宏观经济学的数学预备知识总结

1、 第一章 数学预备知识本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。第一节 导数及其应用 一、导数有函数，导数就是。导数的经济含义是：边际量、q变动一单位时变动的大小、q对的变动速率。二、常用求导公式（1）为常数，

2、；（2）为常数，；（3）为常数，；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）链式法则：【例题1-1】：求下面各题的导数。（1）（2）（3）（4）练习：求导数、三、二阶导数二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示：四、微分 导数是微商。五、偏导数，。偏导数与经济学中的一个常见假设其他条件不变（ceteris paribus）假设是对应的。高阶偏导数：求偏导数与求导数的方法没有太大的差别，只是在求的时候让其他变量固定即可。Young定理：只要和存在，则=六、齐次函数的两个性质k次齐次函数是自变量都扩大t倍，函数值扩大t的k次方倍。齐次函数有两个重要性质。第一个性质有时叫齐次性：

3、k次齐次函数的一阶偏导数是k-1次的。齐次函数的第二个重要性质是欧拉定理：对求导：令如果则有：。这就是分配尽定理。在宏观经济学中我们常常讨论CD生产函数的齐次性问题。在微观经济学中常常要讨论由齐次函数正单调变换得到的位似函数。七、泰勒近似泰勒近似在宏观经济学中很有用，因为有些方程不能得到显示解，只有对它进行近似处理。泰勒近似的另一应用是用来直观理解优化问题。要得到优化问题的一阶条件，我们对目标函数进行一阶近似，而二阶条件可从二阶近似中得到。任意函数可以近似被表述为x的多项式的形式：我们常用的有线性近似和二次近似【例1-2】：将和分别在的邻域内进行线性近似。二元函数的泰勒近似第二节 静态优化一、

4、约束优化与拉格朗日乘子的解释约束优化问题为：一阶条件（FOC）：值函数：上面的公式可以通过包络定理更简洁地推导出。度量的是条件变化对目标函数最优值的影响，如果是效用，是预算约束，表示增加以单位货币时对最优效用的影响。影子价格：还可以看成是以目标函数值度量的约束的单位支付意愿，根据微观经济学的知识可知，支付意愿即为价格，而这种价格与市场价格有别，甚至有时并没有通过市场来交易，只是反应的需求价格，因而被称为影子价格。拉格朗日乘子都可以作类似解释。二、不等式约束非负约束：不等式约束：三、包络定理如果是约束优化问题，则右边是拉格朗日函数的偏导数：推导的表达式：如果问题与约束是【例2-1】【例2-2】X

5、1有：+，+，+，+四种组合，首先排除+，因为和矛盾。+排除，因为时，由此由四、静态优化的进一步解释1、从泰靳近似看静态优化将任意函数近似为二次函数。如果x充分靠近，二次项支配了高阶项。二次函数最大值（极大值）的条件是二次项的系数小于0，即是二阶充分条件。2、从套利的思想看优化过程套利就是利用价格差来获利，在市场均衡时应不会存在套利机会。我们利用一个例子来说明用套利思想解释优化条件。假定消费者在既定收入I下选择使效用最大化。首先，消费者进行这样的套利操作：将极少的收dI从消费商品2转移到消费商品1。增加，减少。是增加所增加的效用。是变动带来 的效用变动。（注意，这里假定变动如此之小，以至于来不

6、及变化）如果消费者通过调整获得效用增量为正，则原消费选择不是最优的。如果初始选择是最优的，则上式不可能为正。（这就是无套利）。其次，相反的操作，即减少用于的支出用于多购买，有此为无套利条件：额外单位货币用于1和2是无差异的，或微小地改变选择不会带来好处。（熟练的人可以从无套利条件直接推导出优化问题的一阶条件）。第三节 积分一、积分积分是微分的逆运算二、不定积分的基本法则，积的积分代换法则： （分部积分）三、对定积分求导的Leibniz规则这个公式在后面将一再出现。 穿过去（上、下限没有c）若：【例3-1】：求积分 【例3-2】 求对x的导数 第四节 微分方程（组）宏观经济学所用到的数学知识与微

7、观经济学有显著的区别。一般情况下，微观经济学用到优化知识即可，而宏观经济学远不止如此。微分、差分方程（组）在宏观经济学中用得远比微观中频繁。下面简单介绍相关知识。一、具有常系数和常数项的一阶线性微分方程阶：导数的最高阶数次：导数的最高次幂如果，则是一阶线性的。这里没有之类的项。注意：、是自变量的函数，如果、与无关，则是有常数和常数项的一阶线性微分方程。严格来讲自变量不一定是时间，可以是任意的自变量，但是在宏观经济学中碰到的许多情况中自变量确实是指时间。如 、为常数如果 齐次的如果 是非齐次的非齐次的的解与齐次方程的解相关（一）分离变量 A是常数，这一通解可由初始条件（如）得到定解【例4-1】

