北京市通州区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

1、2020北京通州高一（上）期末2 / 151.2.3.4.5.6.7.、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（5 分）函数 f （x） = log 2*是（）A. （ 0, +°°）上的增函数B. （0, +8）上的减函数C R上的增函数D. R上的减函数（5分）下列函数中,A. y=log 0.5X(5分)A. ( 0,(5分)A. 80°(5分)A. 4(5分)函数f (x)既是周期函数又是偶函数的是（B. y=sin xC y= cosx=Inx+3x - 4的零点所在的区间是（1)若角B. (1,

2、 2)C.(2, 3)A.C.360°范围内，与-80B. 100°a的终边经过点P （- 3,B. - 3角终边相同的角是（C. 240°4),则sin a等于C.D.D.D.D.y = tan x(2, 4)280°把函数f （x） = sin2 x的图象向右平移jr 百=sin (2k)o=£in个单位长度,得到的图象所对应的函数g （x）的解析式是B.”的（A.充分而不必要条件C.充分必要条件D.B.D.必要而不充分条件既不充分也不必要条件sin8. ( 5分)已知函数f (工)=/、 若a,b,c互不相等，且f(a)= f(b)= f

3、 (c),贝Ua+b+cJ口的01产工的取值范围是()A. (1, 2019) B. ( 1, 2020) C. ( 2, 2020)D. 2 , 2020本、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9. ( 5分)函数f (x) = sin2 x的最小正周期为 .10. ( 5分)函数y= sin x+J；cosx的最小值是 .11. (5分)三个数1.70.3, log 0.51.1 , sin1按由小到大的顺序排列是 .12. (5分)已知函数f (x) = log ax (a>0, aw1)在1 , 4上的最大值与最小值的和是2,则a的值为.13. (5分)能说明“若f

4、(x)是奇函数，则f (x)的图象一定过原点”是假命题的函数是f (x) =.14. (5分)已知函数 y=a+coscox, xC-兀，兀(其中，a, «为常数，且 > 0)有且仅有3个零点，则a 的值为, 3的取值范围是.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (13分)已知函数 f (x) =x2-2x-3.(I)设集合A=x|f(x)>0,B= x|f (x) =0,C= x|f(x)<0,分别指出 2, 3, 4 是 A,B, C 中哪个集合的元素；(n)若？aCR, ?xi, x2 a, +8),当 xiX

5、2时，都有 f (x。<f (x2),求实数 a的取值范围.16. ( 13分)已知函数 f (x) = log a (1+x) +log a (1 - x) ( a>0, aw 1),(I)求函数f (x)的定义域；(n )若 f ( 0.5 ) = 0.42，求 f ( - 0.5 )的值(精确到 0.01 ).5 / 1517.（13分）已知“是第二象限角，且 sin ”=岂5（I）求tan a的值；（n）求 3& 口中caw （篁T-）的值18.(14分)已知函数 f (x) = 2sin (cox+(f) (3>0,TTIT <小 <）的部分图象

6、如图所示.22(I )求co, 4的值;(n)求函数f (x)在0,兀上的单调区间;（出）若对任意X1, X2C 0兀都有 |f（X1） f（X2）1Vmi求实数m的取值范围.19.（13分）如表为北京市居民用水阶梯水价表（单位:阶梯户年用水量水价（立方米）A阶梯0-180 (含)5.00第二阶梯181-260(含)7.00第三阶梯260以上9.00（I）试写出水费 y （元）与用水量x （立方米）元 /立方米）.其中自来水费水资源费污水处理费2.071.571.364.076.07之间的函数关系式；（H）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少?20. (1

7、4分)如图，半圆的直径 AB= 2, O为圆心，C, D为半圆上的点.(I)请你为C点确定位置，使 ABC勺周长最大，并说明理由；(n)已知 AD= DC设/ ABD=。，当。为何值时，(i )四边形 ABCD勺周长最大，最大值是多少？(ii)四边形 ABCD勺面积最大，最大值是多少？参考答案一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .【分析】对数函数y=logax （a>0且awl）,定义域为（0, +8）；当a>i时在（。，+oo）上为增函数；当 0< a< 1时，在（0, +°

