2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数(中考题型整理,突破提升)含答案

1、2020-2021中考数学压轴题之锐角三角函数（中考题型整理，突破提升）含答案一、锐角三角函数1 . （6分）某海域有 A, B两个港口， B港口在A港口北偏西30 °方向上，距 A港口 60海里，有一艘船从 A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75。方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）【答案】心【解析】试题分析：作 ADXBCT D,于是有/ABD=45,得至U AD=BD=°V，2 ,求出Z C=6（J ,根据正切的定义求出 CD的长，得到答案.试题解析：作 ADXBCT D, . /EAB=30, AE/ BF, . .

2、 / FBA=30 ,又 / FBC=75,/ ABD=45 ；又 AB=60,. AD=BD=0）,/ BAC=Z BAE+/ CAE=75 ； / ABC=45 , AD 30v2/ C=60 ；在 RtACD 中，/ C=60 ； AD=°V，2 ,则 tanC=人 , . CD= =（）四, .BC=WZ+ I。/.故该船与b港口之间的距离CB的长为1°W海里.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.2.在等腰4ABC中，/B=90°, AM是 ABC的角平分线，过点 M作MNLAC于点N, /EMF=135 .。将/ EMF绕点M旋转，使/ EMF的两边

3、交直线 AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题：（1）当/EMF绕点M旋转到如图 的位置时，求证：BE+CF=BM（2）当/EMF绕点M旋转到如图 ，图 的位置时，请分别写出线段BE, CF, BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan/ BEM研，AN、2+1,贝U BM=, CF=【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3） 11+；?或1舌(1)由等腰 ABC中，Z B=90°, AM是 ABC的角平分线，过点 M作MNXAC于点N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可证明的 BME0NMF,可得 BE=N

4、R NC=NM=BM进而得出结论；(2)如图时，同(1)可证BMENMF,可得BE- CF=BM, 如图 时，同(1)可证BMENMF,可得 CF- BE=BM;在 RtAABM 和 RtA ANM 中，,AM=AH可得RtAABM RtA ANM,后分别求出 AB、AC CN、BM、BE的长，结合(1) (2)的 结论对图进行讨论可得CF的长.【详解】(1)证明：ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ； . AM是/BAC的平分线， MN LAC,.BM=MN ,在四边形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°,/ ENF=135,

5、°,/ BME=ZNMF, .BMEANMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,°.NC=NM=BM, .CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)针对图2,同(1)的方法得， BMENMF,.BE=NF,. MN，AC, /C=45；/ CMN=Z C=45，.NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;针对图3,同(1)的方法得，BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ；.NC=NM=BM,1 . NC=CF- NF,2 .CF- BE=BM

6、;(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，n-mRtA ABM RtAANM (HL.),.AB=AN=x/2+1,在 RtA ABC 中，AC=AB心+1, .AC= AB=2+,.CN=AC- AN=2+2 - (V2+1) =1, 在 RtCMN 中，CM=/2CN=/2,.BM=BC- CM= +1 -=1,在 RtA BME 中,BE粤，tanZ BEM=，由（1）知，如图1, BE+CF=BM.CF=BM- BE=1 由（2）知，如图 ，此种情况不成立；2,由 tan / BEM=75CF- BE=BM,由(2)知，如图3,.CF=BM+BE=1+-,k/3故答案为1,1+&

7、#165;或1【点睛】 本题考查三角函数与旋转与三角形全等的综合，难度较大，需综合运用所学知识求解k3.如图，反比例函数 y-k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象相交于A(1,a),B两点，点C在第四象限，CA/y轴， ABC 90(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ； (2) 2.【解析】【分析】(1)先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点 A在反比例函数ky k 0的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点 A、B关于原点对称即可x求得点B的坐标；(2)作BH, AC于H,设AC交X轴于点D,根据 ABC 90 ,

8、BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得AOD ABH ,从而得 C AOD ,求出tanC即可.【详解】(1)二.点A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),，一k把A(1, 2)代入y 得k 2,xk ._一;反比例函数y - k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象交于 A, b两点， x A B两点关于原点。中心对称，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,设AC交x轴于点D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 轴， BH / x轴，AOD ABH , C AOD ,-AD 2 c.tanC tan AOD - 2.OD 1【点