8、问题：如果时，如何？ ？练习：Arrow-Pratt相对风险厌恶度量：。如果是相对风险厌恶系数为常数（我们常常假定如此），求效用函数的形式。（二）、非齐次方程方程形式为：非齐次方程的解由余函数和特别积分项组成。余函数是对应齐次方程的解，特别积分项是是任意的特解（即为常数）。为常数 把代入【例4-2】：解方程， 注意：分离变量法不但可解一阶线性方程，其它的（只要可分离变量）都可用此法【例4-3】 解方程 ， 将代入得【例4-4】： 解方程分离变量： 二、一阶线性微分方程：可变系数和可变项一般形式： （一）先找到相应齐次方程： 两边对积分：左边 右边其中，。这就是通解。由初始条件可以得到特解，即找

9、到。【例4-5】解方程 （二）非齐次方程： 它的解的形式为： （这一结果可以通过添加积分因子推导得到）。【例4-6】解方程 这里：注意：最终结果中没有、，实际做的时候可省和。以上最后一例的结果可用添加积分因子的方法推导。如： 左边（三）恰当微分方程恰当微方程即使是非线性，也可解出。恰当微分方程即全微分方程，即方程具有如下形式：如果，则上式是恰当微方程。可将M视为，N视为。上式：，它是F的全微分， 通解为： 【例4-7】解方程 ， 所以它是恰当微分方程。这实际上是根据交叉二阶偏导数相等判断恰当微分方程。通解： 、为常数，其中为常数。如果方程不是恰当形，可试图添加积分因子，使它成恰当形。一阶一次非

10、线性微分方程一般难以求解，但可通过分离变量，化为恰当微分方程或线性等方法求解；或将它们用泰勒定理近似成线性方程。三、二阶常系数微分方程我们只研究、是常数的情况。但是常数项可以不是常数。非常系数的情况可以用近似的方法进行处理。（一）常数项时是齐次方程：试：方程： 此为特征方程它的两根特征根。若，满足方程，则它的线性组合是方程的通解，若（实），若 （实）， （也满足方程）复根 【例4-8】解方程练习：的常数：，它的解是（的即对应齐次方程）的解（即余函数）加上特别积分解（是无论为何值时，左右两边均相等的特定的值，即为一个使得方程成立的常数）。如果，令常数，如果令【例4-9】解方程 如果有由得由（二）

11、可变项 的求法与前面相同。的求法：，我们只考虑这一形式，其中是的次多项式。试 则 代入原方程并消去得如果不是的根（即），则我们可以令为一个m次多项式，即：代入上式，求出如果是的单根，即，但，令；如果是的重根，即，且有。其他的步骤同上面的操作。【例4-10】解方程，特征方程不是它的根。 ， 左边右边=特定系数法 练习：求 （三）稳定性。一般的微分方程是难以得到显示解的，这是利用稳定性理论判断解的性质是有益的。无论是一阶还是二阶，微分方程的稳定性是指解是否足够接近某一特定的值。在宏观经济学中，最有用的是渐进稳定性，即当时间趋于无穷时，解是否趋于某一特定值。这个特定值是指均衡值，即不变的、使得所有导

12、数都等于0的值，也就是特别积分项。稳定性又分为局部与全局稳定性。这里的基本观点是：稳定性取决于，当时， 是稳定的（即）。我们在后面的相位图中可以清楚的看出稳定的情况。四、微分方程组齐次方程为：第一种方法：迭代推导。化成了二阶方程特征方程：由此解出和如果是非0常数，则的解由等函数和特别积分组成。求的方法是求出。注意：求出的值我们不能判断均衡点是否稳态（steady state），这个均衡点是否稳定（stable）由是否在，决定。如果特征根是两根实数：两负 稳定一正一负 鞍点稳定两正 不稳定对于非线性系统，如果在均衡点附近一阶导数小于0，则是稳定的（局部）。第二种理解方法：从线性代数的角度来看，我

13、们可以如下求解：首先由系数矩阵得到行列式：再得到特征方程：变形后的这个方程与第一种方法得到的特征方程是相同的。解出特征根、以及它们对应的特征向量、。如果两个特征根不同，则方程的解组为：。如果是重根，则只有一个独立的特征向量。由确定另一向量。方程组的解为：鞍点稳定是一种条件稳定，是指只有在由负的特征根对应的特征向量确定的方向上才是稳定的。（在数学中这没有什么意义，但是在经济学中人们的理性行为将保证初始位置处在这个方向上，即稳定臂上。正的特征根对应的特征向量为非稳定臂。）【例4-11】：用两种方法解方程组第五节 差分方程（组）一、迭代法： （差分）（注意有的计量经济学书中定义）。方程： 和 是差分

