2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含答案_第1页
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1、2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含答案一、锐角三角函数1 . (6分)某海域有 A, B两个港口, B港口在A港口北偏西30 °方向上,距 A港口 60海里,有一艘船从 A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75。方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号)【答案】心【解析】试题分析:作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°V,2 ,求出Z C=6(J ,根据正切的定义求出 CD的长,得到答案.试题解析:作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . .

2、 / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ;又 AB=60,. AD=BD=0),/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ; / ABC=45 , AD 30v2/ C=60 ;在 RtACD 中,/ C=60 ; AD=°V,2 ,则 tanC=人 , . CD= =()四, .BC=WZ+ I。/.故该船与b港口之间的距离CB的长为1°W海里.考点:解直角三角形的应用 -方向角问题.2.在等腰4ABC中,/B=90°, AM是 ABC的角平分线,过点 M作MNLAC于点N, /EMF=135 .。将/ EMF绕点M旋转,使/ EMF的两边

3、交直线 AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题:(1)当/EMF绕点M旋转到如图 的位置时,求证:BE+CF=BM(2)当/EMF绕点M旋转到如图 ,图 的位置时,请分别写出线段BE, CF, BM之间的数量关系,不需要证明;(3)在(1)和(2)的条件下,tan/ BEM研,AN、2+1,贝U BM=, CF=【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3) 11+;?或1舌(1)由等腰 ABC中,Z B=90°, AM是 ABC的角平分线,过点 M作MNXAC于点N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可证明的 BME0NMF,可得 BE=N

4、R NC=NM=BM进而得出结论;(2)如图时,同(1)可证BMENMF,可得BE- CF=BM, 如图 时,同(1)可证BMENMF,可得 CF- BE=BM;在 RtAABM 和 RtA ANM 中,,AM=AH可得RtAABM RtA ANM,后分别求出 AB、AC CN、BM、BE的长,结合(1) (2)的 结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明:ABC是等腰直角三角形,Z BAC=Z C=45 ; . AM是/BAC的平分线, MN LAC,.BM=MN ,在四边形 ABMN 中,/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°,/ ENF=135,

5、°,/ BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45;/ CMN=Z C=45 ,°.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得, BMENMF,.BE=NF,. MN,AC, /C=45;/ CMN=Z C=45,.NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得,BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45;/ CMN=Z C=45 ;.NC=NM=BM,1 . NC=CF- NF,2 .CF- BE=BM

6、;(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中,n-mRtA ABM RtAANM (HL.),.AB=AN=x/2+1,在 RtA ABC 中,AC=AB心+1, .AC= AB=2+,.CN=AC- AN=2+2 - (V2+1) =1, 在 RtCMN 中,CM=/2CN=/2,.BM=BC- CM= +1 -=1,在 RtA BME 中,BE粤,tanZ BEM=,由(1)知,如图1, BE+CF=BM.CF=BM- BE=1 由(2)知,如图 ,此种情况不成立;2,由 tan / BEM=75CF- BE=BM,由(2)知,如图3,.CF=BM+BE=1+-,k/3故答案为1,1+&

7、#165;或1【点睛】 本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合,难度较大,需综合运用所学知识求解k3.如图,反比例函数 y-k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象相交于A(1,a),B两点,点C在第四象限,CA/y轴, ABC 90(1)求k的值及点B的坐标;(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ; (2) 2.【解析】【分析】(1)先根据点A在直线y=2x上,求得点A的坐标,再根据点 A在反比例函数ky k 0的图象上,利用待定系数法求得k的值,再根据点 A、B关于原点对称即可x求得点B的坐标;(2)作BH, AC于H,设AC交X轴于点D,根据 ABC 90 ,