9、睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出/C=/AOD是关键.4.如图，AB是。的直径，弦 CD，AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交AB 的延长线于切点为 G,连接AG交CD于K.（1）求证：KE=G（2）若KH=KD?GE试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；3（3）在（2）的条件下，若sinE=, AkA/5 ,求FG的长.25 口【答案】（1）证明见解析；（2） AC/ EF,证明见解析；（3） FG= .【解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及 CD±AB

10、,可以推出/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE（2） AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接 GD,由Z KGE=Z GKE及K=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 GKD与 EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到 AC/ EF;（3）如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在 RtOGF中，解直角三角形即可求得 FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG. / KGE-+Z OGA=90 ,° .CDXAB, /

11、 AKH+Z OAG=90 ;又 OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GKE, . KE=GE(2) AC/ EF,理由为连接 GD,如图2所示.GE圄2KG GE. , KG2=KD?GE 即""KGKG KD ，又 / KGE4 GKE .GKDAEGK；/ E=Z AGD,又 ZC=Z AGD,/ E=Z C, .AC/ EF;(3)连接OG, OC,如图3所示, / KGE+Z OGA=90 ； .CDXAB, / AKH+Z OAG=90 ;又. OA=OG,/ OGA=Z OAG, / KGE4 AKH=Z GK匕 . KE=GEsi

12、nE=sinZ ACH=,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t, KE=GE AC/ EF, .CK=AC=5tHK=CK-CH=t在RtAHK中，根据勾股定理得 AH2+hK?=AK2,即（3t） 2+t2= （2期“）2,解得 t=?设。O 半径为 r,在 RtOCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=Od即(r-3t) 2+ (4t) 2=r2,解得EF为切线,.OGF为直角三角形，25在 RtOGF 中，OG=r=力25 25r- t- 一 t一CII 4tan/OFG=tan/ CAH=" 一OGlanzOJ-G, .FG=

13、256 ,2543【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.5.如图，在。的内接三角形 ABC中，/ACB= 90°, AC=2BC,过C作AB的垂线l交。O是上异于A, C的一个动点，射线 AP交l于点F,连接PC与于另一点D,垂足为E.设PPD, PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF;(2)若AB=5,""肝，求PD的长;AG丽-x- x>tan/AFD= y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出(3)在点P运动

14、过程中，设 x的取值范围)【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】 试题分析：(1)应用圆周角定理证明 ZAPD= / FPQ得到ZAPC= / FPD,又由/ PAC= /PDC,即可证明结论.(2)由 AC=2BC 设=应用勾股定理即可求得BC, AC的长，则由AC=2BC导1,由AC&ABC可求得 AE, CE的长，由形，从而可求得 PA的长，由4AEF是等腰直角三角形求得 PA AC由(1) PASPDF得四 "，即可求得 PD的长. IAD = 2(3)连接BP, BD, AD,根据圆的对称性，可得可知 APB是等腰直角三角EF=AE=4从而求得DF的长,AP ta

15、nLABP = = yAG AP,由角的转换可得DG ADI,-,由AGPDGB 可得"G “=,由AGDPGB可得""尸"式相乘可得结果.试题解析：(1)由APCB内接于圆O,得/FPC=/B,又. /B=/ACE= 90 - Z BCE, Z ACE= Z APD, . / APD= / FPC. / APD+ / DPC= / FPC+ / DPC,即 / APC= / FPD.又 / PAC= / PDC, .-.APACAPDF.(2)连接BP,设,/ACB=90, AB=5,AE CE ACL . 一. ACEAABC,AC A"r

16、r nr - ?. ABXCD,E土AE CE 2/，即."，= H =之如图，连接BP,.APB是等腰直角三角形. / PAB= 45 : AEF是等腰直角三角形.，EF=AE=4.，DF=6.PA AC2/ 3国由（1） PAgPDF得万一历：，即 PD 一飞-" 一 2p PD的长为 ？.(3)如图，连接 BP, BD, AD, AD,. AC=2BC,根据圆的对称性，得 AD=2DB,即AP tanLABP - - = jAG AP 加二而 .DG ADBG=PB . ABXCD, BP± AE, . . / ABP= / AFD.SnUFD = y .A

17、GPADGB, .AGDAPGB,/1G DG _AP AD AG _ AP AD.丽而二丽丽即布二瓦AG J.丽W'2.:'与之间的函数关系式为考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质;角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式4.勾股定理；5.等腰直6 .如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30。的小山坡（电视塔的底部N与山坡的坡脚 A在 同一水平线上，被一个人工湖隔开），某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45。；沿着山坡向上行走 40m到达C处，此时测得塔顶 M的仰角 为30