14、方程 和 即以上方程是一阶线性差分方程，可以用迭代法解之。【例5-1】 二、一阶线性差分方程： 其中为常数。对应齐次方程：的解为等函数 特解：（和微分方程一样，特解是为常数时的值或是自变量的一次函数）。【例5-3】练习：三、二阶常系数与常数项差分方程二阶差分（有时定义二次差分：）二阶差分方程：解的形式：特解：分别试。余函数是的解试 （特征根）若为不等实根：若为相等实根：【例5-4】 而练习：四、可变项要点：只影响。 试：代入，如果试，再不行试 试不行就试：【例5-5】对应齐次方程： ：令代入方程有：五、差分方程组特征方程：或由若为不等实根相等实根：非齐项：如果 （即不是中的）令 如果上面的行列

15、式令同样操作可求出。【例5-6】 ： 作业：1、求积分、2、求的单调区间。3、两种商品x和y，价格分别是p和q（皆为正）。有一收入为I的消费者，a为正的常数。求解他的效用最大化问题。4、300单位劳动力和450单位土地，用来生产小小麦或牛肉，小麦每单位要2单位劳动力和1单位土地，牛肉每单位要1单位劳动力和2单位土地。社会目标函数。求社会福利最大化。5、求所有一阶以及二阶偏导数并验证Young定理。6、求 7、求关于x的导数、8、解方程（组）（1） （2）（3）（4） ，（5） （6）， ， （7）（8） （9）（10）（11）(12) 第六节 相位图分析(本节中有一些图形没有画在课件上)相位图

16、是动态方程（组）的定性图形解法，但只能用于自治（autonoumous）系统或自控系统。由于大多数动态方程（组）不能得到显示解，所以这种方法在经济分析中很有用。相位图方法的优点在于可用于非线性等无法得到能析解问题（要求能判别符号的正负）。从纯数学角度来说，自控问题是指中不显示独立地包括时间，即。在宏观经济学中，如果时间仅仅出现在折现因子中，即以的形式显示地包括时间，则也成为自治问题。一、一阶微分方法（）1、可非线性特点：在横轴（轴）上方， 随时间递增；在横轴（轴）下方，随时间递减。均衡时，相位线与横轴相交。动态系统的解还有另一重要工作就是判别均衡的稳定性。即一旦有外界扰动，使得偏离了均衡，系统

17、是否会自动回到均衡，还是离均衡越来越远。一阶稳定性判别：相位线以正的斜率与横轴相交，不稳定。相位线以负的斜率与横轴相交，稳定。例：（上方箭头向右）A不稳 B 稳 C （ 有几类特殊情形：单侧稳定-不稳定、相位线与横轴相切而不是相交、螺线型相位线。对于相交情形应从均衡点附近的一阶导数进行判断。特别强调：箭头是我们关注的主要内容。相切于水平拐点，这时均衡点附近的斜率等于0。由产生，多解、振荡运动且振幅相同、相位，线与轴相交于切线位置。2、另一种表示可能用单一数轴表示以上关系的大部分内容，而无须用二维平面，如：3、时间路径（轨迹）二、一阶差分方程的相位图三、ODE系统的相位图分析在单个ODE中，轴的

18、作用有二：数轴和分界线，后一功能是指，在的上方，下方。相位图中关键之处在于要表示每一点的运动方向，分界的功能更重要。在二维系统中，如果要象一ODE中那样将和都画出的话，就有四维了，画不出来。要设法降低维度。由于的重要作用是指明运动方向，所以可用二维表示系统ODE，分界线不一定用自身轴。1、对角ODE系统xy若表明的符号或箭头指向是分界线（轴）分成两个不同的区域，在的左侧，箭头向左，右侧箭头向右。（这里的的分界线不是轴即，而是轴），分界线的上方，箭头向上，下方箭头向下。画轴方向的箭头一定与平行，结合分成四个区域。2、 3、 注意： 所以在分界线上不会左右移动 所以在分界线上不会上下移动不会左右移动说明相位线斜率为。 不会上下移动说明相位线斜率为0。上图中最后一图A点向左至均衡点，均衡点由决定（不一定是原点）。这个图形中，只有两条路径（流线、相轨道、相路径）过均衡点，就是轴和轴，一条稳定，一条不稳定，分别叫稳定臂。这里两臂与分界重合。一般情况下，也