8、BHC 90,可得C ABH ,再由已知可得AOD ABH ,从而得 C AOD ,求出tanC即可.【详解】(1)二.点A(1, a)在y 2x上, a=2, A(1, 2),,一k把A(1, 2)代入y 得k 2,xk ._一;反比例函数y - k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象交于 A, b两点, x A B两点关于原点。中心对称,B 1, 2 ;(2)作BHI± AC于H,设AC交x轴于点D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 轴, BH / x轴,AOD ABH , C AOD ,-AD 2 c.tanC tan AOD - 2.OD 1【点

9、睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题,涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识,熟练掌握和应用相关知识是解题的关键,(2)小题求出/C=/AOD是关键.4.如图,AB是。的直径,弦 CD,AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交AB 的延长线于切点为 G,连接AG交CD于K.(1)求证:KE=G(2)若KH=KD?GE试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;3(3)在(2)的条件下,若sinE=, AkA/5 ,求FG的长.25 口【答案】(1)证明见解析;(2) AC/ EF,证明见解析;(3) FG= .【解析】试题分析:(1)如图1,连接OG.根据切线性质及 CD±AB

10、,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE(2) AC与EF平行,理由为:如图 2所示,连接 GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD与 EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到 AC/ EF;(3)如图3所示,连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在 RtOGF中,解直角三角形即可求得 FG的长度.试题解析:(1)如图1,连接OG. / KGE-+Z OGA=90 ,° .CDXAB, /

11、 AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GKE, . KE=GE(2) AC/ EF,理由为连接 GD,如图2所示.GE圄2KG GE. , KG2=KD?GE 即""KGKG KD ,又 / KGE4 GKE .GKDAEGK;/ E=Z AGD,又 ZC=Z AGD,/ E=Z C, .AC/ EF;(3)连接OG, OC,如图3所示, / KGE+Z OGA=90 ; .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ;又. OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GK匕 . KE=GEsi

12、nE=sinZ ACH=,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t, KE=GE AC/ EF, .CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中,根据勾股定理得 AH2+hK?=AK2,即(3t) 2+t2= (2期“)2,解得 t=?设。O 半径为 r,在 RtOCH 中,OC=r, OH=r-3t, CH=4t,由勾股定理得:OH2+CH2=Od即(r-3t) 2+ (4t) 2=r2,解得EF为切线,.OGF为直角三角形,25在 RtOGF 中,OG=r=力25 25r- t- 一 t一CII 4tan/OFG=tan/ CAH=" 一OGlanzOJ-G, .FG=

13、256 ,2543【点睛】此题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质,垂径定理,勾股定理,锐角 三角函数定义,圆周角定理,平行线的判定,以及等腰三角形的判定,熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.5.如图,在。的内接三角形 ABC中,/ACB= 90°, AC=2BC,过C作AB的垂线l交。O是上异于A, C的一个动点,射线 AP交l于点F,连接PC与于另一点D,垂足为E.设PPD, PD交AB于点G.(1)求证:PASPDF;(2)若AB=5,""肝,求PD的长;AG丽-x- x>tan/AFD= y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出(3)在点P运动

14、过程中,设 x的取值范围)【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】 试题分析:(1)应用圆周角定理证明 ZAPD= / FPQ得到ZAPC= / FPD,又由/ PAC= /PDC,即可证明结论.(2)由 AC=2BC 设=应用勾股定理即可求得BC, AC的长,则由AC=2BC导1,由AC&ABC可求得 AE, CE的长,由形,从而可求得 PA的长,由4AEF是等腰直角三角形求得 PA AC由(1) PASPDF得四 ",即可求得 PD的长. IAD = 2(3)连接BP, BD, AD,根据圆的对称性,可得可知 APB是等腰直角三角EF=AE=4从而求得DF的长,AP ta

15、nLABP = = yAG AP,由角的转换可得DG ADI,-,由AGPDGB 可得"G “=,由AGDPGB可得""尸"式相乘可得结果.试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得/FPC=/B,又. /B=/ACE= 90 - Z BCE, Z ACE= Z APD, . / APD= / FPC. / APD+ / DPC= / FPC+ / DPC,即 / APC= / FPD.又 / PAC= / PDC, .-.APACAPDF.(2)连接BP,设,/ACB=90, AB=5,AE CE ACL . 一. ACEAABC,AC A"r

