2020-2021备战中考数学初中数学旋转(大题培优易错难题)

1、2020-2021备战中考数学初中数学 旋转(大题培优 易错难题)一、旋转1.如图1,在平面直角坐标系 xOy中，抛物线C: y=ax2+bx+c与x轴相交于A, B两点，顶 点为D (0, 4) , AB=4J2,设点F (m, 0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线 C绕点F 旋转180。，得到新的抛物线 C'.(1)求抛物线C的函数表达式；(2)若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求 m的取值范围.(3)如图2, P是第一象限内抛物线 C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P',设M是C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形 PMP'

2、;N能否成为正方形？若能，求出 m的值；若不能，请说明理由.【答案】(1) y【解析】1 22x 4；2 2) 2vmv 2&；(3)m=6 或 m=VT7 - 3.试题分析：(1)由题意抛物线的顶点C (0, 4) , A ( 2J2 , 0),设抛物线的解析式为21y ax2 4,把A (2J2，0)代入可得a=-,由此即可解决问题；(2)由题意抛物线 C的顶点坐标为(2m, - 4),设抛物线 C'的解析式为12/y x 422mx 2m 80,由题4 ,由2，消去y得到x212 4y - x m 422_2 一2m 02m2 8 0(4 2m 80意，抛物线C与抛物线C

3、在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有解不等式组即可解决问题；(3)情形1,四边形PMP'N能成为正方形.作 P已x轴于E, MHx轴于H.由题意易知 P (2, 2),当4PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，推出 PF=FM , /PFM=90 ；易证PFEFMH,可得 PE=FH=2, EF=HM=2- m,可得 M (m+2, m -2),理由待定系数法即可解决问题；情形 2,如图，四边形 PMP'N是正方形，同法可得M (m-2, 2-m),利用待定系数法即可解决问题.试题解析:1)由题意抛物线的顶点C (0, 4) , A (2J2, 0)，设抛

4、物线的解析式为2y ax4 ,把A ( 2 J2，0)代入可得a=1，,抛物线C的函数表达式为2(2)由题意抛物线C的顶点坐标为2m, -4),设抛物线C'的解析式为4,消去y得到x2422mx 2m 8(2 4 2m2 80抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有2m 02m2 8 02vmv 2无，满足条件的m的取值范围为2< m< 2J2 (3)结论：四边形 PMP'N能成为正方形.理由：1情形1,如图，作 P已x轴于E, MHx轴于H.由题意易知P (2, 2),当4PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形， .PF=FM,

5、/ PFM=90 ；易证 APF* FMH,可得 PE=FH=2, EF=HM=2- m, . . M (m+2,-1 212m 2) , 点 M 在 y 2x 4上，m 22 m 24,解得 m=V17 3或- 而 -3 (舍弃)，m=J17-3时，四边形PMP'N是正方形.情形2,如图，四边形 PMPN是正方形，同法可得 M (m-2, 2 - m),把M (m - 2, 21 2. 一1一 2 一一 ，八、-m)代入 y x 4 中，2m - m 24 ,解得 m=6 或 0 (舍弃)，m=622时，四边形PMP'N是正方形.综上所述：m=6或m = /17- 3时，四边

6、形 PMPN是正方形.2.如图 1,在 DABC碑，AB=6, / B=优（60d，W90° 点.E 在 BC 上，连接 AE,把 4ABE 沿AE折叠，使点 B与AD上的点F重合，连接 EF.求证：四边形 ABEF是菱形；（2）如图2,点M是BC上的动点，连接 AM,把线段AM绕点M顺时针旋转江得到线段 MN,连接FN,求FN的最小值（用含小的代数式表示）.13【答案】（1）详见解析；（2） FEsin（ 90°）【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得 AF/ BE,所以/ FAE=Z BEA,由折叠的性质得 / BAE=Z FAE, / BEA=Z FEA

