四年级数学上册思维训练全.

1、第一讲方阵问题（一）学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列. 如果行数与列数都相等， 则正好排成一个正方形， 这种图形就叫方队， 也叫做方阵（亦叫乘方问题）。方阵的基本特点是： 方阵不论在哪一层， 每边上的人（或物）数量都相同 . 每向里一层，每边上的人数就少 2。 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数 = 每边人（或物）数 - 1 ×4；每边人（或物）数 =四周人（或物）数÷ 4 1。 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或物）数。例 1：有一条公路长900 米，在公路的一侧从头到尾每隔10 米栽一根电线杆，可栽多少根

2、电线杆？分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准. 公路全长可分成若干段 . 由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的段数多 1。解：以 10 米为一段，公路全长可以分成900÷10 90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）练习与作业1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行11 人，共 11 行的方阵。这个方阵里有多少同学？2. 用棋子排成一个 6×6 的正方形，共需用棋子多少枚？3. 有 1764 棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？4. 576 人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？5. 棋子若

3、干只，恰好可以排成每边 6 只的正方形，棋子的总数是多少？棋子最外层有多少？6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯， 四个角都装一盏，每边装 25 盏，四周共装彩灯多少盏？第二讲方阵问题（二）例 3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为 60 人。问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数 =四周人数÷ 4+1，可以求出方阵最外层每边人数， 那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数： 60÷4 1=16（人）整个方阵共有学生人数： 16×16=256（人）答：方阵最外层每边有 16

4、 人，此方阵中共有 256 人。例 4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子 14 个. 晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？分析：方阵每向里面一层， 每边的个数就减少 2 个。知道最外面一层每边放 14 个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解：最外边一层棋子个数： （14-1 ）× 4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1 ）× 4=44（个）第三层棋子个数：（14- 2×2-1 ）× 4=36（个）摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个）练习与作业1. 有 16 个学生站在正方形场地的四

5、周，四个角上都站1 人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？2. 有一个正方形池塘， 四个角上都栽 1 棵树，如果每边栽 6 棵，四边一共栽多少棵树？3. 有 100 个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一个正方形队。这个正方形四周站了多少个少先队员？4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖 1 根，一共竖 28 根，正方形场地每边竖多少根电线杆？5. 某会议室的天棚是正方形， 准备在天棚四周每边安装 8 灯（包括四个角上都安装 1 盏），四周一共安装多少盏灯？第三讲巧求周长（一）我们已经会计算长方形和正方形的周长了， 但对于一些不是长方形、正方形而是多边形的图形， 怎样

6、求它的周长呢？可以把求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。例 1：如图 131 所示，求这个多边形的周长是多少厘米？分析：要求这个多边形的周长，也就是求线段ABBCCDDE EF+FA的和是多少，而在这六条线段中，只有 AB和 BC这两条线段的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的 . 当然，这个多边形的周长还是可以求的 . 用一个大正方形把这个图形圈起来，如图132 所示，这个大正方形是ABCG把.线段 EF 水平向上移动，移到CG边上，这样 CDEF 的长度正好与 AB的长度相等 . 同样把竖直方向上的 DE边向左移动，移到AG边上，这样 AFDE的长度正好与BC边的长度相等 .

7、 这样虽然 CD、DE、EF、FA 这四条线段的长度不知道，但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长。练习与作业下图的周长与长厘米， 宽厘米的长方形周长相同， 所以它的周长为厘米（单位：厘米） 。1. 下图的周长可以看成一个长由个 1 厘米的小线段组成，宽由个 1 厘米的小线段成的长方形的周长， 所以它的周长是厘米。2. 求下列各图形的周长（单位：厘米） 。周长为厘米。周长为厘米（围成图形的小线段长l 厘米）。第四讲巧求周长（二）例 2. 把长 2 厘米宽 1 厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？分析：先观察

8、图 133，第一层有一个长方形，第二层有两个长方形，第三层有三个长方形 找到规律， 第十五层有十五个长方形 . 同样，用一个大长方形把这个图形圈起来 . 因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为 2×15=30（厘米）、宽为 1×1515（厘米）的长方形周长。解：（2×151×15）×2=45×2 90（厘米）答：这个图形的周长为90 厘米。练习与作业1. 求下列各图形的周长（单位：厘米） 。周长为多少厘米。周长为多少厘米（每条小线段长度都是1 厘米）？2. 用 9 个边长为 2 厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为多少厘米？3.