16、r nr - ?. ABXCD,E土AE CE 2/,即.",= H =之如图,连接BP,.APB是等腰直角三角形. / PAB= 45 : AEF是等腰直角三角形.,EF=AE=4.,DF=6.PA AC2/ 3国由(1) PAgPDF得万一历:,即 PD 一飞-" 一 2p PD的长为 ?.(3)如图,连接 BP, BD, AD, AD,. AC=2BC,根据圆的对称性,得 AD=2DB,即AP tanLABP - - = jAG AP 加二而 .DG ADBG=PB . ABXCD, BP± AE, . . / ABP= / AFD.SnUFD = y .A

17、GPADGB, .AGDAPGB,/1G DG _AP AD AG _ AP AD.丽而二丽丽即布二瓦AG J.丽W'2.:'与之间的函数关系式为考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式4.勾股定理;5.等腰直6 .如图,MN为一电视塔,AB是坡角为30。的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚 A在 同一水平线上,被一个人工湖隔开),某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45。;沿着山坡向上行走 40m到达C处,此时测得塔顶 M的仰角 为30

18、°,请求出电视塔 MN的高度.(参考数据:J2 = 1.41 J3 = 1.73结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作C已AN于点E, CF,MN于点F.在4ACE中,求AE= 2073 m,在 RTA MFC 中,设 MN=x m,则 AN=xm. FC= V3 xm ,可得 x+ 2073 = 73 ( x 20),解 方程可得答案.【详解】解:过点 C作CE! AN于点E, CF± MN于点F.在4ACE中,AC= 40m, Z CAE= 30°.CE= FN=20m, AE= 20 百 m设 MN = x m,则 AN= xm . FC= /

19、3xm,在RTA MFC中MF= MN -FN= MN-CE= x-20FC= NE= NA+ AE= x+ 203 / MCF= 30 °FC= ,3 MF,即 x+20/3 =桓(x- 20)在“曰40 3解得:x3 1= 60 + 20 73 95m答:电视塔MN的高度约为95m.解题关键点:熟记解直角三角形相关知识,包括【点睛】本题考核知识点:解直角三角形 含特殊角的直角三角形性质 .7.如图,在矩形 ABCD中,AB=6cm, AD= 8cm,连接BD,将ABD绕B点作顺时针方向 旋转得到ABD'(B与B重合),且点 D刚好落在BC的延长上,AD与CD相交于点E.(

20、1)求矩形ABCD与ABD重叠部分(如图1中阴影部分ABCE)的面积;(2)将ABD以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移,如图 2,当B移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与AABD重叠部分的面积为 y,移动的时间为 x,请你直接写出y关于x 的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x,使得AAA'B成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的 x的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)(2)详见解析;(3)使得AAAB成为等腰三角形的x的值有:0秒、3秒、虫S .25【解析】【分析】A'B' CE 可求出CE,A'

21、;D' CD'(1)根据旋转的性质可知 B'D'= BD= 10, CD= B'D'- BC= 2,由 tan/BDA'=即可计算 /xCED'的面积,SAbce= Sabd - Sced;1111(2)分类讨论,当。虫 J 时和当xW4时,分别列出函数表达式;(3)分类讨论,当 AB'= AB时;当AA'= AB时;当AB'= AA'时,根据勾股定理列方程即 可.【详解】解:(1). AB=6cm, AD= 8cm,BD= 10cm,CD'=B'D'- BC= 2cm,根据