7、所以/ BAE=Z FEA 故有 AB” FE,因此四边形 ABEF是平行四边形，又BE=EF®此可得结论；pn（2）根据点M在线段BE上和EC上两种情况证明/ENG= 90利用菱形的性质得到13ZFEN=2-90 ；再根据垂线段最短，求出FN的最小值即可.【详解】（1）二.四边形ABCD是平行四边形,.AD/ BC,/ FAE=/ BEA,由折叠的性质得 / BAE=Z FAE, / BEA=Z FEA, BE=EF/ BAE=Z FEA,2 .AB/ FEE,四边形ABEF是平行四边形，又 BE=EF四边形ABEF是菱形；(2)如图1,当点 M在线段BE上时，在射线 MC上取点G

8、,使MG = AB,连接GN、EN.（图D3 Z AMN= ZB=«, / AMN+/2= / 1+/B. / 1= / 2又 AM= NM, AB=MG.ABMAMGN/ B= /3, NG=BM-，mg = ab= beEG= AB= NG11 11/ 4=/ ENG号（180 冏）=90又在菱形 ABEF中，AB/ EF/ FEG= / Bd 111.3/ FEN= / FEC- /4=，1（90$=/ 90 ° 如图2,当点M在线段EC上时，在BC延长线上截取 MG=AB,连接GN、EN.同理可得：/ FEN= / FEC-/4=以一(90 -)=-90°

9、3综上所述，/FEN=90°当点M在BC上运动日点 N在射线EH上运动(如图3)3当FNLEH时，FN最小，其最小值为 FEsin(-90°)【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出/ FEN= 1-90°,再运用垂线段最短求出 FN的最小值.3.（探索发现）如图， ABC是等边三角形，点 D为BC边上一个动点，将 ACD绕点A逆时针旋转 60得到 AEF ,连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形.小明是这样想的：等边三角影上3c E >4£ -= ACI) .盛 JC - CE - t &g

10、t; 羲刑事BCE（1）请参考小明的思路写出证明过程;（2）直接写出线段 CD, CF , AC之间的数量关系： ；（理解运用）如图，在 ABC中，AD BC于点DM ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF ,延 长FE与BC ,交于点G .（3）判断四边形 ADGF的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AFE沿AE折叠得到 AME ,连接MB ,若AD 6 , BD 2 ,求 MB 的长.B口。E 口CGeDC G图1图2图3【答案】（1）详见解析；（2） CD CF AC； （3）四边形ADGF是正方形；（4）2 13(1)根据旋转得： ACE是等边三角形，可得：

11、AB=BC=CE=AE则四边形 ABCE是菱形;(2)先证明C、F、E在同一直线上，再证明 BADCAF (SA§ ,则/ADB=/AFC, BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根据/ADC=/ DAF=Z F=90。，证明得四边形 ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；(4)证明BAMEAD (SA。，卞|据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】(1)证明： ABC是等边三角形，AB BC AC. ACD绕点A逆时针旋转60得到 AEF ,CAE 60 , AC AE.ACE是等边三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.四边形ABCE是菱形.(2)线

12、段DC , CF , AC之间的数量关系： CD CF AC.(3)四边形 ADGF是正方形.理由如下： Rt ABD绕点A逆时针旋转90得到 AEF , AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四边形ADGF是矩形. AF AD ,四边形ADGF是正方形.(4)如图，连接DE . 四边形ADGF是正方形，DG FG AD AF 6. ABD绕点A逆时针旋转90得到BADEAF ,BDEF2, 将 AFE沿AE折叠得到 AME , MAEFAE ,AFAM.BADEAM .AEF , EG FG EF 6 2 4.BADDAMEAMDAM ，即 BAMDAE

13、. AF AD , AM AD.AM AD在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AE BAM EAD SAS .1 BM DEEG2 DG242 6 2 2 13.【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形 的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边 三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.4.如图1,在锐角4ABC中，/ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由；(2)如图2,将4ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点 M, AM与

14、BE相交于点N, 当DE/ AM时，判断NE与AC的数量关系并说明理由.【答案】(1) BF=AQ理由见解析；(2) NEAC,理由见解析.2【解析】试题分析：(1)如图1,证明ADBBDF (AAS),可得BF=AQ(2)如图2,由折叠得：MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得：AE=EC由线段垂直平分线的性质得： AB=BQ则/ABE=/ CBE，结合(1)得：BDFADM,则1/DBF=/ MAD,最后证明 /ANE=/ NAE=45 ,彳# AE=EN,所以 EN=- AC.2试题解析：(1) BF=AG理由是：如图 1,AD± BC, BEX AC, ./ADB=/ AE

