导数的综合应用练习题及答案

1、 导数应用练习题答案1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。； ； 解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，而且，满足罗尔定理，至少有一点，使，解出。2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值。； ； 解：该函

2、数在给定闭区间上连续，其导数为，在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。解：该函数在给定闭区间上连续，其导数为，即在开区间上可导，满足拉格朗日定理条件，至少有一点，使，即，解出。3.不求导数，判断函数的导数有几个实根及根所在的范围。答案：有三个根，分别在4证明：当时，恒等式成立证：设当时，连续，当时，可导且即当时，即故当时，5设在上连续，在内可导，且，证明在内存在一点，使 证明：令，则在上连续，在内可导，且因，则即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在使又，即而，得6.

3、已知函数在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得证明：令，则在上连续，在内可导，且即在上满足罗尔定理的条件，则至少存在使又，即，故7.证明不等式：证明：设函数，不妨设，该函数在区间上连续，在上可导，由拉格朗日中值定理有，即，故，由于，所以有8.证明不等式：证明：设函数，在上连续，在内可导，满足拉格朗日定理条件，故，其中，因此有所以9.利用洛必达法则求下列极限：； 解：；解：；解：； 解： 解：； 解：； 解：； 解：；解：10.设函数，若在点处可导，求与的值。解：由于函数在处可导，因此函数在该点连续，由连续的概念有 ，即 按导数定义有 11.设函数，当为何值时，在点处连续。解：函数连

4、续定义， ，而； 即当时，函数在点连续。12.求下列函数的单调增减区间：； 解：，有驻点， 由于当时，此时函数单调减少； 由于当时，此时函数单调增加； 解：，令，有， 当时，此时函数单调较少；当时，此时函数单调增加； 当时，此时函数单调较少；当时，此时函数单调增加；解：，令，有，此外有原函数知， 当时，此时函数单调增加；当时，此时函数单调减少； 当时，此时函数单调减少；当时，此时函数单调增加；13.证明函数单调增加。证明：， 等号仅在成立，所以函数在定义区间上为单调增加。14.证明函数 单调减少。解：，等号仅在孤立点成立，所以函数在定义域内为单调减少。15.证明不等式：证明：设，在时，且，当时

5、，函数单调增加，因此；当时，函数单调减少，因此；所以对一切，且，都有，即16.证明：当时，解：设，当所以所以当所以所以17.证明：当时， 解：设，当所以，18.证明方程在内只有一个实根。证明：令，在上连续，且由零点定理存在，使，所以是方程在内的一个根。又因为，当时，函数单调递减，当时，当时，所以在内只有一个实根或用罗尔定理证明只有一个实根 。19.求下列函数的极值：； 解：，令，解出驻点为，函数在定义域内的单调性与极值见图表所示：00 单调增加极大7单调减小极小3单调增加； 解：，驻点为，函数的单调性与极值见表极小极大单调减小单调增加单调减少；解：，驻点为，二阶导数为，显然，函数在点取极小值，

6、在处取极大值。； 解：，函数在处不可导，以此点为界划分区间并给出函数单调性与极值。不存在单调增加极大3单调减少； 解：函数导数为，解出驻点为，不可导点为，函数在各个区间的单调性见表格所示。不存在0单调增加极大0单调减少极小单调增加解：，驻点为，不可导点为，划分区间并判断增减性与极值单调增加无极值单调增加单调减少极小单调增加 20. 设，求函数的极值，曲线的拐点。解：， 解出， ，极小值 ，解出，10+0y凸ln2凹ln2凸 拐点21.利用二阶导数，判断下列函数的极值：； 解：，驻点：，因此在点函数取极大值；，因此在点函数取极小值；解：，驻点为，由于，因此在处函数取得极小值。22.曲线过原点，在

