向量及向量加减法

1、学习目的:1 .理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2 .理解向量的几表示，会用字母表示向量；3 .了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4 .通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5 .掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6 .掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7 .明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8 .在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能

2、利用向量运算完成简单的几证明；9 .通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识.学习容：向量这部分知识是新容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上 向量就是用有向线段表示的.学习难点向量的加法运算一、向量的概念争向量:既有大小又有向的量.通常用有向线段

3、工E表示，其中A为起点，B为终点，显然相 血表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用|居|表示，显然AE BA ,既有向线段的起、终点决定向量的向，有向线段的长度决定向量的大小 -，+注意：向量 抽 的长度|且|又称为向量的模； 长度为0的向量叫做零向量， 长度为1的向量 叫做单位向量.向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量长度相等且向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关二、向量的加法1 .向量加法的平行四边形法

4、则H与77.十77平行四边形 ABCD中，向量 儿0 延的和为如一.记作：皿加力匚.2 .向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有：在 0匚，既在AADC中，血 DC 圮，首尾相连的两个向量的和 是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点 .'规定：零向量与向量 闫6的和等于 M .三、向量的减法向量.与向量由4叫做相反向量.记作：数-一皿则向8 45 口U ,既用加法法则 来解决减法问题.例题选讲第一阶梯例1判断下列命题的真假：直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；两个向量平行是两个向量相等的必要条件； 向量工3与 8 是共线向量，则 乂 、8 、C A 必在同一直线上；向量比与向量小平

5、行，则比与否的向相同或相反；四边形幺BC口是平行四边形的充要条件是= DC分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.解：直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有向之别，但无大小之分，故命题是错误的.由于两个向量相等，必知这两个向量的向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所 以，此命题正确；不正确.Y3与口口共线，可以有与工0平行；不正确.如果其中有一个是零向量，则其向就不确定；正确.此命题相当于平面几中的命题：四边形 SB"是平行四边形的充要条件是有 一组对边平行且相等.例2下列各量中是向量的有 .A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析： 用向量的

6、两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识解： A, C, D, F只有大小，没有向，而B和F既有大小又有向，故为向量 .例3命题“若4方，右八,则已.”（）A.总成立B.当2Ho时成立 C .当0时成立 D .当仁时成立分析： 这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件.二.零向量与其他任非零向量都平行，.当两非零向量龙、仁不平行而b = °时，有" &。，但这时命题不成立，故不能 选才A A,也不能选择 B与D,故只能选择 C.答案：C第二阶梯例1如图1所示，已知向量外瓦心，试求作和向量以+3+仁. 分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两

7、个向量的和，因为这两个向量的和仍为一 个向量，然后再求这个向量与另-个向量的和.即先作十二，再作1tf.解:如图2所示，首先在平面任取一点作向量AB =c，则得向量则向量,然后作向量例2化简下列各式Word资料一L'一二一(2)分析:化简含有向量的关系式一般有两种法是利用几法通过作图实现化简；是利用代数法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序, 有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.解:(AB +04 = + -75-15 = 0原式=EOOF-(OD 4电=(EO * 函 - 6 =至例3用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

8、图3分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等.由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.（需首先将命题改造为数学符号语言）已知：如图 3, ABCD是四边形，对角线 AC与BD交于O,且AO=OC , DO=OB .求证：四边形 ABCD是平行四边形.证明：由已知得= ",AD = AO + OE）aO（JbBO = BOOC= PC，且 a, d, b, c不在同一直线上, 故四边形ABCD是平行四边形.第三阶梯（1）单位向量都相等;若相以则而I isBWs .（3）若ABCD为平行四边形，则 越 8 ；（4）若延C。' C。跖，则海区

9、斤.其中真命题的个数是（）A、0B、1 C、2 D、3与一解：（1）不正确.单位向量的长度相等，但向不一定相同；（2）不正确.加 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形 ABCD中，池 DC CD . （4）正确.满足等量的传 递性.选B. -例2.若O为正三角形ABC的中心，则向量 血0°富'017是（）.D、相等的向量解：AO口耳处的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质:3 心Bl叱 .选C.例3.某人向东走 3km ,又向北走3km ,求此人所走路程和位移.解:此人所走路程：|AB|+|BC|=6km.此人的位移:&卜£1娇版！例4.求证对

10、角线互相平分的平面四边形是平行四边形一.T 已知：如比',求证:ABCD为平行四边形.一.> 十一十一证明：由加法法则:血加国 口。D9 CC ,T ： f 一 T -好口U馍口B ,口U ,即线段AB与DC平行且相等, ABCD为平行四边形.例5.非零向量 总'EU中，试比较 jEC 与&l Te匚的大小.予解：（1）池一J 7与（2）心与rEC时,共线时，尾 c 1忌I- Irc I尾 l-Ls I- Irc I不共线时，BC Eb ,总I方I - bC I-Ij4BI - l5cl课外练习1 .若两个向量不相等，则这两个向量（）A、不共线B、长度不相等C、不