18、°,请求出电视塔 MN的高度.（参考数据：J2 = 1.41 J3 = 1.73结果保留整数）【答案】95m【解析】【分析】过点C作C已AN于点E, CF，MN于点F.在4ACE中，求AE= 2073 m,在 RTA MFC 中，设 MN=x m,则 AN=xm. FC= V3 xm ,可得 x+ 2073 = 73 ( x 20),解 方程可得答案.【详解】解：过点 C作CE! AN于点E, CF± MN于点F.在4ACE中，AC= 40m, Z CAE= 30°.CE= FN=20m, AE= 20 百 m设 MN = x m,则 AN= xm . FC= /

19、3xm,在RTA MFC中MF= MN -FN= MN-CE= x-20FC= NE= NA+ AE= x+ 203 / MCF= 30 °FC= ,3 MF,即 x+20/3 =桓(x- 20)在“曰40 3解得：x3 1= 60 + 20 73 95m答：电视塔MN的高度约为95m.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括【点睛】本题考核知识点：解直角三角形 含特殊角的直角三角形性质 .7.如图，在矩形 ABCD中，AB=6cm, AD= 8cm,连接BD,将ABD绕B点作顺时针方向 旋转得到ABD'（B与B重合），且点 D刚好落在BC的延长上，AD与CD相交于点E.（

20、1）求矩形ABCD与ABD重叠部分（如图1中阴影部分ABCE）的面积；（2）将ABD以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移，如图 2,当B移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与AABD重叠部分的面积为 y,移动的时间为 x,请你直接写出y关于x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x,使得AAA'B成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的 x的值，若不存在，请你说明理由.【答案】（1）（2）详见解析；（3）使得AAAB成为等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、虫S .25【解析】【分析】A'B' CE 可求出CE,A'

21、;D' CD'（1）根据旋转的性质可知 B'D'= BD= 10, CD= B'D'- BC= 2,由 tan/BDA'=即可计算 /xCED'的面积，SAbce= Sabd - Sced；1111（2）分类讨论，当。虫 J 时和当xW4时，分别列出函数表达式;（3）分类讨论，当 AB'= AB时；当AA'= AB时；当AB'= AA'时，根据勾股定理列方程即 可.【详解】解：（1）. AB=6cm, AD= 8cm,BD= 10cm,CD'=B'D'- BC= 2cm,根据

22、旋转的性质可知 BD' = BD=10cm,. tanZ BDA =A'B'CEA'D'CD'CE2，CE=3cm,2Sabce= Sbd-8Sced=一452、C cm2)211(2)当 0a< 1时，CD= 2x+2,5CE= - (x+1)2 Sa cde= x+3x+ ?1 x 6X十 3x2- 3x- 3 =3 2x2-3x+竺；2BC= 8- 2x,CE=4 ,、(8-2x)3 y(3)14 n82 3如图1,2x 2=8x2-364128-x+当 AB'= AB时，x=0 秒;如图2,当AA'= AB时,八，1

23、8AN = BM=BB' B'M = 2x+ 5.AN2+A'N2=36, . （6-当）2+5解得：x=殳反5(2x+曳)59,x=2= 36,66一(舍去);5 如图 2,当 AB'= AA时,AN=BM=BB' BM =2x+”,5,_ 24AM =NB=,5.AB2+BB'2= AN2+a'N2 ,36+4x2= (6-绐 2+ (2x+史 155-3斛得：x=2综上所述，使得 AA B成为等腰三角形的x的值有：0秒、3秒、6二 9【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全 面的分析问题

24、，思考问题是解决问题的关键.8.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD.延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由；(2)如果 / BED=60°, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证：四【分析】(1)连接OD,由AB是圆。的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30° ,再由PD为。的切线，得/PDO=90 ；

25、根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=Z PBD=Z ABF,由AB是圆。的直径，得 Z ADB=90 ,设/ PBD我，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出DFBE为菱形.的值，可得出4BDE是等边三角形.进而证出四边形【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ,° / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, /

26、 ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 点D在。O上, 直线PD为。的切线；(2) .BE是。的切线，/ EBA=90 ； / BED=60 ,°/ P=30 ；.PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtPDO 中，/P=30。，PD=5-0 OD tan 30而"，解得 OD=1,PO . PD2 OD2 =2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90

27、 ；/ DBF=2X设/ PBD=x,贝U / DAF=Z PAD=90+x°,四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=/ PBD=/ ABF=30 ,°.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,°BDE是等边三角形，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°,.BDF是等边三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=