22、旋转的性质可知 BD' = BD=10cm,. tanZ BDA =A'B'CEA'D'CD'CE2,CE=3cm,2Sabce= Sbd-8Sced=一452、C cm2)211(2)当 0a< 1时,CD= 2x+2,5CE= - (x+1)2 Sa cde= x+3x+ ?1 x 6X十 3x2- 3x- 3 =3 2x2-3x+竺;2BC= 8- 2x,CE=4 ,、(8-2x)3 y(3)14 n82 3如图1,2x 2=8x2-364128-x+当 AB'= AB时,x=0 秒;如图2,当AA'= AB时,八,1

23、8AN = BM=BB' B'M = 2x+ 5.AN2+A'N2=36, . (6-当)2+5解得:x=殳反5(2x+曳)59,x=2= 36,66一(舍去);5 如图 2,当 AB'= AA时,AN=BM=BB' BM =2x+”,5,_ 24AM =NB=,5.AB2+BB'2= AN2+a'N2 ,36+4x2= (6-绐 2+ (2x+史 155-3斛得:x=2综上所述,使得 AA B成为等腰三角形的x的值有:0秒、3秒、6二 9【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全 面的分析问题

24、,思考问题是解决问题的关键.8.如图,AB是圆。的直径,。为圆心,AD、BD是半圆的弦,且 / PDA=/ PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线,并说明理由;(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的长;(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上,如图2,求证:四【分析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线;(2)根据BE是。的切线,则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD为。的切线,得/PDO=90 ;

25、根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径,得 Z ADB=90 ,设/ PBD我,则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出DFBE为菱形.的值,可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形【详解】(1)直线PD为。的切线,理由如下:如图1,连接OD,.AB是圆O的直径,/ ADB=90 ,° / ADO+Z BDO=90 ;又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, /

26、 ADO+Z PDA=90 ;即 PD± OD, 点D在。O上, 直线PD为。的切线;(2) .BE是。的切线,/ EBA=90 ; / BED=60 ,°/ P=30 ;.PD为。的切线,/ PDO=90 ;在 RtPDO 中,/P=30。,PD=5-0 OD tan 30而",解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如图2,依题意得:/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径,/ ADB=90

27、 ;/ DBF=2X设/ PBD=x,贝U / DAF=Z PAD=90+x°,四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线, . DE=BE / EBA=90 ;/ DBE=60 ,°BDE是等边三角形,.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°,.BDF是等边三角形, .BD=DF=BF.DE=BE=

28、DF=BF本题是一道综合性的题目,考查了切线的判定和性质,圆周角定理和菱形的性质,是中档 题,难度较大.9.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,140),直线AB: y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作3EF± x轴交直线 AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGH(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 J而个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边 FiGi始终与y轴垂直,设平移的时间为 t秒(t>0) .当点Fi移动到点B时,求t的值; 当Gi,

29、 Hi两点中有一点移动到直线 DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与4APE重叠部分的面积.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根据已知点E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标,进而求出 F点坐标即可;(2)易求B (0, 5),当点F1移动到点B时,t=10 J10坛0=10;F点移动到F'的距离是而t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在 RtF'NF 中,-NF=-NF 3,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在R

30、DMH'中,-MH-EM 3 't=4, S=1x (12+45)X111023;248当点G运动到直线DE上时,在 RtF'PK中,-PK =-,F K 3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中,=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 01 )b 4043,402 . y = - - x+40,3直线AB与直线DE的交点P (21, 12),由题意知F (30, 15),EF= 1

31、5;(2)易求 B (0, 5),3 .BF=10,1Q ,,当点F1移动到点B时,t=10J10 J10 = 10;当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是T10t,在 RtF'NF 中,-NF=1 , NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中,MH 4EM 3t 4一 一,15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,145.S (12 ) 11241023当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是J10t,

32、- PF=3 .10 ,-PF'=布13标,在 RtF'PK 中,PK.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34,15 3t 93.t = 7,.S= 15 x(15-7) = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角 形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.10.如图,在正方形 ABCD中,E是边AB上的一动点,点 F在边BC的延长线上,且CF AE ,连接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于点 H.