9、街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米数。在草坪四周从某顶点开始每 2 米种一棵月季花，一共需种棵。第五讲逻辑推理初步在有些问题中， 条件和结论中不出现任何数和数字， 也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。也有这样的题目， 表面看来是一个算术或几何问题， 但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。所有这些问题的解决， 需要我们深入地理解条件和结论， 分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。例 1. 一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：

10、“我只知道甲是无罪的。 ”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。 ”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话， 请你分析一下，凶手是谁？分析与解：题目中条件较多， 且四个人的证词有真有假， 在这种情况下，要善于抓住关键， 由此入手进行有根有据的逐步推理。 本题的关键是：第四个人说了实话。因为第四个人说了实话， 所以第三个人的证词是伪证， 也就是说“前两个证词中至少有一个是真的” 是句假话。由此可以断定， 第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。练习与作业1. 有甲、乙两同学，其中一

11、个人有奇数根铅笔，一个人有偶数根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数， 再给乙原有铅笔数的 2 倍，他们俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是。2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，比戊同学矮； 丁同学比乙同学高； 戊同学比甲同学矮。 则最高的同学是，最矮的同学是。3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老师将照片从 1 到 4 编了号，让同学们区分四种树， 每人说出两个， 学生回答如下；第一个学生： 2 号是桃树， 3 号是李树；第二个学生： 1号是梨树， 2 号是杏树；第三个学生： 2 号是桃树， 4 号是梨树；第四个学生： 4 号是梨树 d 号是李树。老

12、师发现这四个同学都只说对了一半，那么， 1 号是， 2 号是， 3 号是， 4 号是。第六讲 枚举问题（一）电工买回一批日光灯， 在灯座上逐一试一遍， 结果全部日光灯都是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。问题. 小明有 1 个 5 分币，4 个 2 分币，8 个 1 分币，要拿出 8 分钱，你能找出几种拿法？分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法， “找”就要按照一定的规则进行。先找只拿一种硬币的拿法，有两种： 111111118（分）；22228（分）。再找拿两种不同硬币的拿法，有四种： 11111128（分）；1111228（分）；112228（分）；11158（

13、分）。最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种： 1258（分）。由此可见，共有 7 种不同的拿法。在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中， 我们对全部拿法作了适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。练习与作业1. 用 2、5、8 三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大的三位数是什么？最小的三位数是什么？2. 用 0、l 、3、6 可以组成多少个四位数？3. 有四张卡片分别写有数字 0.l 、2、3，从中取出 2 张卡片并排放在一起，可以组成多少个两位数？4. 用两个 1、一个 2、一个 3 可以组成种种不同的四位数，这些四位数一共有多少个？5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共

14、有几个？第七讲枚举问题（二）问题 1. 假设有 A、B、C 三个城市，从 A 到 C必须经过 B已知从 A 到 B可以坐汽车或坐火车到达， 而从 B 到 C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达问：从 A 到 C可以有多少种不同的旅行方式？分析 从 A 到 C（AC）可分两个阶段进行：第一阶段，从A 到 B（ AB）；第二阶段，从 B 到 C（BC），按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类：AB BC A所以，从 A到 C共有 2×36 种不同的旅行方式。上述解法中的图示叫做枝形图（图441），在解不太复杂的计数问题中很有用。练习与作业1. 有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的

15、裤子，从中取出一顶帽子、 一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：最多有多少种不同的装束？2. 从甲地到乙地有2 条不同的路可走，从乙地到丙地有4 条不同的路可走。问：从甲地到丙地有几条不同的路可走？3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车，从乙地到两地可坐飞机、火车、汽车、 轮船，某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法？4. 小英从家到学校有三条路可走，从学校到少年之家有四条路可走，小英从家经过学校到少年之家共有几种走法？5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？第八讲平均数问题（一）求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级

16、学生的平均年龄、平均身高、平均分数 ” 。平均数问题包括算术平均数、 加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均数。解答这类应用题时， 主要是弄清楚总数、 份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。一、算术平均数例 1. 用 4 个同样的杯子装水，水面高度分别是 4 厘米、 5 厘米、 7 厘米和 8 厘米，这 4 个杯子水面平均高度是多少厘米？分析：求 4 个杯子水面的平均高度， 就相当于把 4 个杯子里的水合在一起，再平均倒入 4 个杯子里，看每个杯子里水面的高度。解：（45+7+8）÷ 4=6（厘米）答：这 4 个杯子水面平均高度