15、F=90,° / ABC=45 ,°.ABD是等腰直角三角形，AD=BD, / AFE=Z BFD,/ DAC=Z EBG在 ADC和4BDF中,DAC DBFADC BDF, AD BD .ADCABDF (AAS), BF=AQ(2) NE=1aC,理由是：如图2,由折叠得：MD=DC,1. DE/AM, .AE=EC .BEXAC, .AB=BC,/ ABE=Z CBE, J由(1)得：AADCABDF, .ADCAADM,.,.BDFAADM,/ DBF=Z MAD , / DBA=Z BAD=45 ； / DBA- / DBF=Z BAD- / MAD, 即 /

16、ABE=Z BAN, / ANE=Z ABE+/ BAN=2/ ABE, / NAE=2/ NAD=2/ CBE/ ANE=Z NAE=45 ； .AE=EN,.EN=1AC 25.如图，正方形 ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接 AE,将线段AE绕点A逆时 针旋转90°,得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.(1)根据题意补全图形；(2)判定AG与EF的位置关系并证明；(3)当AB=3, BE=2时，求线段 BG的长.【答案】(1)见解析；(2)见解析;(3) H5 .2【解析】【分析】(1)根据题意补全图形即可；(2)先判断出ADFABE,进而判断出点 C,

17、D, F共线，即可判断出 DF8 HEG, 得出FG=EG即可得出结论；(3)先求出正方形的对角线 BD,再求出BH,进而求出 DH,即可得出HG,求和即可得出 结论.【详解】(2)连接DF,由旋转知，AE=AF, / EAF=90 , 四边形ABCD是正方形，AB / CD, AD=AB, / ABC=Z ADC=BAD=90 , / DAF=Z BAE, .ADFAABE (SA§ , ，DF=BE /ADF=/ ABC=90 ,° / ADF+/ ADC=180 ,°.点C, D, F共线， .CF/ AB,过点E作EH/ BC交BD于H,/ BEH=Z B

18、CD=90 ,° DF/ EH,/ DFG=Z HEG, .BD是正方形 ABCD的对角线，/ CBD=45 ； .BE=EH / DGF=Z HGE, .DFGAHEG (AAS), .FG=EG .AE=AF, AGXEF;(3) .BD是正方形的对角线，BD=72aB=3 点,由（2）知，在 RBEH中，BH=72 BE=272 , .dg=bd-bh= 2由（2）知，ADFGAHEG,.DG=HG, .HG=1DH= .BG=BH+HG=2 2+ 2 =5 2【点睛】 此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性 质，勾股定理，作出辅助线是解本

19、题的关键.6 .在平面直角坐标系中，O为原点，点A (8, 0),点B (0, 6),把ABO绕点B逆时针旋转得B' ,0点A、。旋转后的对应点为 A'、O',记旋转角为(1)如图1,若 "90；贝U AB=,并求AA'的长;(2)如图2,若a =120；求点。'的坐标；(3)在(2)的条件下，边 0A上的一点P旋转后的对应点为 P',当O P+B取得最小值（3）邛,54）55【解析】试题分析：(1)、如图，先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得 BA=BA,/ABA' =90则可判定ABA为等腰直角三角形，然后根据等

20、腰直角三角形的性质求AA的长；(2)、作O吐y轴于H,如图，利用旋转的性质得 B0=B0=3, / 0B0 =120；则/HBO' =6 0再在RtBHO中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O' H的长，然后利用坐标白表示方法写出0'点的坐标；(3)、由旋转的性质得 BP=BP,则O' P+BP' =0' F+BP3点关于x轴的对称点C,连结。度x轴于P点，如图，易得O' P+BP=Q利用两点之间线段最短可判断此时O' P+BP值最小，接着利用待定系数法求出直线O' C的解析式为 产蜉 X 3,从而得到P (

