对一个平面几何问题的思考

1、对一个平面几何问题的思考深圳大学附中 王 扬问题（不妨称为命题 1）：在ABC中，ABAC，AD为A的平分线 （1），点 E在ABC内部，且 ECAD 交AB于F （2）， EDAC （3）， 求证：射线AE平分BC边. （4）这是数学教学2001. 4-5数学问题与解答栏的问题536，条件中的标号为笔者所加。原作者使用梅尼劳斯定理及角平分线性质给出了一种较繁的计算证法，这里首先讨论其证明，然后对命题本身谈几点看法，供有兴趣的读者参考.一.问题的证明.首先提供一种能使一般初中学生容易接受的纯正的初等方法。证明：如图1，延长DE交AB 于G，过E做PQBC ， 分别交AB、AC于P、Q，连AE并

2、延长交BC于M，再连PD，则要证BM=MC，由三角形中线性质知，只要证PE=EQ 即可. AD为A的平分线，GDAC，ECAD， BAD=CDA=GDA ，GA=GD，GF=GE，QC=ED，于是，由角平分线性质定理、平行线性质定理及等比定理得，同时，再由角平分线性质定理、平行线性质定理及等比定理，还有： 从而 ， EF PD，即 PDFC， ADPD，继而有 GP=GD， GP=GA，即 EG为PAQ的中位线， 故 PE=EQ，即命题得证.这一证法未超出初中学生的知识范畴，深受学生的欢迎.下面再给出一种最简捷的方法，即用Ceva定理可获得无一伦比的优美简练证法.证法二：如图2，设AD与CF交

3、于P，连MP并延长交 AC于Q，于是，在AMC中，因AD、CE、MQ交于一点P，据Ceva定理知而 EDAC， ， ，即 Q为AC的中点，从而，PQ为AFC 的中位线，继而，MQ为ABC 的中位线，即M为BC的中点.二.问题的讨论.问题中涉及到四个条件(1)、(2)、(3)、(4)，原问题从条件(1)、(2)、(3)推出条件（4）（结论），聪明的读者可能马上会问，能否以任意三个为条件推出另一个？答案是肯定的.交换条件（3）与（4）可得命题2：如图3，在ABC中，ABAC，AD为A的平分线 （1），点E在ABC内部，且 ECAD （2），射线AE平分BC边（4）， 求证： EDAC （3）.为求

4、简便，我们仍用Ceva定理证明如下：证明：连MP并延长交AC于Q，射线AE交BC边于M，延长CE交AB于F，在AMC中，因AD、CE、MQ交于一点P，据Ceva定理知 ，注意到题设条件，知 M、P分别为BC、CF的中点，即AQ=QC， ，即 ， EDAC，命题获证。再交换（2）与（4）得：命题3：在ABC中，ABAC，AD为A的平分线（1），点E在ABC内部，且 射线AE平分BC边 （4）， EDAC （3），求证：ECAD （2）.再用Ceva定理证明如下：证明：如图4，射线AE交BC边于M，连MP并延长交AC于Q，延长CE交AB于F，在AMC中，因AD、CE、MQ交于一点P，据Ceva定理

5、知 ，考虑到 EDAC ， ， 进而 ， Q为AC的中点， MQ为ABC的中位线， MQ平分CF于P，又 AD为A的平分线，ADFC，即 ECAD，命题获证。再交换（1）与（4）可得命题4：如图5，在ABC中，ABAC，CFAD，垂足为P，（2），点E在FC上， EDAC （3），且 射线AE交BC边的中点于M， （4），求证：AD为A的平分线（1）. 证明：连MP并延长交AC于Q，因AD、CE、MQ交于一点P，据Ceva定理 ：，注意到 EDAC， ， 进而 ，Q为AC的中点，即 MQ为ABC的中位线，MQ平分CF于P，又ADFC， 进而有 AD为FC的中垂线，即 AD为A的平分线，命题获证

6、。上述几个演变命题的证明思想得益于命题1的证法2，其关键在于添加辅助线MPQ，促成Ceva定理的构图模式，营造Cewa定理的运用环境，由此引发Ceva定理的联想，达到攻克问题的目的.当然，几个演变命题的证明也可不依赖于Ceva定理，但都较为复杂，留给感兴趣的读者去思考.三.一点启示.作平面几何问题 ，添加辅助线固然重要，但若仅停留在作一道题目上，可能就知之甚少，获益亦甚少，相反的，若善于分析题目的内在结构所潜藏的有用信息及相互之间的联系，注意研究命题结构之间的变化所引起的新问题，就可不断扩展自己的思维深度，多方位、多层次驾驭几何问题的本质，培养思维的缜密性，增强灵活运用知识的能力，这正是平面几

7、何学科本身所要求的，也正是学习平面几何学科所要达到的。平面几何本身以问题的多样性、证明方法的灵活性、证明过程的条理性著称于世，所以，平面几何教学就必须遵循上述原则。但人天性懒惰，故若能在揭示上述特性的同时，又兼顾人的固有特性，即既讲几何学中的灵活性，又讲几何学中思维的通性通法，既教人怎样灵活，又教人以不变应万变，故此，上述几个问题的论述和证明就将平面几何的精髓表现得淋漓尽致了。最后，笔者给出一个“以不变应万变”证题的例子，来结束本文的讨论。1999年全国高中数学联赛加试第一大题：如图6，在凸四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，E是CD上一点，BE交AC于G，DG交BC于F，求证：FAC=E

8、AC。标准答案公布了一种使用Cewa定理的纯正的平面几何方法，后来有许多老师和学生分别用三角法和解析法证明了此题，但都不如公布的答案来得自然正宗，于是，又有人研究本题的推广，这就是数学教学2001. 1-2数学问题与解答栏的问题526：如图7，在凸四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，E是CD延长线上一点，BE交AC于G，DG交BC延长线于F，求证：FAC=EAC。原作者运用正弦定理、面积知识、Cewa定理等证明了本题，明显感到纯正的平面几何方法难以驾驭，当然，本题也可用解析法证明，不过，这些都离纯正的平面几何思想有较大的偏颇，实际上，本题也可用原赛题公布的方法予以证明，只不过图6BCD的内点G运动到图7BCD的外部，这时，Cewa定理照常适用，且看证明：做CMAB交FA的延长线于M，CNAD交EA的延长线N，连BD交AC于O，则由ABFMCF 知 （1）AEDNEC 知 （2） 在 BCD中，因CO、BE、DF所在直线交于G，故由Cewa定理知 （3）又CA平分BAD， （4）将（1）、（2）、（4）代入（3）得 CM=CN，又注意到 FCA=MCA=BAC