28、DF=BF本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档 题，难度较大.9.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,140),直线AB： y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作3EF± x轴交直线 AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGH(1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 J而个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边 FiGi始终与y轴垂直，设平移的时间为 t秒(t>0) .当点Fi移动到点B时，求t的值； 当Gi,

29、 Hi两点中有一点移动到直线 DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与4APE重叠部分的面积.【答案】(1) EF= 15; (2) 10 ; 120 ;【解析】【分析】(1)根据已知点E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可；(2)易求B (0, 5),当点F1移动到点B时，t=10 J10坛0=10；F点移动到F'的距离是而t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时，在 RtF'NF 中，-NF=-NF 3,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在R

30、DMH'中，-MH-EM 3 't=4, S=1x (12+45)X111023;248当点G运动到直线DE上时,在 RtF'PK中，-PK =-,F K 3PK t 34 一一_ 一PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 01 )b 4043，402 . y = - - x+40,3直线AB与直线DE的交点P (21, 12),由题意知F (30, 15),EF= 1

31、5；(2)易求 B (0, 5),3 .BF=10，1Q ,，当点F1移动到点B时，t=10J10 J10 = 10;当点H运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是T10t,在 RtF'NF 中，-NF=1 , NF 3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4EM 3t 4一 一,15 3t 3t=4,.EM = 3, MH'= 4,145.S (12 ) 11241023当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是J10t,

32、- PF=3 .10 ，-PF'=布13标,在 RtF'PK 中,PK.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 34,15 3t 93.t = 7,.S= 15 x(15-7) = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.10.如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点，点 F在边BC的延长线上，且CF AE ,连接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于点 H.

33、(1)求证：DE DF ;(2)求证：DH DF :(3)过点H作HM ± EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系，并 证明.D【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3) EF 2AB 2HM ,证明详见解析 【解析】(1)根据正方形性质，CF AE得到DE DF .(2)由 zXAED ACFD ,得 DEDF.由 ABC 90 , BD平分 ABC,得 DBF 45 .因为FH平分 EFB,所以 EFHBFH .由于DHF DBF BFH 45 BFH , DFHDFE EFH 45EFH所以DH DF .(3)过点H作HN BC于点N ,由正方形 AB

34、CD性质，得bd Jab2 ad2 72AB.由 fh 平分 efb, hm ef, hn bc ,得HNHM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH T2HN 72HMsin 45由 EF DFV2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM .cos45【详解】(1)证明：四边形ABCD是正方形，AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。 AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 .DE DF .(2)证明：.AAEDACFD ,DE DF .EDF 90 ,DEF DFE 45

35、 .ABC 90 , BD 平分 ABC,DBF 45 . FH 平分 EFB ,EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH ,DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明：过点H作HN BC于点N ,如图，.正方形 ABCD 中，AB AD, BAD 90 ,BC,BD JABAD2. 2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BH HN 2HN . 2HM . sin 45DH BD BH J2AB . 2HM . EF DFV2DF V2DH ,cos4

36、5EF 2AB 2HM .【点睛】 本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.一 . .一一 1 211.如图，已知二次函数 y x bx C的图象经过点 A (-3, 6),并与x轴交于点B 2(-1, 0)和点C,顶点为点 P.(1)求这个二次函数解析式；(2)设D为x轴上一点，满足 /DPO/BAG求点D的坐标；(3)作直线AP,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,在直线AP上是否存在点 N,使AM+MN的值最小？若存在，求出 M、N的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】1)点 C坐标为(3

37、, 0),点 P (1, -2);(2)点 P (7, 0);(3)点 N (-7,2.55【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解;(2)利用Saabc= X ACX BH= X BCXy 求出 sin22BH a =AB2.22、10MD PMD 中，tan a =PMx 1广一,即可求解;x 222(3)作点A关于对称轴的对称点 A 55, 6),过点A作A吐AP分别交对称轴与点 M、 交AP于点N,此时AM+MN最小，即可求解.【详解】96 - 3b 32八-(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:2,解得:10- b c故：抛物线的表达式为：y=lx2-x-

