导数和应用测试题

1、导数及其应用一、选择题1. f(X。)=0是函数f x在点Xo处取极值的：则函数f x在a,b内有极小值点()A . 1个B . 2个 C. 3个D . 4个10已知二次函数 f(xax2 bx c的导数为f'(x),A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分又不必要条件22、 设曲线y=x 1在点(x,f(x)处的切线的斜率为 g(x),贝y函数y=g(x)cosx的部分图象可 以为3 设f (x)是函数f (x)的导函数，将y = f (x)和y = f (x)的图象画在同一个直角坐标系中不可能正确的是 ()J1匸尸-/L丿Jr z *y /ox(0工三血B

2、CD4. 若曲线y = x2+ ax + b在点(0 , b)处的切线方程是 x y + 1 = 0,则()f'(0)0，对于任意实数x都有f(x)°，则埸的最小值为()、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)sin x11. 函数y =的导数为x32212、已知函数f(x) = x + ax +bx + a在x= 1处有极值为10 ,则f(2)等于13.函数y = x 2cosx在区间0,三上的最大值是 14 .已知函数f (x) = x3 ax在R上有两个极值点，贝U实数a的取值范围是 15. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1) = 0, xf (x

3、); f (x) > 0( X0),则不等式xx2 f (x)0的解集是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16. 设函数f (x)二2x3 3ax2 3bx 8c在x = 1及x = 2时取得极值.(1) 求a、b的值；(2) 若对于任意的 x 0,3,都有f(x)：c2成立，求c的取值范围A . a= 1, b = 1B . a = 1, b = 1C. a= 1 , b = 1 D . a= 1, b =15. 函数f(x) = x3+ ax2 + 3x 9,已知f(x)在x = 3时取得极值,贝U a等于()A . 2B. 3 C. 4D

4、 . 56. 设函数f x的导函数为f x，且f x =x2 2x f 1，则f 0等于()A、0B、-4C、-2D、27. 直线y = x是曲线y =a Tn x的一条切线，则实数a的值为()A. -1B. e C. ln2 D. 18. 若函数f (x) =x3 -12x在区间(k -1,k 1)上不是单调函数，贝U实数k的取值范围()A . 乞一3或 一1乞乞1或k3B. -3*：一1 或 13C. - 2 k 2D .不存在这样的实数 k9函数f x的定义域为 a,b ,导函数x在a,b内的图像如图所示,17.已知函数 f (x) =2x3 _3x2 -3.(1) 求曲线y = f(x

5、)在点x =2处的切线方程；(2) 若关于x的方程f x ，m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围19.(本题满分12分)已知函数f(x) = xlnx.(I)求f (x)的最小值；(n)若对所有x - 1都有f (x) - ax -1,求实数a的取值范围18.设函数 f (x) =x3 -6x 5, x R.(1 )求f(x)的单调区间和极值；(2) 若关于x的方程f(x) =a有3个不同实根，求实数a的取值范围.(3) 已知当x (1/:)时，f (x) - k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围(1) 若x = 1是函数h x二f x g x的极值点，求实数a的值；(2) 若对任意的

6、1, el (e为自然对数的底数)都有f % >g X2成立，求实数a 的取值范围.3ax20.已知 f(x) =(a+1)x2+4x+1(aR )3(1) 当a=T时，求函数的单调区间。(2) 当a R时，讨论函数的单调增区间。(3) 是否存在负实数a，使-1,0 1,函数有最小值3 ?导数及其应用参考答案、选择题：题号12345678910答案DADADBDBAC2a、填空题:21.已知函数 fx=x , g x =x lnx ,其中 a 0.x12一 ,xcosxsi nx兀丄石_ r . 小11. y'2； 12.1813.3 ；14. a | a ： 0；x615. (

7、-1,0)(1,：)三、解答题216. 解：(1) f (x) =6x6ax 3b ,因为函数f (x)在x=1及x=2取得极值,则有f(1) = 0 ,f(2)=0 .亦 6 6a 3b = 0,即24 12a 3b =0.解得 a - -3, b = 4 .32(2)由(I)可知，f(x)=2x -9x 12x 8c ,f (x) =6x2 -18x 12 =6(x-1)(x -2).当 x (01)时，f (x) .0 ;当 x (1,2)时，f (x) :：: 0 ;当 x (2,3)时，f (x)0 .所以，当 x=1 时，f(x)取得极大值 f (15 8c,又 f(0)=8c,

8、f (39 8c .则当0,3 时，f (x)的最大值为f(39 8c .因为对于任意的x 0,3 1,有f (x) ： c2恒成立，所以 9 - 8c : c2,解得 c ： -1 或 c 9 ,因此c的取值范围为(-：，- 1)U(9,=).17. 解(1) f (x) =6x -6x, f (2) =12, f (2) -7,2 分曲线y = f (x)在x = 2处的切线方程为y-7=12(x-2),即12x-yT7=0 ; 4分(2)记 g(x) = 2x3 -3x2 m 3, g (x) = 6x2 -6x = 6x(x -1)令 g (x) =0,x =0或 1.6 分则x,g