21、邛3 , 0),则O' P'=益联,作P' HO' H于D,然后确定/DP' O'通利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P' D和D。的长，从而可得到 P'点的坐标.试题解析：、如图，丁点 A (4, 0),点 B (0, 3) ,OA=4, OB=3,AB=5,.ABO绕点 B逆时针旋转 90 ,得 f BQ'： BA=BA； /ABA' =9。， ABA为等腰直角三角形，.AA/ = BA=5/2120 ,得 AA' BQ' Z BO' H=9G(2)、作O' Uy轴于H,

22、如图，.ABO绕点B逆时针旋转 .BO=BO, ,=3Z OBO， =12P°：/HB0' =。0 在 RtBHO 中，/HBO' =3,0BH= BO，O'3 g 0H=0B+BH=3+E-, 2二 2.O'点的坐标为(3) .ABO绕点. O' P+BP ' =0；),C (0, - 3)代入得:直线O'值勺解析式为y="ax-3,当y=0时，毕Jx- 3=0,解得.OP,3735O'p'空国,作 P，LO/ HT D,5. /BO' A=BOA=90 , / BO' H=3>

23、0，/DP' O' =30.P点的坐标为(1.O/ 妨0'L3<3 W3，P' glO，.M=07。4亍. 丁=丁277 5 'B逆时针旋转120°,得BQ点P的对应点为P； BP=BP, 作+B点关于x轴的对称点C,连结O'度x轴于P点，如图, 贝U O' P+BP=。P+PC=。毗时O' P+B的值最小，点C与点B关于x轴对称，.-.C (0, - 3),设直线O' C的解析式为y=kx+b,把0(考点：几何变换综合题7 .如图(1)所示，将一个腰长为 2等腰直角 BCD和直角边长为2、宽为1的直角4C

24、ED 拼在一起.现将 CED绕点C顺时针旋转至 ACE D'旋转角为a.(1)如图(2),旋转角a=30°时，点D'到CD边的距离DA=.求证：四边形 ACED 为矩形；(2)如图(1) , 4CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G,使得GD=E' P并说明理由.a的值.(3) 4CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，/CE =90°时，直接写出旋转角【解析】分析：(1)过D作DN，CD于N.由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论.由D'A/ CE且D'A=CE=1,得到四边形 ACED为平行四边形.根据有

25、一个角为90。的平行四边形是矩形，即可得出结论；(2)取BC中点即为点G,连接GD'.易证DCE'D'CG,由全等三角形的对应边相等即可得出结论.(3)分两种情况讨论即可.详解：(1) D'A=1.理由如下：过 D作 DNXCDT N. /NCD' =30 CD' CD=2, ND' 1 CD' = 12D由已知，DA CE,且 D'A=CE=1,四边形ACED为平行四边形.又 / DCE=90°,四边形ACED为矩形；(2)如图，取 BC中点即为点 G,连接GD'.° / CED=90 ； C

26、D=2=/ECE =180° +302点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对 应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.° / DCE £ D'CG.又.D'C= DC, CG=CE' .-.DCADCG, .GD' E'D.(3)分两种情况讨论:CE' =1.,. / CDE =30 ; / ECD=60 ；/ ECB=30 ； ：.旋转角 =210°8.如图 1, 4ABC 中，CA=CB, Z ACB=90 °,直线 l 经过点 C, AFL 于点 F,

27、 BEX l 于点 E.(1)求证：4AC阵 CBE(2)将直线旋转到如图 2所示位置，点 D是AB的中点，连接DE.若AB=4/2，/CBE=30 ；求 DE 的长.【答案】(1)答案见解析；(2)在褥【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义得到 /BEG=/ACB=90。，根据全等三角形的性质得到 /EBO/CAF,即可得到结论；(2)连接CD, DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到 BE=CF, CE=AF,证得 DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=，2DE, EF=C&BE,进而得至ij DE的长.试题解析：解：(1) BEX CE,ZBEC=Z

28、 ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE与AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS)； BC AC(2)如图 2,连接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于点 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE与ACAF中， EBC ACF ,ABCEACAF (