33、(1)求证:DE DF ;(2)求证:DH DF :(3)过点H作HM ± EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系,并 证明.D【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) EF 2AB 2HM ,证明详见解析 【解析】(1)根据正方形性质,CF AE得到DE DF .(2)由 zXAED ACFD ,得 DEDF.由 ABC 90 , BD平分 ABC,得 DBF 45 .因为FH平分 EFB,所以 EFHBFH .由于DHF DBF BFH 45 BFH , DFHDFE EFH 45EFH所以DH DF .(3)过点H作HN BC于点N ,由正方形 AB

34、CD性质,得bd Jab2 ad2 72AB.由 fh 平分 efb, hm ef, hn bc ,得HNHM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH T2HN 72HMsin 45由 EF DFV2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM .cos45【详解】(1)证明:四边形ABCD是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。 AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 .DE DF .(2)证明:.AAEDACFD ,DE DF .EDF 90 ,DEF DFE 45

35、 .ABC 90 , BD 平分 ABC,DBF 45 . FH 平分 EFB ,EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH ,DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明:过点H作HN BC于点N ,如图,.正方形 ABCD 中,AB AD, BAD 90 ,BC,BD JABAD2. 2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BH HN 2HN . 2HM . sin 45DH BD BH J2AB . 2HM . EF DFV2DF V2DH ,cos4

36、5EF 2AB 2HM .【点睛】 本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数,题目难度较大,解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.一 . .一一 1 211.如图,已知二次函数 y x bx C的图象经过点 A (-3, 6),并与x轴交于点B 2(-1, 0)和点C,顶点为点 P.(1)求这个二次函数解析式;(2)设D为x轴上一点,满足 /DPO/BAG求点D的坐标;(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点 N,使AM+MN的值最小?若存在,求出 M、N的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】1)点 C坐标为(3

37、, 0),点 P (1, -2);(2)点 P (7, 0);(3)点 N (-7,2.55【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解;(2)利用Saabc= X ACX BH= X BCXy 求出 sin22BH a =AB2.22、10MD PMD 中,tan a =PMx 1广一,即可求解;x 222(3)作点A关于对称轴的对称点 A 55, 6),过点A作A吐AP分别交对称轴与点 M、 交AP于点N,此时AM+MN最小,即可求解.【详解】96 - 3b 32八-(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:2,解得:10- b c故:抛物线的表达式为:y=lx2-x-

38、3,22令 y=0,则 x=-1 或 3,令 x=0,则 y=-3 ,2故点C坐标为(3, 0),点P (1, -2);(2)过点B作BH, AC交于点H,过点P作PGJ±x轴交于点 G,设:/DPO/BAO”,由题意得:AB=2M,AC=672, BC=4, PC=272,S>A ABC=1 >AC 汨H=1 >BC xyA,22解得:BH=2 72,sinBHa AB 2、,105由题意得:GC=2=PG,故 / PCB=45°,延长PC,过点D作DM,PC交于点M,则 MD=MC=x,在 PMD中,MDtan a-=PM x解得:x=2 亚,则 CD

39、= 72 x=4,故点 P (7, 0);(3)作点A关于对称轴的对称点 A' (5, 6),过点A作ANAP分别交对称轴与点 M、交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为:8-=-2,则直线AN表达式中的k值为二,42设直线A N的表达式为:y= x+b,2将点A'坐标代入上式并求解得:b=-,2故直线AN的表达式为:y= x+22当 x=1 时,y=4,故点 M (1 , 4),同理直线AP的表达式为:y=-2x,联立 两个方程并求解得:x=-,5故点 N -. 55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用