11、可能均为单位向量D、不可能均为零向量2 .四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）A、晶与演B、晶与芭与ff胃一C、跖d、朋与行3 . “两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4,O是四边形ABCD对角线的交点，若盛展喧噫,则四边形ABCD是（）A、等腰梯形 B、平行四边形 C、菱形 D、矩形Z十 十三 05 .若 O 是 AABC 一点，OA OS QC，则。是 aabc 的（）.A、心B、外心 C、垂心D、重心6 . AABC 中，AS=（）.A、 BC BAb、律UC、的 D、E比7.平行

12、四边形 ABCD中，E、F为AB,CD中点，图中7个向量中，与 工相等的向量是安 与 必 相等的向量是 乂直平行的向量是 必 平行的向量是 .-'> > ,8,已知：首尾相接的四个向量颌'ES'M.S求证：参考答案1.D2.B3.B4.B5.D6.Bf f f f f7 .一8 .证明：>AD> _fad- da测试选择题1 .已知向量 a=（3,m）的长度是5,则m的值为（）A、4B、-4 C、士4D、162.下面有四个命题:1）向量-务AB的长度与向量-，££的长度相等.（2）任一个非零向量都可以平彳f移动.（3）所有的单

13、位向量都相等 .（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同其中真命题的个数是（）A、 4B、 3C、 2 D、 19 .在下列命题中，正确的是（）A、若| 一>|.，则“>"B、|"|=|面|,则=心7>->>TC、若="，则"与 '共线 D、若"w " ,则& 一定不与“共线10 .下列说法中错误的是（）.A、零向量是没有向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的向是任意的->11 如图，设。是正六边形 ABCDEF的中心，则和 工前相等的向量的个数是（）A、1

14、个 B、2个C、3个 D、4个答案与解析答案：1、C 2、B3、C 4、A 5、B解析:1 .答案：C.因为间=存中三5所以僧22.答案:>>B. （1）又t.因为与 疑是指同一条线段，因此长度相等.对.这是由相等向量推导出的结论.（3）错.因为单位向量只要求模长等于1,向不作要求,因此不一定相等.（4）对.因为相等向量可以经过平移至完全重合.解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识3 .答案：C. A错.因为向量有大小和向两个要素.无法比较大小.B错.相等向量不仅要模长相等，向也要相同.C对.相等向量向一定相同，因此共线.D错.因为向量不相等，可能仅由于模长不等，向仍可能是相同的，所

15、以T 7”与 有共线的可能.4.答案：A.零向量是规定了模长为0的向量.零向量的向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线.零向量绝不是没有向.12 答案：B.根据向量相等的条件向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向 量也叫共线向量.要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量.因此，要加强训练观察 一些常见图形.以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意-1,搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与 是大小相同，向相反的两个向量，二是零向量的）向是任意的，而不是没有向，因此

16、有关零向量的向问题一般要注意规定，例如命题：口与 “ 共线，口与“共线， 1与占 共线，是错误的，因为零向量的向是任意的，故 已与"的向没有任关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一 个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）.T 7A .向量 A与向量匕共线，向量匕与向量共线，则向量 已与向量”共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点>T > TC、向量 ”与不共线，则 已与所在直线的夹角为锐角D、始点

17、相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的.共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关.例2 "两个向量共线”是“这两个向量向相反”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立.例3下面有四个命题：（1）向量的模是一个正实数.（2）两个向量平行是两个向量相等的必要条件.（3）若两个单位向量互相

18、平行，则这两个单位向量相等.（4）温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为（）.A. 0B. 1 C. 2 D. 3答案：B等.而两个相等向量的向一定相同，必是平行向量.（1）错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零.因此向量的模是一个非负实数.（3）错在两个单位向量互相平行，向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等.（4）错在温度的零上零下也只是表示数量.向点评：只有（2）是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在向上是相同或相反的.向 相反则不可能是相等向量.即使向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相量既要有大小又要有向.常见的向

19、量有力、速度、位移、加速度等.正确解答本题的关键是把握 住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念.50。走了例4 一辆汽车从 A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变向向西偏北 200公里到达C点，最后又改变向，向东行驶了 100公里到达D点.（1）作出向量 从卫求|乩叫.答案：（1）见图.（2）由题意，易知履行如向相反，故助与切在四边形ABCD中，AB = CD,四边形ABCD为平行四边形，共线,又“口匚口 = T ADBC=200公里.点评：准确画出向量的法是先确定向量的起点,再确定向量的向， 最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点出发沿东北向走了100米

20、到达B点.后改变向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从 C点走回A点的位移.解：如图，根据题意知A ABC为等边三角形,T故/ a=15° ,|'的|=100, 此人从C点走回A点的位移-»2月，大小为100米，向为西偏北15° .检测题1.在下列各命题中，为真命题的有()(1)物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量(2)温度有零上温度和零下温度.因此温度也是向量(3)向为南偏西 60°的向量与向为北偏东60°的向量是共线向量(4)坐标平面上的x轴和y轴都是向量A.1个 B. 2个C. 3个 D.4个2 .已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是()A. a、b同向B. b、c同向C. a、c同向D. a、b、c 同向3 .