29、AAS);BC ACBE=CF. D 是 AB 的中点，CD=BD, Z CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BE CF/EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 BDE与CDF中， EBD FCD ,BD CF.,.BDEACDF (SA9 , . / EDB=/FDC, DE=DF, / BDE+/ CDE=90 ； / FDG/ CDE=90 ；即 / EDF=90 ； . EDF是等腰直角三角形，. EF=行 DE,EF=CE+CF=CE+BE. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=4亚，. BC=4 .又一/ CBE=30°,.CE=1BC

30、=2, BE= 73 CE=2 V3 ,，EF=CE+BE=2+2 石，.DE=F = 2 3 =42. + 6>A点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 BC9 4ACF是解题的关键.9.已知 RtDAB 中，/ADB=90°,扇形 DEF中，/ EDF=30；且 DA=DB=DE 将 RtADB 的 边与扇形DEF的半径DE重合，拼接成图1所示的图形，现将扇形 DEF绕点D按顺时针方 向旋转，得到扇形 DE F'设旋转角为 “(0°< "V 1800)(1)如图 2,当 0&

31、#176;< a< 90°,且 DF'/ AB时，求 a；(2)如图 3,当 a =120；求证：AF' =BE【答案】(1) 15。； ( 2)见解析.【解析】试题分析：(1) ./ADB=90, DA=DB, . . / BAD=45 , . DF'/AB, / ADF 2BAD=45 ；a =45- 30 =15 ;(2) a =120°,，/ADE =120；，/ADF =120° +30° =150/ BDE =360- 90° -|rDA=DB120 =150 °, ./ADF'

32、 2BDE',在 ADF'和 BDE'中，NADF'=/EDE', W =DF'.ADFABDE； . . AF ' =BE'考点：旋转性质； 全等三角形的判定和性质.10.如图2,边长为2的等边4ABC内接于OO, 4ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到W, A'分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为优(°,工"360°).(1)当以=_,B,qABC出现旋转过程中的第一次完全重合;(2)当以=60°时(如图1),该图()A.是中心对称图形但不是轴对称图形B.是轴对称图形但不是中心

33、对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形(3)如图2,当当父状120', 4ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如 不会变化，求出它的周长.【答案】(1) 120° (2) C; (3)的周长不变.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的中心角为120。可直接求解；(2)根据题意可知，当 我=60°时，点A、小、B、E、C：为。的六等分点，所有的三 角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)得到结论：周长不发生变化，连接根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可得如二孱,，即招三再根据等

34、弧所对的圆周角相等，得由等角对 等边的性质可得 E/二附同理"二加7因此可求小四的周长+ FD + DAA + ED + DC = AC = 2 =【详解】解：(1) 120°./ 0=120 ；C如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得(3) 小DE的周长不变；理由如下：连接AA,M = A'CT?一巧. I? ? ?，叼一融，同理，DA = DC'曲E的周长 J?4 + ED-DA 即 E4+ED+DC. = AC = 2考点：正多边形与圆，圆周角定理11. (1)观察猜想如图，在4ABC中，/BAC=90, AB=AC点D是BC的中点.以

35、点 D为顶点作正方形 DEFG,使点A, C分别在DG和DE上，连接AE, BG,则线段BG和AE的数量关系是,(2)拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0°,小于或等于 360。)，如图2,则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请 说明理由.解决问题若BC=DE=2在(2)的旋转过程中，当 AE为最大值时，直接写出 AF的值.图2【答案】（1） BG= AE.（2）成立.如图连接AD.二ABC是等腰三直角角形，ZBAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG

36、= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.分7（3）由（2）知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转 270°时，BG最大，如图.I若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF=-.【解析】解：（1） BG= AE.（2）成立.如图，连接AD.ABC是等腰三直角角形，Z BAC= 90。，点D是BC的中点./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- /

37、 ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.（3）由（2）知，BG= AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+KDG为半径的D逆时针方向因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点 D为圆心, 圆，故当正方形 DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形 DEFG绕点 旋转270°)时，BG最大，如图 .若 BC= DE= 2,贝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13., AF=.即在正方形DEFG旋转过程中，