8、°）上为减函数.【解答】解：y= log ax （a>0且awi）,定义域为（0, +8）；当a>1时，在（0, +00）上为增函数，当0va1时，在（0, +°°）上为减函数.本题a= 2 > 1,故y = log以在（0, +8）上为增函数.故选：A【点评】本题是考查对数函数的定义域以及单调性，需要掌握对数函数的基础知识2 【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果【解答】解：由于选项：A 不是周期函数选项B不是偶函数，选项 D不是偶函数，故选：C【点评】 本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对定义的应用能力3 .【分析】由函数的

9、解析式求得 f （2） f （1） <0,再根据根据函数零点的判定定理可得函数f （x）的零点所在的区间【解答】 解：.函数f （x） =lnx+3x-4在其定义域上单调递增，f （2） = ln 2+2x 3 4= ln 2+2>0, f （1） = 3 4= 1v0,.f （2） f （1） <0.根据函数零点的判定定理可得函数f （ x ）的零点所在的区间是（ 1 ， 2 ），故选：B【点评】 本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题4 .【分析】与-80°角终边相同的角的集合是：aa = k?3600 +280° , k C Z.由此

10、能求出结果.【解答】解：与-80°角终边相同的角的集合是: “ | “ = k?360° +280° , kCZ.在0°360°范围内，与-80°角终边相同的角是 280° .故选：D.【点评】本题考查终边相同的角的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题.5 .【分析】 直接利用三角函数的定义即可得出.【解答】解：= x= - 3, y=4, . | OP=q % 十/=5,y 4sin 民=-r-r-=,|0P| 5故选：C.【点评】本题考查了三角函数的定义，属于基础题.6 .【分析】由题意利

11、用函数y = Asin （x+。）的图象变换规律，得出结论.【解答】 解：由题意，将函数 f （x） = sin2x的图象向右平移 引个单位长度，ITTT可得式工）=Kn2 （工一）=sin（2x的图象，故选：B.【点评】 本题主要考查函数 y = Asin （x+。）的图象变换规律，属于基础题.7 .【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.兀1 、【解答】 解：当 仃一；一时，min 1二77成立.62当a =上7一时，满足 人口仪二，但 立="二一不成立.626JT1故“是“ sina 一”的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础

12、.13 / 158 .【分析】 作出函数的图象，由已知 f(a)= f(b)= f (c),且awbwc,结合函数的图象可得0vav1, 0Vbvl, 1vcv2019,且 兀 a+7tb=7t,从而可求.【解答】 解：由已知f (a) = f (b) = f (c),且abwc 结合函数的图象可得 0vav1, 0V b< 1, 1vcv2019, 且兀a+兀b=兀即a+b= 1,.a+b+c=1+c (2, 2020).故选：C.【点评】 本题主要考查了函数与方程的综合应用，解题的关键是要根据已知函数的解析式做出函数的图象，进而根据函数的图象及三角函数的性质可得且兀a+兀b=兀，还要

13、熟练掌握对数函数的性质.体现了数形结合的思想在解题中的应用.本、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9 .【分析】利用函数y=Asin (x+。)的周期为 磊二 得出结论.【解答】解：函数f (x) = sin2 x的最小正周期为三:=兀，故答案为：兀.【点评】 本题主要考查函数 y = Asin (x+。)的周期性，利用了函数y= Asin (cox+4)的周期为江，属于基础题.10 .【分析】运用三角函数的辅角公式将函数解析式化简即可得到答案.解. y= 2sin(x+一2.故答案为：-2.【点评】本题主要考查三角函数的辅角公式.辅角公式在每年的高考中必考，要灵活运用.11 .