9、(x), g(x)的变化情况如下表x(W)0(0,1)1(Dg(x)+00+g(x)极大极小当x=0,g(x)有极大值m 3; x=1,g(x)有极小值m 2. 10分Ig(0)0由g(x)的简图知，当且仅当，lg(1)£0刚m 3°即，-3 ： m ” 一2 时，m 2 < 0函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.所以若过点 A可作曲线y=f(x)的三条不同切线，m的范围是(-3,-2).14分18.解:(1) f (x) = 3(x2 - 2),令f (x)二 0,得为二 - 2飞二.2 1 分.当 x ： 或x 迁时,f (x) 0;当- 2 &l

10、t; x ： V时,f (x) ： 0 , 2 分 f (x)的单调递增区间是(-=-，2和(、一2)，单调递减区间是(2,、. 2)3分当 x - - .2, f (x)有极大值 5 4 2 ;当 x=2, f (x)有极小值 5-4. 2 4 分(2) 由(1)可知y= f(x)图象的大致形状及走向(图略)当5 - 4. 254.2时,直线y = a与y = f (x)的图象有3个不同交点，6分即当 5 4、2 ： a ： 5 4、. 2 时方程 f (x)二:-有三解7 分(3) f(x) _ k(x-1)即(x-1)(x2 x-5) _ k(x-1)2<x 1, k_x，x-5在

11、(1,)上恒成立 9分令g(x) = x x-5 ,由二次函数的性质，g(x )在(1：)上是增函数， g(x) g(1) = _3, 所求k的取值范围是 k _-3 分19.解析：f (x)的定义域为(0,十：),1分f (x)的导数 f (x)二 1 Inx.3 分11令 f (x)0 ,解得 x ;令 f (x) ： 0 ,解得 0 ： x .ee从而f(x)在l,1单调递减，在-,宓)单调递增.5分I e丿2 丿11所以，当x 时，f (x)取得最小值 分6ee(n)解法一：令 g (x)二 f (x) - (ax-1),贝 Ug (x)二 f (x)a = 1-a Inx ,8 分

12、若 a-1 ,当 x 1 时，g (x) = 1-a Inx 1-a-0 ,故g(x)在(1, +：)上为增函数，所以，x_1 时，g(x)_ g(1) = 1-a_ 0,即 f(x)_ax-1. 10分 若a 1 ,方程g (x0的根为X。二ea , 此时，若x (1, X0),则g(x)：0,故g(x)在该区间为减函数所以 X (1 , X。)时，g(x) ：g(1)=1-a ：0,即 f(x)：ax 1 ,与题设 f(x)_ax 1 相矛盾.13分综上，满足条件的a的取值范围是(-：:,1. 1分解法二：依题意，得f(x) _ax_1在1, :：)上恒成立，1即不等式a_lnx 对于x1

13、,：)恒成立.8分x1111 f1 1令 g(x) =lnx，贝U g (x)21分 10xX XX IX 丿1 f 1当x 1时，因为g (x)10 ,A x丿故g(x)是(1, ：)上的增函数， 所以g(x)的最小值是g(1)=1 , 13分所以a的取值范围是(-：,1. 1分a21oo令 h x =0,即 2-0 ,整理，得 2x x-a = 0 .X XV ； =1 8a20 ,4当x变化时，h x , h x的变化情况如下表： h x =0的两个实根X1二丄丄宜(舍去)，X2 J11 8a",X(0,X2)X2(X2,畑)h(X)一0+h(x)极小值-1 ,即 a2 =3

14、,20.(1)-.,-2 ,或 2, ； , f8 递减；2,2 , f(x)递增；(2) 1、当 a = 0, -2 , f(>)递增;2、当 a : 0, x -,2 , f(x> 递增；3、当 0 ： a 1,2 ,或la丿xE 咼)f(x)递增；当a =1, x壬(一°o,耘,f(x)递增；当a > 1, x卸-oo -,或x壬(2,七c , fg递增； a''.，a '(3)因a :： 0,由分两类(依据：单调性，极小值点是否在区间-1,0上是分类 契机”1、 当 2 - 一1, ：= a - -2, x 1-1,-,2 , f(x

15、>递增，f(X)min = f(T=3,解得 ->-2,aa42、 当2 ._1,ua2,由单调性知：f(XU=f(3二七，化简得：3a3a-1=0,解得aaa =厘二"21 >_2不合要求；综上，a=-为所求。6'4a221. (1)解法 1 : vh x =2xIn x ,其定义域为0,=,xa21h x =2-笃丄.X X/X =1是函数h x的极值点， h 1 =0,即3 -a2 =0 .va 0 , a = . 3.经检验当a =.3时，x =1是函数h x的极值点， a 二.a2解法2: v h x =2xln x ,其定义域为 0,：,x x

16、=2 三 1.X X4va 0 , a =讦3 .(2)解：对任意的xnx!-1,el都有fx1> gx2成立等价于对任意的,x1.1有 _f x min J g x max 1 当 x1, e 时，gx=10 .x函数g x = x lnx在1,上是增函数._ g X mag e = e 1 .a2 x a x-a-f x = 122 ，且 x I1,e, a 0.XXx22* k a函数f x = x 在1 , e:上是增函数， x- f Xf 1 =1 a2.-min由 1 a2 >e1,得 a e ,又0： a ： 1 , a不合题意.当1 wa we时，卄“ u ( x十 a 丫 x a)若 1W X V a，则 f X20,xx a x-a右 a v x <e