导数的文章李芳

1、导数问题的常见类型及解法李芳(肥城市职业教育中心校山东 泰安271600)摘要：导数的引入，为研究函数的性质，图像等开辟了新的途径.只有深刻理解导数 作为特殊函数的几何意义之所在，熟练掌握利用导数求极值，单调区间，函数在闭 区间上的最值等基本方法，才能应用的得心应手.关键词：导数的几何意义切线问题函数性质近几年导数进入中学教学教材，给传统的中学数学内容注入了生机与活力.并且高考对导数的考察愈加关注不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。以下我将结合某些高考题，谈谈高考中导数问题的常见类型及解法。类型1-利用导数的几何意义解决切线问题函数y=f(x)在点xo处的几何意义，就是曲线

2、在点p(xo,f(xo)处的切线斜率例1 若曲线y =x4的一条切线丨与直线x 4y -8 = 0垂直,求直线丨的方程.解:由l与直线x 4y - 8 = 0垂直，则k| =4 设切点(x0, x04)由y4x3贝U3y x岂=4x0=4 故x =1 切点为(1,1)由此直线1方程为y -1 =4(x 1)即 4x - y - 3 二 0例2已知函数f(x)在R上满足f (x) =2f(2 -x) -x2，8x-8，求曲线y二f (x)在点 (1,f (1)处的切线方程解：由 f(x) =2f (2-x) -x2 8x-8 得 f(2-x) =2f(x)-(2-x)2 8(2-x)-8 , 即

3、 2f(x)-f (2-x)二x 4x-4 ,二 f(x)二x / f (x) = 2x，二切线方程为 y-1=2(x-1)，即 2x - y -1=0类型2-利用导数知识研究函数性质运用导数的有关知识研究函数的性质.如单调性,极值和最值问题.例 3 设函数 f(x) =1 n(2x，3) x(I)讨论f (x)的单调性；(U)求f(x)在区间|，丄的最大值和最小值.IL 4 4f 3解：f(x)的定义域为址(.12 丿(I) f(xr 2x = 4x2 6x J2(2x1)(xT).2x+32x+32x + 3_11当一一 ：x ： -1 时，f (x) 0 ;当 一1 ： x ：- 时，f

4、 (x) ： 0 ;当 x 一一 时,22 2f (x) 0.f 3从而，f(x)分别在区间匕,1 L 1单调增加，在区间宀刁单调减少.(D)由知f(x)在区间一，的最小值为f又f -一-f丄I 4丿42162 16722.6所以f(x)在区间寸，一1的最大值为f 一专1n2.例 4 设函数 f (x)二 x3 -3ax - b(a = 0).(I)若曲线y二f (x)在点(2, f (x)处与直线y = 8相切，求a,b的值;(U)求函数f(x)的单调区间与极值点解：(I) f' x=3x2 -3a,曲线y二f (x)在点(2, f(x)处与直线y = 8相切,f' 2 =0

5、f 2 =83 4 - a =08-6a b = 8a =4,b =24.'2f x =3 x -a a = 0.当a <0时，f' x 0，函数f(x)在-：:，七上单调递增,此时函数f (x)没有极值点.当 a 0 时，由 f' x =0= x= a，当I，；a时，f X 0，函数f (x)单调递增，当八a时，f' x ：o函数f(X)单调递减,当x；.a, :时，f' x o，函数f(x)单调递增，此时 x - - . a 是 f (x) 的极大值点，x=ja是f (x)的极小值点.类型3利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题恒成立问题是不等

6、式与函数结合的常见题型，关键是利用导数的作用求解函数的最值形式，从而解决参数的范围问题.例5设函数f(X)= . X2 J-ax,其中a 0,求a的取值范围，使函数f (x)在区间 0, ：)上是单调函数.x解：f(X)-=-a.函数f (x)在0, V)上是单调 函数，即f(x)_0或Jx2 +1f(X)_ 0在0：)上恒成立.由得 a -x：1 在 X)上X：1的最小值是0,所以a空0,此与题设a 0矛盾.由f(X"得a【x2.1X =* 1(XT 畑),X在(0：)上1 连续递增，且所有值都小于1所以a 一 1.1+占综合可知，当a _1时，函数f(x)在区间0：)上是单调函数

7、.例 6 设函数 f(X)二 tx2 2t2x t -1(x R，t 0).(I)求f(x)的最小值h(t);(n)若h(t) ： -2t m对r (0,2)恒成立，求实数m的取值范围.解：(I) ： f (x) =t(x t)2 -t3 t -1(x R, t 0),.当 X = -t 时，f (x)取最小值 f (_t) - -t3 t 一1, 即 h(t) = t3 t 一1 .(U)令 g(t)二 h(t)(2t m)二-t3 3t -1 -m,由g(t) =-3t2 *3=0得t=1 , t=-1 (不合题意，舍去) 当t变化时g (t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,)1(1,

8、)g(t)+0g(t)递增极大值1 -m递减.g(t)在(0,2)内有最大值gh-m.h(t) c -2t +m在(0,2)内恒成立等价于 g(t) £0在(0,2)内恒成立，即等价于1 - m ：0 ,所以m的取值范围为m-1.类型4-利用导数处理实际生活中的优化问题.在解决实际生活中的最值时，以往是在建立目标函数后，通过拼凑变形转化为符合 二元均值不等式的形式求最值.而如何拼凑是一个难点，不易把握.而运用导数的 知识求目标函数的最值则非常的简单.例7用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2: 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大

9、体积是多少？解：设长方体的宽为x (m),则长为2x(m)，高为18 12x3h4.5 -3x(m)CK xv.4(2丿故长方体的体积为22333V(X) =2X (4.5 -3X) =9X -6x (m )(0Kxv?).从而 V(x) =18x -18x2(4.5-3x) =18x(1-x).令V'( x)= 0,解得x=0 (舍去)或x=1,因此x=1.当 0vxv 1 时，V'( x)>0；当 1vxv 2 时，V'( x)v 0,3故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是 V (x)的最大值。 从而最大体积V= V'(x)= 9X 1

10、2-6X 13 (m3),此时长方体的长为2 m, 高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m,高为1.5 m时，体积最大，最大体 积为3 m3。例8某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两 端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 ( . x)x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。(I)试写出y关于x的函数关系式;(U)当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小?解(I)设需要新建n个桥墩，(n，1)x = m,即卩n= -1x所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+. x)x=256( m -1)+ m ( 2- . x xx x=256x . m x 2m -256.x由(I)知,f '(x)=-3256m122 mx2x 23诗(x-512.3令 f'(x) = 0 ,得 x2 =512，所以 x=64当0<x<64时f '(x) <0, f(x)在区间(0, 64)内为减函数;当 64：x：;640 时，f'(x) >0. f (x)在区间(64, 640)内为增函数,所以f(x)在x=64处取得最