外接球问题典型例题.

1、在三棱柱 ABCA1 B1C1 中，已知 AA1平面 ABC , AA1 2, BC2 3, BAC，此2三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（）A 32B 16C25D 31332【知识点】线面垂直的性质;球内接多面体;球体积的公式.【答案解析】 A 解析 ：解：直 三 棱 ABCABC的各顶点都在同一球面上，（如图），111 ABC中，?BACpABC 的外心 P为 BC的中点，下底面2同理，可得上底面A1B1C1的外心 Q为 B1C1的中点，连接 PQ，则 PQ与侧棱平行，所以 PQ平面 ABC再取 PQ中点 O，可得：点 O到 A,B,C,A1,B1,C1的距离相等， O点是三棱

2、柱 ABCA1B1C1外接球的球心 RT POB中， BP=1BC= 3，PQ=1AA1=1，22 OB= BP2+PO2 =2，即外接球半径 R= 2，因此，三棱柱 ABCA1 B1C1外 接 球 的 球 的 体 积 为 ： V = 4 p R3= 4 p 23= 32p333故选：A【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质，可得三棱柱 ABCA1 B1C1 外 接球的球心是上下底面斜边中点的连线段 PQ的中点在直角 RT POB 中，利用勾股定理算出 OB的长，即得外接球半径 R的大小，再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积四面体 ABCD 中，已知 AB=CD= 29，AC=BD=

3、 34， AD=BC= 37，则四面体 ABCD 的外接球的表面积（ ）A25B45C50D 100【知识点】几何体的外接球的表面积的求法;割补法的应用.【答案解析】 C 解析 ：解：由 题意可采用割补法，考虑到四面体 ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以 29, 34, 37为三边的三角形作为底面 ， 且 以 分 别 x ， y ， z 长 、 两 两 垂 直 的 侧 棱 的 三 棱 锥 ， 从 而 可 得 到 一 个 长 、 宽 、高 分 别 为 x ， y， z 的 长 方 体 ， 并 且 x 2 +y 2 =29 ， x2 +z 2 =34 ， y 2 +z 2

4、=37 ， 则 有 （ 2R）2 =x 2 +y 2 +z 2 =50（ R 为 球 的 半 径 ），得 R2 = 25 ，所 以 球 的 表 面 积 为 S=4 R2 =50 故2选：C【思路点拨】将 四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积已知正四面体的棱长为2 ，则它的外接球的表面积的值为【知识点】球内接多面体【答案解析】3p 解析 ：解：正四 面 体 扩 展 为 正 方 体 ， 它 们 的 外 接 球 是 同 一 个 球 ，正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：3，棱长为 2的正四面体的外接球半径为3 2骣2所 以 外 接 球

5、 的 表 面 积 为 4p琪 3= 3p ，故答案为 3p.琪桫2【思路点拨】正 四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积已知正三棱锥PABC ，点 P， A， B，C 都在半径为3 的求面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为 _。3【答案】3【点评】 本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱平面四边形中，, 将其沿对角线折成四面体, 使平面平面，若四

6、面体的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）（A）（B）（C）（D）1.A根据题意，如图，可知中，在中，, 又因为平面平面，所以球心就是的中点，半径为，所以球的体积为：正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A 81B 16C9D 2744【答案】 A【解析】设球的半径为R，则棱锥的高为4，底面边长为2，2222故选： AR =（ 4 R） +（） ， R= ，球的表面积为4 ?（ ） =一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一个正三角形， 俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为311正视图侧视图俯视图【知识点】几何体的三视图的应

7、用、球的表面积【答案解析】16解析：解： 由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC 与底面垂直，高3SO 为3 ，如图：其中 OA=OB=OC=1 ， SO 平面 ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M， OM=x ，则1x23x ，得 x=3 ，外接球的半径 R= 2 3 ，几何体的外接球的表面积33416S=4×=.33【思路点拨】 由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；再求几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.18如图，三棱锥PABC

8、 中， ABC 90 ，它的三视图如下，求该棱锥的（）全面积； （）内切球体积； （）外接球表面积P3A4BC6正视图346366侧视图俯视图【知识点】 根据 三视图的定义正确读取三棱锥PABC 中的位置关系和数量关系，几何体内切球半径、外切球半径的求法 .【答案解析】 (1)48 12 2 ；(2) 36(42 ) 3； (3)2893434解析：解：（1）由三视图可知此三棱锥是：底面是腰长为6 的等腰直角三角形ABC，顶点 P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E，且高为4 的三棱锥。 侧面 PAB、PAC的高都是5，底面斜边长62，所以全面积为：1662165162448122 ：222

9、（2）设内切球球心 O,半径 r ，则由 VPABCVOABCVOPABVO PACVO PBC 得111164266448122r ，解得 r=7,3232328842所以内切球体积为343（3）设外接球球心M，半径 R,M 在高 PE所在直线上，因为4< 32 ,所以 R4322,解得 R=17 ，所以外接球表面积为289R2244。【思路点拨】 （ 1）三视图的定义正确读取三棱锥P ABC 中的位置关系和数量关系，从而求得三棱锥的全面积.（ 2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径。（ 3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆

10、半径。三棱锥ABCD的外接球为球， 球O的直径是AD，且 ABC ,BCD 都是边长为 的等边1三角形，则三棱锥ABCD 的体积是（）211D2ABC81286【知识点】棱锥的体积【答案解析】 A 解析：因为截面BOC 与直径 AD 垂直，而 BO=CO=2 ，所以三角形 BOC2为等腰直角三角形，其面积为12212 ，所以三棱锥 A BCD222，而 AD=4的体积为 11223412，选 A【思路点拨】 求棱锥的体积若直接利用所给的底面求体积不方便时，可通过换底面法或补形法或分割法求体积，本题采取分割法求体积即把一个棱锥分割成两个棱锥的体积的和.一个几何体的三视图如图所示， 其中正视图是一

11、个正三角形， 俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为311正视图侧视图俯视图【知识点】几何体的三视图的应用、球的表面积【答案解析】16解析：解： 由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的侧面SAC与底面垂直，高3SO为3 ，如图：其中OA=OB=OC=1， SO 平面ABC ，其外接球的球心在SO上，设球心为M， OM=x ，则1x23x ，得x=3，外接球的半径R=2 3，几何体的外接球的表面积33416S=4×=33.【思路点拨】 由三视图解决几何问题，关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征；几何体的外接球的表面积与体积时，能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径，圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题.再求若已知 A,B是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为36，则球 O 的表面积为A 36B.64 C.144 D.256 【答案】 C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O ABC 的体积最大，设球 O 的半径为 R ，此时 VO ABC VC AOB11 R2R1 R336，故 R 6，则球 O 的表面积为326S 4R2144，故选 CCOAB已知三棱锥 S球 O 的直径，且ABC 的所有顶点都在球O 的