每个电流元受力为dFI dlB将 B 分

7、解为 z 分量和径向分量：BBzBrBzB cos ， BrB sin所以 dF I dl BzBrIdl BzIdl BrdF zIdl BrdF rIdl Bz对于圆环dF r0圆环所受合力为FFzIB rdl IB sin22 RIB sin，方向沿 z 轴正向。Rd015-11 如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为a 和 b，导体内通有电流 I，且电流在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a<r <b)各点的磁感应强度由下式给出B0 Ir 2a22 b2a 2r 解 作图示的安培环路有B dL0I iL因为导体电流在横截面上均匀分布，所以jIb 2

8、a2即B dL0 j(r 2a2 )L所以B0 I (r 2a 2 )(b2a 2 ) r215-12 一圆线圈的半径为R，载有电流 I ，置于均匀磁场中，如图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与B 的方向相同 )。TFlT 解 取半个圆环为研究对象 ,受力如图所示 ,由平衡条件 ,有 : 2T F ，半圆所受到的磁力 F 等效于长为 2R 的载流直导线，在磁场中受力：FBIl2BIRFBIl所以 TBIR2215-13 厚为 2d 的无限大导体平板，其内有均匀电流平行于表面流动，电流密度为j，求空间磁感应强度的分布。 解 建立如图所示的坐标系,

9、对板内 ,取安培环路abcd则B dL 2Bl0 2x l jL所以B0 jxB对板外 ,取安培环路a b c d ,则有 :yaabbxddccB dL0 ILx即 2Bl0 jl 2d所以 B0 jd15-14 一根半径为 R 的长直导体圆柱载有电流I ，作一宽为R 长为 l 的假想平面S，如图所示。若假想平面S 可在导体直径和轴OO 所确定的平面内离开OO 轴移动至远处，试求当通过面 S 的磁通量最大时平面S的位置 (设直导线内电流分布是均匀的)。解 r R时：B1 dl0 I0Ir 2R2B1 2 r0 Ir 2即 B10 IrR22 R2r R时：B2dl0 IB2 2r0 I即 B

10、20 I2 r当假想平面的内边界离OO 轴 x 时R0 IrldrR x0 Idr0 Il1R2x20 IllnRxx 2 R2l2R222RR2 r令0d0 Il2x0 Il10dx4 R22xRx15 1 Rx25 1R(舍)22对求二阶导数d 20 Il0 Il<0dx 22 R22x R 2因此 x151 R 时，有最大值。215-15 将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2 (如图所示 )。求载流平面上单位面积所受磁力的大小和方向。解 由图可知， B2> B1 ，说明载流平面的磁场B 的方向与所放入的均匀磁场B0

11、 的方向在平面右侧是一致的， 在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。设面电流密度为 j 。则B1B0 BB010 j2B2B B0B010 j2由此二式解得B01B1B2，j1B2 B120在载流平面上沿电流方向取长为h、宽为 dl 的条形面积，面积 dS=hdl ，面积上电流 dI=jdl，此电流受到的磁力大小为dF BhdI Bjh dl BjdS载流平面单位面积所受磁力大小为dFBj1B2B1B2B1B2B2dS2121020方向为垂直于平面向左。15-16 电流为 I 2 的等边三角形载流线圈与无限长直线电流I1 共面，如图所示。求：(1) 载流线圈所受到的总的磁

12、场力；(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c 并垂直于纸面方向的直线为轴)。 解 ab 边到长直导线的距离为d，电流 I 1 在 ab 边上的磁场为B0 I 1dl2 d方向垂直纸面向内。此磁场对ab 边的作用力为FAB I 2 Bl0 I1I2 l2 dOxx方向向左。在 ac 边上任取一 dl ,设 dl到 I 1 的距离为 x ，则 I1 在 dl 处产生的磁场为 B0 I1，dl 受到的磁力 dFI 2 dl B ，又因为 dl B2 x0I1I 2所以I 2 dlBdx2xcos30 0 ，dF30 I 1I dx0 I 1I3l2所以 Facdlln(1) ，方向如图所示。dx2

13、d33同理，可求得 FbcFac ，方向如图所示。则线圈受到的合力为：Fy0 ，FxFabFacx0 I 1 I 2 l1ln(13lFbcx3)2d2d方向沿 x 轴负向。（ 2）因为 dPMIdSnn的方向垂直直面向外所以 dPM B又因为 dMdPMB ，所以 dM0，所以 M015-17 半径为 a、线电荷密度为( 常量 )的半圆， 以角速度绕轴OO匀速旋转， 如图所示。求：(1)在点 O 产生的磁感应强度B；(2) 旋转的带电半圆的磁矩Pm 。 解 （ 1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dqdlad旋转后形成电流元dIn dqdqa2d2由圆环 B0IR 2得Ra sinxa c o

14、 s2 R2x 23 2dB0 a2sin 2dI0 a 2 sin2dI0sin2d2 a 2sin 2a 2cos23 22a 34B dB00sin2d0方向向上48（ 2）因为 PmISn ， dPmSdIa 2 sin 2 dIa 3 sin 2d2Pma 3 sin2da3sin2da 302204，方向向上。15-18 有一均匀带电细直棒AB，长为 b，线电荷密度为。此棒绕垂直于纸面的轴 O 以匀角速度转动，转动过程中端A 与轴 O 的距 离 a 保持不变，如图所示。求：(1)点 O 的磁感应强度B0 ；(2) 转动棒的磁矩 Pm ；(3)若 a>>b，再求 B0 和

15、 Pm 。 解 (1) 均匀带电直棒AB绕O轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元dqdr ,等效电流为：dqdrdI22它在 O 点的磁感应强度dB00 dI0dr2r4rB0dB00ab dr0lnab（0 ，方向垂直直面向里）4ar4a(2) dpmr 2 dI1r 2 dr2pmdpmab 1r2dra2( ab) 3a3 / 6Oa(3) 若 a>>b，则有：Aabb，B00b0qdq blnaa4a4 ab 情况相同与带电粒子Bab时,(ab)3a3(13/a), 则有bpma 3 3b1qa26 a 2与点电荷的磁矩相同15-20 有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R2 和 R1 ，它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a( R2 >a+ R1 >2 R1 )，如图所示。 电流 I 沿轴向流动， 在横截面上均匀分布。求两轴线上任一点的磁感应强度。 解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为R2 ，其上电流密度为 jI的实心导R12R22体，与半径为R1 的，电流密度为-j 的实心导体所构成的。设 j 沿 z 轴正方向，根据安培环路定