40、对称点求解最小值,是此类题目的一般方法.12.阅读下面材料: ABC 中,/A、/B、/C 的对边分别是a、b、c,过A作AD, BC于D (如图),则sinB=殷,sinC=胆,即 AD=cbcsinB, AD= bsinC,于是csinB=bsinC,即bsin Bsin C同理有:c asin Csin A观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角asin Ab 1abesinB '所以 sin A sin B sinC即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元 素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据

41、上述 材料,完成下列各题.(1)如图,4ABC中,ZB=75°, / C= 45°, BC= 60,则 AB=;(2)如图,一货轮在 C处测得灯塔A在货轮的北偏西 30。的方向上,随后货轮以 60海里/时的速度按北偏东 30。的方向航行,半小时后到达 B处,此时又测得灯塔 A在货轮的北偏西75。的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A的距离AB.(3)在(2)的条件下,试求 75。的正弦值.(结果保留根号)1)20 而;(2) 15点海里;(3)6+ .24(1)根据材料:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,写出比例关系,代入数值即可求得AB的值.(2)此题可先由速度

42、和时间求出BC的距离,再由各方向角得出 / A的角度,过B作BMLAC于M,求出/ MBC=30 ,求出 MC,由勾股定理求出 BM,求出 AM、BM的长,由勾股定理求出AB即可;(3)在三角形 ABC中,ZA=45, / ABC=75, / ACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形 ABD, BCD,在直角三角形 ABD中可求出AD的长,进而可求出 sin75的值. 【详解】解:(1)在 4ABC 中,/B=75, /C=45, BC=60,则 / A=60°,ABBCsinCsinAAB 60 sin45o sin60AB 60即近二代,22解得:AB=20 . 6

43、.(2)如图,A依题意:BC=60< 0.5=30 (海里)1. CD/ BE, / DCB+/ CBE=180 / DCB=30 ;c C CBE=150 ° / ABE=75 .°/ ABC=75 ,°/ A=45 ,°在 ABC中,AB BC AB 30 = sin ACB sin A sin60? sin45?解之得:AB=15 6 .答:货轮距灯塔的距离 AB=15j6海里.(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.C在直角三角形 ABM中,/A=45, AB=15j6,所以AM=15,3,在直角三角形 BDC中,Z BCM=60 , BC

44、=30 ,可求得 CM=15,所以 AC=15 .3+15,由题意得,15百15二哽,而75=邑2 . sin75 sin604【点睛】本题考查方向角的含义,三角形的内角和定理,含30度角的直角三角形,等腰三角形的性质和判定等知识点,解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.13.在 RtABC中,/ACB=90°, AB=" , AC=2,过点 B作直线 m II AC,将 ABC绕点 C 顺时针旋转得到B'尤A, B的对应点分别为 A', B',)射线CA, CB分别交直线 m于点P, Q.(1)如图1,当P与A重合时,求/ACA'的度数;(2

45、)如图2,设A'国BC的交点为M,当M为A'的中点时,求线段 PQ的长;(3)在旋转过程中,当点 P, Q分别在CA', CB'的延长线上时,i3t探究四边形PA'B'的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形PA' B'的最小面积;若不存在,请说明理由.备用图【答案】(1) 60。; (2) PQ= 7; (3)存在,S四边形 pabq=3 J3 2【解析】【分析】(1)由旋转可得:AC=A'C=2,进而得到BC J3,依据/A'BC=90°,可得cos/ A'CB -BC- -,即可得到 Z A

46、'CB=30 °, / ACA=60 -A'C 2(2)根据M为A'B'的中点,即可得出 ZA=ZA'CM,进而得到PB g BC 3 ,依据tan/Q=tan/A ,即可得到 BQ=BC 与 2,进而得出 PQ=PB+BQ -;232(3)依据S四边形PABQ=SzPCQ S A'CB'=SAPCQ J3 ,即可得到 S四边形PAB'Q最小,即 SPCQ最小,而SaPCQ 1PQXBC PQ,利用几何法即可得到Sapcq的最小值=3,即可得到结22论.【详解】(1)由旋转可得: AC=A'C=2 . /ACB=