38、3,22令 y=0,则 x=-1 或 3,令 x=0,则 y=-3 ,2故点C坐标为(3, 0),点P (1, -2);(2)过点B作BH, AC交于点H,过点P作PGJ±x轴交于点 G,设：/DPO/BAO”,由题意得：AB=2M，AC=672, BC=4, PC=272,S>A ABC=1 >AC 汨H=1 >BC xyA,22解得：BH=2 72,sinBHa AB 2、,105由题意得：GC=2=PG,故 / PCB=45°,延长PC,过点D作DM，PC交于点M,则 MD=MC=x,在 PMD中,MDtan a-=PM x解得：x=2 亚，则 CD

39、= 72 x=4,故点 P (7, 0)；(3)作点A关于对称轴的对称点 A' (5, 6),过点A作ANAP分别交对称轴与点 M、交AP于点N,此时AM+MN最小,直线AP表达式中的k值为：8-=-2,则直线AN表达式中的k值为二，42设直线A N的表达式为：y= x+b,2将点A'坐标代入上式并求解得：b=-,2故直线AN的表达式为：y= x+22当 x=1 时，y=4,故点 M （1 , 4）,同理直线AP的表达式为：y=-2x，联立 两个方程并求解得：x=-,5故点 N -. 55【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3）,利用

40、对称点求解最小值，是此类题目的一般方法.12.阅读下面材料: ABC 中，/A、/B、/C 的对边分别是a、b、c,过A作AD, BC于D （如图），则sinB=殷,sinC=胆,即 AD=cbcsinB, AD= bsinC,于是csinB=bsinC,即bsin Bsin C同理有:c asin Csin A观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角asin Ab 1abesinB '所以 sin A sin B sinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中，若已知三个元 素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据

41、上述 材料，完成下列各题.（1）如图，4ABC中，ZB=75°, / C= 45°, BC= 60,则 AB=；(2)如图，一货轮在 C处测得灯塔A在货轮的北偏西 30。的方向上，随后货轮以 60海里/时的速度按北偏东 30。的方向航行，半小时后到达 B处，此时又测得灯塔 A在货轮的北偏西75。的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.(3)在(2)的条件下，试求 75。的正弦值.(结果保留根号)1)20 而;(2) 15点海里;(3)6+ .24(1)根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.(2)此题可先由速度

42、和时间求出BC的距离，再由各方向角得出 / A的角度，过B作BMLAC于M,求出/ MBC=30 ,求出 MC,由勾股定理求出 BM,求出 AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；(3)在三角形 ABC中，ZA=45, / ABC=75, / ACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形 ABD, BCD,在直角三角形 ABD中可求出AD的长，进而可求出 sin75的值. 【详解】解：(1)在 4ABC 中，/B=75, /C=45, BC=60,则 / A=60°,ABBCsinCsinAAB 60 sin45o sin60AB 60即近二代，22解得：AB=20 . 6

43、.(2)如图，A依题意：BC=60< 0.5=30 (海里)1. CD/ BE, / DCB+/ CBE=180 / DCB=30 ；c C CBE=150 ° / ABE=75 .°/ ABC=75 ,°/ A=45 ,°在 ABC中,AB BC AB 30 = sin ACB sin A sin60? sin45?解之得：AB=15 6 .答：货轮距灯塔的距离 AB=15j6海里.(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.C在直角三角形 ABM中，/A=45, AB=15j6,所以AM=15，3,在直角三角形 BDC中，Z BCM=60 , BC

44、=30 ,可求得 CM=15,所以 AC=15 .3+15,由题意得，15百15二哽,而75=邑2 . sin75 sin604【点睛】本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法.13.在 RtABC中，/ACB=90°, AB=" , AC=2,过点 B作直线 m II AC,将 ABC绕点 C 顺时针旋转得到B'尤A, B的对应点分别为 A', B',)射线CA, CB分别交直线 m于点P, Q.(1)如图1,当P与A重合时，求/ACA'的度数；(2

45、)如图2,设A'国BC的交点为M,当M为A'的中点时，求线段 PQ的长；(3)在旋转过程中，当点 P, Q分别在CA', CB'的延长线上时，i3t探究四边形PA'B'的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA' B'的最小面积；若不存在，请说明理由.备用图【答案】(1) 60。； (2) PQ= 7； (3)存在，S四边形 pabq=3 J3 2【解析】【分析】(1)由旋转可得：AC=A'C=2,进而得到BC J3,依据/A'BC=90°,可得cos/ A'CB -BC- -,即可得到 Z A

