第七讲含绝对值的方程及不等式

1、第七讲含绝对值的方程及不等式第七讲含绝对值的方程及不等式从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外，任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值. 即一个数与它相反数的绝对值是一样的. 由于这个性质，所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法.一个实数a的绝对值记作I a | ,指的是由a所唯一确定的非负实数：上当国口中I 9 I = 4当值=0时三-a_当时.含绝对值的不等式的性质：Cl) I 自 II b I O 自I b I 或W - I b I , - I a I 1 a I i(2) | a | -

2、| b | & | a+b | & | a I + I b I ;(3) | a | - | b | < | a-b I < I a I + I b I .由于绝对值的定义，所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，脱去绝时值符号，转化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程与不等式的求解，常用分类讨论法.在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析.例 1 解方程 | x-2 | + | 2x+1 | =7.分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用

3、“零点分段法"，即令豆-2 = 0,+ 1 = 0,分别得到我=:，用2,将数轴分成三段，笆<-；,然后在每一段上去U乙心1 / 12第七讲含绝对值的方程及不等式掉绝对值符号再求解.解(1)当x2时，原方程化为(x-2)+(2x+1)=7 ,解之微至，所以在所给的范围宜2之内，一。是原方程的解.(2)当-:2时，原方程化为-(x-2)+(2x+1)=7 .解之得幺=4它不在-戈2的范围内，所以s = 4不是原方程的解.应舍去.(3)当乂-1时，原方程化为4-a-(x-2)-(2x+1)=7 .解之得比=-2,在所给的范围比 -；之内，所以x =-2是原方程的解.W2综上，原方程

4、的解为武=三或X=2.J说明若在x的某个范围内求解方程时，若求出的未知数的值不属于此范围内， 则这样的解不是方程的解，应舍去.例2求方程| x- | 2x+1 | | 二3的不同的解的个数.分析此方程有两层绝对值符号，先由2工十1二M盟二，.然后分别对£ = 2, X二，x二考虑去掉里层的绝对值符号，使得方程转化 222为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解.I x-(2x+1) | =3,解当真二时，原方程化为I袁I =二无解.当£>一(时，原方程化为即| 1+x | =3,所以x=2或x=-4 .结合知片=4应舍去.("当时，原方程

5、化为I x+(2x+1) | =3 ,即| 3x+1 | =3,所以乂 ='或篡=-:12结合芭知x =彳应舍去.'iidr综上，所求方程的解只有X = 2或久二二两个解.所以原方程不同的解3的个数为2.例3若关于x的方程| x-2 | -1 | =a有三个整数解.则 a的值是多少？解 若a<0,原方程无解，所以 a>0.由绝对值的定义可知I x-2 | -1= ± a ,所以 | x-2 | =1 ± a.3 / 12第七讲含绝对值的方程及不等式第七讲含绝对值的方程及不等式(1)若 a>1,则 | x-2 | =1-av0,无解.| x-

6、2 | =1+a, x 只能有两个解 x=3+a 和 x=1-a .(2)若 0Waw 1 ,则由 | x-2 | =1+a ,求得x=1-a 或 x=3+a ;由 | x-2 | =1-a ,求得x=1+a 或 x=3-a .原方程的解为x=3+a , 3-a , 1+a, 1-a ,为使方程有三个整数解， a必为整数， 所以a只能取0或1 .当a=0时，原方程的解为x=3 , 1 ,只有两个解，与题设不符， 所以aw0.当a=1时，原方程的解为 x=4, 0, 2,有三个解.综上可知，a=1 .例4已知方程| x | =ax+1有一负根，且无正根，求 a的取值范围.解 设x为方程的负根，则

7、-x=ax+1 ,即-1 =一r<0, a+1所以应有a>-1.反之，a>-1时，原方程有负根.设方程有正根x,则x=ax +1 ,即幺=4 > Q1 - a所以av 1.反之，a< 1时，原方程有正根.综上可知，若使原方程有一负根且无正根，必须 a>1.例5设5 / 12、3>Or-x + 2yu分析从绝对值的意义知-|y-1二0.gx + 2y >0.两个非负实数和为零时，这两个实数必须都为零.解由题设有芋-一声”I + 2y - 0.由有 底=1把代入得解之得y=-3,所以x=4.故有x+y=4-3=1 .例6解方程组/ G-y I =1.