17、是6 厘米。练习与作业1. 机械厂前 3 天平均每天加工零件 1259 只，后 4 天共加工零件 5379 只，这星期内平均每天加工零件多少只？2. 修路队 4 天修了两段公路，第一段长 430 米，第二段长 250米，平均每天修多少米？3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得 114 分，乙队得 210 分，丙队得 186 分，丁队得 178 分。四个队的平均成绩是多少分？4. 东村小学 38 名少先队员，在校园内和路旁种蓖麻。在路旁种了 190 棵，在校园内种的棵数是路旁的 3 倍。平均每人种蓖麻多少棵？第九讲平均数问题（二）二、加权平均数例 3. 果品店把 2 千克酥糖， 3 千克

18、水果糖， 5 千克奶糖混合成什锦糖 . 已知酥糖每千克 4.40 元，水果糖每千克 4.20 元，奶糖每千克7.20 元. 问：什锦糖每千克多少元？分析：要求混合后的什锦糖每千克的价钱， 必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。解：什锦糖的总价： 4.40 ×2+4.20 ×3+7.20 ×5 57.4 （元）什锦糖的总千克数：23510（千克）什锦糖的单价： 57.4 ÷10=5.74（元）答：混合后的什锦糖每千克5.74 元。我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数” . 例 3 中的 5.74 元叫做 4.40 元、4.20 元、 7.2

19、0 元的加权平均数 .2 千克、 3 千克、 5 千克这三个数很重要， 对什锦糖的单价产生不同影响， 有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。练习与作业1. A、B、 C三人储蓄， A 储了 1240 元， B 比 A 少储 70 元， C比B 多储 50 元。求 A、B、C三人平均储蓄额。2. 甲、乙二数的平均数是 72，丙是 18。甲、乙、丙三个数的平均数是多少？3. 甲、乙的平均数是 30，乙、丙的平均数是 34，甲、丙的平均数是 32。求甲、乙、而三个数的平均数。4. 有 A、B、C三个数， A 与 B 的平均数是 97，B 与 C的平均数为 132，A 与 C的平均数为 125。

20、问：这三个数的平均数是多少？5. 小刚参加我学考试， 前两次的平均分数是 85 分，后三次的平均分数是 90 分。小刚前后几次考试的平均分数是多少？第十讲消去问题（一）转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量关系，有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整，使这些条件重新组合，解答起来，往往容易一些。例 1 学校买了 10 盒白粉笔和 4 盘彩粉笔共花了 32 元，每盒彩粉笔的价钱是白粉笔的 2.5 倍，每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱？分析：依题意，用买 1 盒彩粉笔的钱可以买 2.5 盒白粉笔，那么，买 4 盒彩粉笔的钱就可以买 4×2.5=10 （盒）白粉笔。因此，可以理

21、解为花 32 元买了 10+4×2.5=20 （盒）白粉笔，这样，就可以求出1盘白粉笔的价格。解：（1）4 盒彩粉笔能换成几盒白粉笔？4×2.5=10 （盒）（2）白粉笔每盒多少元？32÷（ 10+10）=32÷20=1.6 （元）（3）彩粉笔每盒多少钱？1.6 ×2.5=4 （元）答：白粉笔每盒1.6 元，彩粉笔每盒4 元。练习与作业1. 买一块橡皮和 4 支铅笔一共用去 2 角 7 分，买同样的一块橡皮和 2 支铅笔的价钱是 1 角 5 分，一块橡皮和一支铅笔各多少钱？2. 甲班用 4 元 2 角钱买了 4 支铅笔， 3 支圆珠笔；乙班用

22、10 元2 角钱买了 4 支铅笔和 8 支圆珠笔。问：铅笔、圆珠笔的单价各是多少元？3. 妈妈买 6 米白布， 8 米花布 . 用去 21 元 3 角钱，王大妈买同样的白布 6 米，同样的花布 6 米，用去 18 元钱。问：每米白布和每米花布各多少钱？4. 妈妈买 2 千克糖果和 1 千克饼干，共付 7 元 2 角，如果买 1千克糖果和 2 千克饼干得付 6 元，糖果和饼干每千克多少钱？5. 小明买 6 本红岩、5 本新华字典共用 7 元 2 角；小刚买 5 本红岩、6 本新华宇典共用 7 元 1 角。红岩和新华字典每本售价各多少元？第十一讲消去问题（二）例 1. 从图 2-2 中你能称出一只