47、90; AB 6, AC=2, . BC V3 .BC. /ACB=90; m II AC . ./A'BC=90; ,cos/A'CB _AC,Z A'CB=30 °,2,/ACA=60(2) M为A'B'的中点,ZA'CM=ZMA'C,由旋转可得:/ MA'C=Z A,,/A=/A'CM, .-.tanZPCB=tanZ A 虫2 -PB i3BC Z BQC=Z BCP=Z A, .1.tanZ BQC=tanZ A,BQ=BC22, .1.PQ=PB+BQ(3) S四边形 pa1b,q=Sa1 pcq S

48、aa'ce?=Sapcq J3.S四边形PAB'Q最小,即Sa pcqJ1小,1Sa pcq PQ 汨C2取PQ的中点-3PQ2G./ PCQ=90.CG1一 PQ,即PQ=2CG,当CG最小时,PQ最小,2CG± PQ,即 CG与CB重合时,CG最小, CGnin J3, PQmin=2j3,S/PCQ 的最小值=3, S 四边形【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,解直角三角形以及直角三角形的性质pab'q=3 33 ;的综合运用,解题时注意:旋转变换中,心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中 后的图

49、形全等.14.如图,在菱形ABCD中,B60 ,度沿边AD向终点D运动,过点P作PQAB 4 .点P从点A出发以每秒2个单位的速AC交边AB于点Q ,过点P向上作PN AC ,且PN 近PQ ,以PN、PQ为边作矩形PQMN .设点P的运动时间为t 2(秒),矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为 S.(1)用含t的代数式表示线段 PQ的长.(2)当点M落在边BC上时,求t的值.(3)当0 t 1时,求S与t之间的函数关系式,如图,若点。是AC的中点,作直线OM .当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1:2时,直接写出t的值4n2.(1) PQ 2品;(2)一; (3)19

50、拘24073t1643; (4) t q 或53【解析】【分析】(1)由菱形性质得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 AACD是等边三角形,证出 APQ是等腰三角形,得出PF=QF, PF=PA?sin60 而t,即可得出结果;(2)当点M落在边BC上时,由题意得:4PDN是等边三角形,得出 PD=PN,由已知得3一上口工口 一工口口PN=-yPQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程,解方程即可;(3)当0vt 时,PQ=273t, PN=PQ=3t, S却形PQMN的面积=PQX PN即可得出一,4结果;当一 Vtv1时,4PDN是等边三角形,得出 PE=PD=AD-P

51、A=4-2t5/FEN=/ PED=60,° 彳导出 NE=PN-PE=5t-4 FN=73 NE=V3 (5t-4) , S却形 PQMN 的面积-24EFN的面积,即可得出结果;(4)分两种情况:当 0vt小时,ACD是等边三角形,AC=AD=4,得出OA=2, OG是5 MNH的中位线,得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程,解方程即可;当4 Vtw刑,由平行线得出 OED4MEQ,得出 空 正,即 一EFh -2t ,5EQMQ EF . 3t 3t4t 24t程即可.【详解】(1) 在菱形/ D=Z B=60解得EF=26t内,得出EQ=.3t

52、23t ,竞,由三角形面积关系得出方程,解方ABCD 中,/B=60°,;AD=AB=CD=4 MCD是等边三角形,Z CAD=60 ; ,.PQXAC,.APQ是等腰三角形,.PF=QR PF=PA?sin60X匕收 t,2.PQ=23 t;,PD=PN,.pn"pqM x 273 t=3t, 22.PD=3t,PA+PD=AQ即 2t+3t=4 ,4解得:t=2.5S却形 PQMN 的面积=PQX PN=a/3 t x 3t=3 t2;PDN是等边三角形,PE=PD=AD-PA=4-2t / FEN=Z PED=60,°1 . NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,2 .FN=73 NE=73 (5t-4),

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