8、| I x I +2 I y I =3,分析与解 由得x-y=1或x-y=-1 ,即第七讲含绝对值的方程及不等式x=y+1 或 x=y-1 .与结合有下面两个方程组I 3片【工3 I X +2 J y I =3;1x1 + 2 I y I =3.解（I ）:把 x=y+1 代入 | x | +2 I y | =3 得I y+1 I +2 I y I =3.94去绝对值符号，可得y或y =4，再将其代入尤=y+1,可求出方程组（I）的解为同理，解（n）有f 5 r 1星二一二 =-故原方程组的解为例7解方程组第七讲含绝对值的方程及不等式I n-y I = x + y- 2.I I =x 42.解

9、由得x+y= | x-y | +2.因为 I x-y | > 0,所以 x+y>0,所以 | x+y | =x+y .区把代入有x+y=x+2 ,所以y=2 .将之代入有| x-2 | =x,所以x-2=x ,或 x-2=-x .无解，所以只有解得x=1 .故为原方程组的解.说明 本题若按通常的解法，区分 x+y>0和x+y0两种情形，把方程分成两个不同的方程 x+y=x+2和-(x+y)=x+2 ,对方程也做类似处理的话，将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程中发现必有 x+y>0,因而可以立刻消去方程中的绝对值符号，从而简化了解题过程.例 8 解不

10、等式 | x-5 | - | 2x+3 | v 1 .分析关犍也是去掉绝对值符号.分三个区间讨论，K< x< 5 , x> 5.7 / 12第七讲含绝对值的方程及不等式解Q)当"时，原不等式化为-(x-5)-H2x+3) <1,解之得V-7,结台耍4-三，故笈-了是原不等式的解；(2)当-9<k<5时，原不等式化为-(x-5)-(2x+3) <1,解之得定>',结合-|<W5,故5是原不等式的解;(3)当x>5时，原不等式化为x-5-(2x+3) V 1 ,解之得x>-9,结合x>5,故x>5是原不

11、等式的解.综合(1), =(3)可知，£<.7或乂>是原不等式3的解.例9解不等式1 & | 3x-5 | & 2.分析与解此不等式实际上是r 为-$ >i,345 1 <2.解对 | 3x-5 | > 1 :C1)当寇;时，(W化为乐所小>2是的解.(2)当嚣< 二时，转化为.(%-5)>13所以-我，一或即 占g是的解.第七讲含绝对值的方程及不等式 所以.的解为鼠，2或成会.对 | 3x-5 | < 2:（3）当翌）|时，转化为女 一5< 2,所外所以'我4： 是的解.（4）当乂<：时，转化

12、为-（3-5）<2,所外）1,所以1 Gx<g是的解.7所以的解为所以与的公共解应为1纪3,或24又 ；,即原不等式的解为14出4 7或24墓< .V3例 10 解不等式 II X+3 | - | x-3 | | > 3.x>3三段来讨论,9 / 12第七讲含绝对值的方程及不等式I x+2 | + | x-1 | =2x+1 >2 - 1 + 1=3 .由(II)得xW-3.飞 3-3(定< 亨或5 V定工£ J11 / 12由3D得Z3fI 6 I >3,x>3.综上可知I原不等式的解为戈< -京或门(.LiLr说明 本题

13、也可以由外向内去绝对值符号，由绝对值的意义，解下面两个不等式r lx+3l - I -31 <-31(I/+3| - |注-3123,分别解出和即可，请同学们自己完成这个解法.例11当a取哪些值时，方程|x+2 | + | x-1 | =a有解?解法1当xW-2时，| x+2 | + | x-1 | =-2x-1 >-2(-2)-1=3 .(2)当-2 vxv 1 时，| x+2 | + | x-1 | =x+2-x+1=3 .当x>1时，所以，只有当a>3时，原方程有解.解法2按照绝对值的性质| a-b | w | a | + | b | ,故I x+2 | + | x-1 | > | (x+2)-(x-1) | =3.其中等号当-2<x<1时成立，所以当a>3时，原方程有解.练习七1 .解下列方程：(1) | x+3 | - | x-1 | =x+1 ;(2) I I 1+x | -1 | =3x; I 3x-2 | - | x+1 | =x+2 ;(4) I 3y-2 | =- | 5x-3 | .2 .解方程组：J I 区 + i I + I y-1 I =5, fl x + y I