38、当 AE为最大值时，AF=JJ .12.在AOB中，C, D分别是 OA, OB边上的点，将 OCD绕点O顺时针旋转到 OC' D'(1)如图1,若/AOB=90, OA=OB, C, D分别为 OA, OB的中点，证明： AC =BD;ACBD'；(2)如图2,若4AOB为任意三角形且 /AOB=), CD/ AB, AC与BD交于点E,猜想 ZAEB=谩否成立？请说明理由.【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得出 OC=OC, OD=OD, /AOC' ZBOD,证出OC =Op由SAS证明AOCBOD,得出对应边相等即可；由全等三角形的性质得出 /OAC

39、JOBD,又由对顶角相等和三角形内角和定理得出 /BEA=90,°即可得出结论；(2)由旋转的性质得出 OC=O'C, OD=OD, /AOC 士 BOD,由平行线得出比例式OC OD OC OA,得出,证明AOCs BOD,得出/ OAC 士 OBD再由对顶角相 等和三角形内角和定理即可得出 / AEB=e .试题解析：(1)证明：4OCD旋转至IJ OC D，OC=OC； OD=OD； /AOC'/BOD；. OA=OB, C、D 为 OA、OB 的中点，.OC=OD,.OC' =Q D'；OA = OB= z0OD- _'lI在 AAOC

40、和 ABOD 中，0C =0D, .AOC 经BOD' (SAS , .AC' =B D'延长AC'交BD'于E,交BO于F,如图1所示： .AOC 经BOD； / OAC' /OBD；又 / AFO=Z BFE, / OAC 廿 AFO=90 , / OBD' / BFE=90 ,°/ BEA=90 ,° ACLBD'(2)解：/AEB=e成立，理由如下：如图 2所示： OCD旋转到 OC ,D'.OC=OC； OD=OD； /AOC'/BOD；1. CD/ AB,OC _OD 占一懑OC9

41、_OD'A 二OC, _ OA二二又/ AOC ± BOD,.,.AOCABOD； / OAC' / OBD；又 / AFO=Z BFE,/ AEB=Z AOB= 9考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质.13.如图1, O为直线AB上一点，OC为射线，Z AOC= 40°,将一个三角板的直角顶点放 在点。处，一边 OD在射线 OA上，另一边 OE与OC都在直线 AB的上方.(1)将三角板绕点 O顺时针旋转，若 OD恰好平分/AOC (如图2),试说明OE平分/BOC；(2)将三角板绕点 O在直线AB上方顺时针旋转，当 OD落在/B

42、OC内部，且Z COD=1-Z BOE时，求/ AOE的度数：3(3)将图1中的三角板和射线 OC同时绕点O,分别以每秒6°和每秒2°的速度顺时针旋转一周，求第几秒时， OD恰好与OC在同一条直线上？【答案】(1)证明见解析；(2) 142.5。； (3)第10秒或第55秒时.【解析】【分析】(1)由角平分线的性质及同角的余角相等，可得答案；(2)设/COD=a,则ZBOE= 3a,由题意得关于 “的方程，求解即可；(3)分两种情况考虑：当 OD与OC重合时；当OD与OC的反向延长线重合时.【详解】解：(1) OD恰好平分/ AOC/ AOD= / COD / DOE= 9

43、0 °Z AOD+Z BOE= 90； ZCOD+Z COE= 90 °/ BOE= / COE OE平分/ BOC(2)设/COD=a,贝U/BOE= 3 a,当 OD 在/BOC 的内部时，/ AOD= / AOG/ COD= 40 ° + a / AOD+Z BOE= 180 - 90 = 90 ° .40° +“斗3)位°. .仁 12.5 °/ AOE= 180 13k 142.5 °/AOE 的度数为 142.5 . °(3)设第t秒时，OD与OC恰好在同一条直线上，则 ZAOD=6t, Z AOC= 2t+40°当OD与OC重合日6t-2t=40°.t = 10 (秒)；当OD与OC的反向延长线重合时， 6t- 2t= 180 +40° .t = 55 (秒):第10秒或第55秒时，OD恰好与OC在同一条直线上.【点睛】本题主要考查角平分线的性质、余角的性质，角度的计算，进行分类讨论不漏解是关键点M是线段CB延长线一点，连结 AM, AB=a , AM b(1)将线段AM沿着