23、菠萝等于几只桃子的重量？这样想：根据（ 1）、（2），可推出 1 个梨的重量等于 2 支香蕉的重量；然后把（ 3）中的一个梨替换成 2 支香蕉，这样，（3）中就相当于 1 个菠萝等于 2 个桃子和 3 支香蕉的重量，又回想到（ 2）中 1 个菠萝等于 4 支香蕉的重量，因此， 2 个桃子实际上是 1 支香蕉的重量，可推得 1 个菠萝等于 8 个桃子的重量。例 2.1 头象的重量等于 4 头牛的重量， 1 头牛的重量又等于 3 匹小马的重量，而 1 匹小马的重量刚好与 4 头小猪的重量相同，那么 1头象的重量等于几头小猪的重量。这样想：1 匹小马刚好是 4 头小猪的重量，那么 3 匹小马等于 1

24、2 头小猪的重量，又 1 头牛相当于 3 匹小马的重量，也就是 12 头小猪的重量，因此 4 头牛等于 48 头小猪的重量，也就是 1 头象的重量等于 48 头小猪的重量。练习与作业1. 美术小组第一天买了 3 盒彩笔和 1 支毛笔，付款 4 元 4 角 4 分，第二天又买同样的 5 盒彩笔和 3 支毛笔，付款 7 元 9 角 6 分。求每盒彩笔和每支毛笔的价钱？2. 学校第一次买 3 只篮球，4 只排球用了 354 元，第二次买 2 只篮球，3 只排球用了 252 元。问：篮球与排球的单价各是多少元？3. 甲求乙代买 5 千克酒、 3 千克酱油，按售价交给乙 6.45 元。乙误买为 3 千克

25、酒、 5 千克酱油 . 结果拿回 2.10 元，问每千克酒、酱油各多少元？4. 王老师带了 30 元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。 他买了 3 支钢笔和5 支圆珠笔后，剩下的钱再买 2 支圆珠笔还差 4 角. 再买 2 支钢笔还差 2 元。每支钢笔多少元？第十二讲行程问题（一）例 1. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。如果两人都按原定速度行进， 那么 4 小时相遇；现在两人都比原计划每小时少走 1 千米，那么 5 小时相遇。 A、B 两地相距多少千米？分析：可以想象，如果甲、乙两人以现在的速度（比原计划每小时少走 1 千米）仍然走 4 小时，那么他们不能相遇， 而是相隔一段路。这

26、段路的长度是多少呢？就是两人 4 小时一共比原来少行的路。 由于以现在的速度行走，他们 5 小时相遇，换句话说，再行 1 小时，他们恰好共同行完这段相隔的路。这样，就能求出他们现在的速度和了。解： 1×4×2÷（ 5-4 ）× 5=40（千米）这道题属于相遇问题，它的基本关系式是：速度和×时间 =（相隔的）路程。但只有符合“同时出发， 相向而行，经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。 不过，当出现“不同时出发”或“没有相遇（而是还相隔一段路）”的情况时，应该通过转化条件，然后应用上面的关系式。练习与作业1. 一列火车平均每小时行用千

27、米，这列火车从甲地到乙地共用了 4 小时，问：甲、乙两地相距多少千米？2. 一辆汽车 5 小时行了 280 千米，这辆汽车平均每小时行多少千米？3. 小明家到学校 1800 米，小明早晨上学，平均每分钟走 120 米，问：小明从家到学校一共用多少分钟？4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行， 甲每分钟走 85 米，乙每分钟走 90 米,18 分钟后两人相遇。东西两村相距多少米？5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行， 甲车每小时行 55 千米，乙车每小时行 60 千米， 4 小时后两车相遇。两地相距多少千米？第十三讲行程问题（二）例 2. 小王、小张步行的速度分别是每小时4.8 千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8 千米。小王、小张从甲地到乙地，小李从乙地到甲地，他们三人同时出发，在小张与小李相遇 5 分钟后，小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间？分析：为便于分析，画出线段图36-1 ：