14、【分析】利用三角函数、指数函数对数函数的单调性即可得出.【解答】 解：三个数 1.70.3>1, log 0.51.1 <0, sinl £ （0, 1）.，三个数 1.7 °.3, log 0.5 1.1 , sin1 按由小到大的顺序排列为：log 0.51.1 v sin1 v 1.7 0.3.故答案为：log 0.5 1.1 < sin1 v 1.7 0.3.【点评】 本题考查了三角函数、指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.12 .【分析】利用对数函数的单调性，当 a>1时，y=logax在（0, +8）上为增函数

15、，所以 y = log ax在1 , 4上 最大值为log a4,最小值为log a1 ；当0va<1,时，y= log ax在（0, +°0）上为减函数，所以 y= log ax在1 , 4上最大值为log a1,最小值为log a4.【解答】 解：,当a>1时，y = log ax在（0, +8）上为增函数，所以y= log ax在1 , 4上最大值为log a4,最小值为log a1 ；当0vav1,时，y= log ax在（0, +8）上为减函数，所以y= log ax在1 , 4上最大值为log a1,最小值为10g a4.故有 log a1+log a4=2即

16、 log a4= 2a2= 4a= ± 2又a>0,所以a= 2,故答案为：2.【点评】本题考查了对数函数的单调性以及对数指数运算.13 .【分析】只需找出一个函数是奇函数，同时不过原点即可.【解答】 解：依题意，所求函数只需满足是奇函数，同时不过原点即可，显然，函数fG）=1满足条件.故答案为：【点评】 本题考查命题及函数的奇偶性，考查逻辑推理能力，熟悉常见函数的性质是解题的关键，属于基础题.14 .【分析】分析可知，x = 0必为函数的一个零点，由此求得 a =-1,再根据三角函数图象变换性质，可求得 的取值范围.【解答】 解：函数y=a+coscox在-兀，兀上为偶函数，

17、又函数 y=a+coscox, xC-兀，兀有且仅有3个零点，故必有一个零点为 x=0,且函数的零点个数必为奇数，a+cos0 = 0,a= - 1;又函数y= cos w x - 1, xC - % ,的零点个数，即函数 y=cos w x与直线y = 1的图象在-兀，兀上交点 的个数，而函数y= cosx相当于函数y=cosx纵坐标不变，横坐标扩大（或缩小）为原来的倍，3当=1时，函数y= cosx与直线y= 1在-兀，兀上仅有一个交点，则 > 1,；当=2时，函数y=cos2x与直线y=1在-兀，兀上恰有3个零点，如图，故 3 > 2;当=4时，函数y=cos2x与直线y=1

18、在-兀，兀上恰有5个零点，如图,故 3 V 4;综上，3的取值范围是2,4).故答案为：-1, 2,4).【点评】 本题考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及逻辑推理能力，属于中档题.三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15 .【分析】(I)根据题意，由一元二次不等式的解法求出x2-2x-3>0的解集，即可得集合 A R C,据此分析可得答案；(n)根据题意，分析可得函数 f (x)在a, +8)上单调递增，结合二次函数的性质分析可得答案.【解答】 解：(I)根据题意，函数 f (x) =x2-2x-3,若 x2 - 2x - 3>

19、0,解可得 x> 3 或 xv - 1,则 A= x| x>3或 x< - 1, B= x|x= - 1 或 3, C= x| - 1<x<3;则 2 e c, 3 e b, 4 e a；(n)因为二次函数 f (x)的图象是开口朝上的抛物线，且对称轴是x= 1,所以f (x)在(-°°,1)单调递减，在1 , +oo)单调递增.因为？aCR, ?x1, x2(Ea, +8),当 x1x2时，都有 f (x。< f (x2),所以函数f (x)在a, +8)上单调递增.所以a, +8)? 1 , +8),所以a> 1,即a的取值范围

20、是a| a> 1.【点评】 本题考查二次函数的性质，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题.16 .【分析】(I)由函数f (x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可；(n)判断f( - x) = f (x),从而求出f (- 0.5 )的值.解得-1vxv 1;【解答】 解：(I)由函数 f (x) = log a (1+x) +log a (1- x),得所以函数f (x)的定义域是(-1,1);(n)因为 f Lx) = log a1+ ( x) + lOg a1 - ( x)=log a ( 1 x) +log a ( 1+x)=f (x),所以 f ( 0.5 )

21、 = f (0.5 )0.42 .【点评】本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题，是基础题.tan a的值.17 .【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得（H）由题意利用二倍角公式、诱导公式，求出）的值.【解答】解：（I） a 是第二象限角，且sin asinClcos a(n)cos2+COS(Ct -ry) = 1 2sin a sin a = 1 2X925g25【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式的应用，属于基础题.18.【分析】（I ）根据三角函数的部分图象求出(H)由(I)写出函数f（x）的解析式，再求函数在 xC0,兀上的单调递增区