7、点处有水平切线，且点是该曲线的拐点，求解：因为曲线过原点，有，在点处有水平切线，点是该曲线的拐点，又因为点在曲线上，联立方程组解出23.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：； 解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为， 比较上述函数值，知最大值为； 最小值为。；解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为，比较上述函数值，知最大值为；最小值为； 解：，令，得驻点为，计算出驻点处和区间端点处所有的函数值为，比较上述函数值，知最大值为；最小值为。解：，函数单调增加，计算端点处函数值为， 知最大值为；最小值为24.已知函数，在区间上的最大值为，最小值为，求的值。解

8、：，令，解出驻点为，且，因为，所以故为最大值，为最小值，即，解出。25. 欲做一个底为正方形，容积为的长方体开口容器，怎样做所用材料最省？解：设底面正方形的边长为，高为，则表面积为， 又体积为，有得，解出，即取底面边长为，高为时，做成的容器表面积最大。26.欲用围墙围成面积为的一块矩形土地，并在正中间一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：所用的建筑材料为，其中面积，因此有， ，解出，即当取宽为米，长为米时所用建筑材料最省。27.某厂生产某种商品，其年销量为万件，每批生产需增加准备费元，而每件的库存费为元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再

9、生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？解：设100万件分批生产，生产准备费及库存费之和为，则，解出，问5批生产，能使生产准备费及库存费之和最小。28.确定下列曲线的凹向与拐点：； 解：， 令凹小凸； 解：， 令凸拐点凹拐点凸；解：， 令不存在凹拐点凸； 解：，令凸拐点凹拐点凸拐点凹； 解：， 令凸拐点凹 解：，所以在内是凹的，无拐点。29.某化工厂日产能力最高为吨，每天的生产总成本（单位：元）是日产量（单位：吨）的函数：（1）求当日产量为吨时的边际成本；（2）求当日产量为吨时的平均单位成本。解：（1）边际成本， （2）平均单位成本，30.生产

10、单位某产品的总成本为的函数：，求（1）生产单位时的总成本和平均单位成本；（2）生产单位到单位时的总成本的平均变化率；（3）生产单位和单位时的边际成本。解：（1）， （2） （3）边际成本为， 31设生产单位某产品，总收益为的函数：，求：生产50单位产品时的总收益、平均收益和边际收益。解：总收益，平均收益，边际收益， 32.生产单位某种商品的利润是的函数：，问生产多少单位时获得的利润最大？解：，解出所以生产个单位时，获得的利润最大？33.某厂每批生产某种商品单位的费用为，得到的收益是，问每批生产多少单位时才能使利润最大？解：， 令，解出所以每批生产个单位时才能使利润最大。34.某商品的价格与需求

11、量的关系为，求（1）求需求量为及时的总收益、平均收益及边际收益；（2）为多少时总收益最大？解：总收益函数 平均收益函数，边际收益函数，（1）， ， (2) 解出时总收益最大。35.某工厂生产某产品，日总成本为元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元。该商品的需求函数为，求为多少时，工厂日总利润最大？解：成本函数，令，解得，所以，总利润最大。高二数学（文）选修1-1 导数及其应用 回扣练习一、 选择题1下列求导运算正确的是（ ） A、 B、C、 D、 2、已知函数f(x)=ax2c,且=2,则a的值为( )A0 B C1 D13函数的递增区间是（ ）A B C D4(200

12、9年广东卷文)函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 5已知是上的单调增函数，则的取值范围是( )A. B. C. D. 6设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）A B C D无法确定7函数单调递增区间是（ ）A B C D8函数的最大值为（ ）A B C D9函数在上 （ ）A是增函数 B是减函数C有最大值 D有最小值10函数有（ ）A、极大值5，极小值27 B、极大值5，极小值11C、极大值5，无极小值 D、极小值27，无极大二、 填空题11、函数y=的导数为_；12函数在区间上的最大值是 。13若在增函数，则的关系式为是 。14、曲线在点M(e,1)处的切线的方程为_；