46、'CB=30 °, / ACA=60 -A'C 2(2)根据M为A'B'的中点，即可得出 ZA=ZA'CM,进而得到PB g BC 3 ,依据tan/Q=tan/A ,即可得到 BQ=BC 与 2,进而得出 PQ=PB+BQ -;232(3)依据S四边形PABQ=SzPCQ S A'CB'=SAPCQ J3 ,即可得到 S四边形PAB'Q最小，即 SPCQ最小，而SaPCQ 1PQXBC PQ,利用几何法即可得到Sapcq的最小值=3,即可得到结22论.【详解】(1)由旋转可得： AC=A'C=2 . /ACB=

47、90； AB 6, AC=2, . BC V3 .BC. /ACB=90； m II AC . ./A'BC=90； ，cos/A'CB _AC,Z A'CB=30 °,2，/ACA=60(2) M为A'B'的中点，ZA'CM=ZMA'C,由旋转可得:/ MA'C=Z A,，/A=/A'CM, .-.tanZPCB=tanZ A 虫2 -PB i3BC Z BQC=Z BCP=Z A, .1.tanZ BQC=tanZ A,BQ=BC22, .1.PQ=PB+BQ(3) S四边形 pa1b,q=Sa1 pcq S

48、aa'ce?=Sapcq J3.S四边形PAB'Q最小，即Sa pcqJ1小,1Sa pcq PQ 汨C2取PQ的中点-3PQ2G./ PCQ=90.CG1一 PQ,即PQ=2CG,当CG最小时，PQ最小,2CG± PQ,即 CG与CB重合时，CG最小, CGnin J3, PQmin=2j3,S/PCQ 的最小值=3, S 四边形【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质pab'q=3 33 ;的综合运用，解题时注意：旋转变换中,心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中 后的图

49、形全等.14.如图，在菱形ABCD中，B60 ，度沿边AD向终点D运动，过点P作PQAB 4 .点P从点A出发以每秒2个单位的速AC交边AB于点Q ,过点P向上作PN AC ,且PN 近PQ ,以PN、PQ为边作矩形PQMN .设点P的运动时间为t 2(秒)，矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为 S.(1)用含t的代数式表示线段 PQ的长.(2)当点M落在边BC上时，求t的值.(3)当0 t 1时，求S与t之间的函数关系式，如图，若点。是AC的中点，作直线OM .当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1:2时，直接写出t的值4n2.(1) PQ 2品；(2)一； (3)19

50、拘24073t1643； (4) t q 或53【解析】【分析】(1)由菱形性质得 /D=/B=60°, AD=AB=CD=4 AACD是等边三角形，证出 APQ是等腰三角形，得出PF=QF, PF=PA?sin60 而t,即可得出结果；(2)当点M落在边BC上时，由题意得：4PDN是等边三角形，得出 PD=PN,由已知得3一上口工口 一工口口PN=-yPQ=3t,得出PD=3t,由题意得出方程，解方程即可；(3)当0vt 时，PQ=273t, PN=PQ=3t, S却形PQMN的面积=PQX PN即可得出一，4结果；当一 Vtv1时，4PDN是等边三角形，得出 PE=PD=AD-P

51、A=4-2t5/FEN=/ PED=60,° 彳导出 NE=PN-PE=5t-4 FN=73 NE=V3 (5t-4) , S却形 PQMN 的面积-24EFN的面积，即可得出结果；(4)分两种情况：当 0vt小时，ACD是等边三角形，AC=AD=4,得出OA=2, OG是5 MNH的中位线，得出 OG=4t-2, NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；当4 Vtw刑，由平行线得出 OED4MEQ,得出 空 正，即 一EFh -2t ,5EQMQ EF . 3t 3t4t 24t程即可.【详解】(1) 在菱形/ D=Z B=60解得EF=26t内，得出EQ=.3t

52、23t ,竞,由三角形面积关系得出方程，解方ABCD 中，/B=60°,；AD=AB=CD=4 MCD是等边三角形,Z CAD=60 ； ,.PQXAC,.APQ是等腰三角形,.PF=QR PF=PA?sin60X匕收 t,2.PQ=23 t;，PD=PN,.pn"pqM x 273 t=3t, 22.PD=3t,PA+PD=AQ即 2t+3t=4 ,4解得：t=2.5S却形 PQMN 的面积=PQX PN=a/3 t x 3t=3 t2；PDN是等边三角形,PE=PD=AD-PA=4-2t / FEN=Z PED=60,°1 . NE=PN-PE=3t- (4-2t) =5t-4 ,2 .FN=73 NE=73 (5t-4),