22、间和单调递减区间;（出）由（H）求出函数f（x）在0 ,的最大值和最小值，得出|f （xi） - f （x2）|的最大值，从而求得 m的取值范围.【解答】解:f （x）的最小正周期为T, jr由图可知，yT=-T-(Tt J5兀% 3兀 汴 正）二，所以丁二又1=2元> 0,所以1=2；）=2所以式口（>十0）=1因为兀*所以6所以巾二一卷;(H)由(I)知,f (x) =2sin(2xb因为当xC 0 ,兀n _lltt七 L"r' 6所以当三，二,即在0, 62时，f (x)单调递增;时，f (x)单调递减;西闩兀亡3n Lin当以二(亏'"

23、Tn时，f (x)单调递增;n,单调递减区间为三，卫、36所以函数f (x)单调递增区间为0, 工和(2 36(m)由(n)可知，函数f (x)在0,兀的最大值为f(3)=2,最小值为 双军)二-2 ，0所以对任意 xi, x2 0 ,兀,都有 | f (xi) - f (x2)|W|2 ( 2) |=4,且当xi=?,西二时，|f (xi) - f (x2)|取到最大值4.因为对任意xi, x2 0 ,兀,都有£(>1)- f (x2)|vm成立，所以m>4,即m的取值范围是n|im>4.【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是

24、中档题.19 .【分析】(I)由北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米)，能求出水费y (元)与用水量x (立方米)之间的函数关系式.(n)由于函数 y=f (x)在各区间段为单调递增函数，当 xC0, 180时，ywf (180) = 900v 1040当xC (180, 260时，900<y<f (260) = 1460>1040.所以 180<x<260. 令 1040=7 (x 180) +900,解得 x = 200.即该用户当年用水量为 200立方米.由此能求出其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少.【解答】 解：(I)由北京市居民用水阶梯水价

25、表(单位：元/立方米).得到水费y (元)与用水量x (立方米)之间的函数关系式为：5义，0<5c<180y= 7G-18Q)+9。, 180<X<26C(5 分)9(1-260)+1460.工>260(n)由于函数y=f (x)在各区间段为单调递增函数,所以当 xC0, 180时，y<f (180) = 900V 1040当 xC ( 180, 260时，900V ywf (260) = 1460>1040.所以 180v xw 260.令 1040=7自来水费为(x- 180) +900,解得x=200.即该用户当年用水量为200立方米.2.07

26、X 180+4.07 X 20= 454 (元)水资源费为1.57 X 200 = 314 (元)污水处理费1.36 X 200 = 272 (元).18 / 15【点评】 本题考查函数表达式的求法，考查居民年交水费中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少的求法，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题.20 .【分析】(I)解法一：由点 C在半圆上，AB是直径，得出a2+b2=c2；利用基本不等式 a+bwj员c,求得ABCO长的最小彳1以及点 C是半圆的中点.解法二：由点 C在半圆上，AB是直径，利用三角函数求出a = c?cos"，b=c?

27、sin a ,计算 AB时长的最小值以及对应点C是半圆的中点.(n) ( i )利用三角函数值表示四边形ABCD勺周长p,再求p的最大值；(ii)利用三角函数值表示出四边形ABCD勺面积s,再求s的最大值.【解答】 解：(I)点 C在半圆中点位置时， ABCO长最大；理由如下:解法一：因为点 C在半圆上，且 AB是圆的直径,即 ABB直角三角形;设 BC= a, AC= b, AB= c,显然 a, b, c 均为正数，则 a2+b2=c2；因为a2+b2>2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以 2 (a2+b2) > a2+b2+2ab= ( a+b) 2,所以j所以 AB时长为L=+b+c；G/B+l)c=2Me+2,当且仅当a=b时等号成立；即ABC等腰直角三角形时，周长取得最大值为2&+2；此时点C是半圆的中点.解法二：因为点 C在半圆上，且 AB是圆的直径，所以/ACB=工，即 ABB直角三角形；设