反函数教学的思考与实践

1、反函数教学的思考与实践浙江省杭州市余杭区教育局教研室 陈朝阳（311100）内容提要：反函数作为中学数学的难点之一，如何教学才能使学生全面、完整、正确地理解，并能熟练地运用反函数的有关性质解题，本文提出一些建设性的意见，同时又指出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，提出矫正的方案。关键词：反函数、教学、图例、矫正反函数教学是中学数学的难点之一。如何使学生透彻地理解反函数的概念，能熟练地运用反函数的性质解题？作为教师在教学中要注意什么？怎样才能突破反函数的概念这一重要内容的教学，对学好“函数”这一单元至关重要。本文围绕反函数概念的教学和利用反函数的性质解题提出一些建设性的意见，同时指

2、出现行教材中范图范例可能使学生产生错误的几个问题，不当之处请批评指正。一、 反函数概念的教学概念教学的过程，应该包括三个基本步骤：概念的建立；概念的认识；概念的应用。这三个步骤，无论是对概念的理解，还是对形成数学能力都十分必要，不可缺少。1.1 关于概念的建立新课伊始，开宗明义：前面学习了映射与函数，认识到它们之间有非常密切的关系，函数是映射，对非空数集上的映射能确定函数，如果该映射存在逆映射，那么这个逆映射能否也确定一个新的函数。即 存在 映射 逆映射 （确定） （确定） 函数 函数 图一这里的函数与函数有怎样的关系？这个问题的提出，从理论体系的发展上展示了反函数概念产生的理论背景，整体性强

3、，能从理论体系的全局上打开学生的视野，而且明确的课题立刻抓住了学生的注意力。当然，这样的教学又涉及到映射，一一映射，逆映射等有关概念。在教学实践中，笔者以为还是采用83年版高级中学课本（甲种本）中反函数的定义为妥。因为采用现行高中数学（第一册（上）中的定义，当进一步学习反三角函数概念时常常使学生迷惑不解：被限制在（主值）区间上的函数y=sinx怎么会有反函数？因为这是个超越函数，如果把它看成关于x的方程，如何通过方程的同解变形由此反解出x=(y)呢？于是课本避开原来的定义从另外一个角度指出反函数的存在性。教材首先向学生展示了y=sinx的图像；接着“由图可以看到”：正弦函数在单调区间上，其定义

4、域和值域是一一对应的，就断言y=sinx在上有反函数，记作x=arcsiny。教材又以同样的方法引出了反余弦函数的概念。再说，从教材体系的安排来看，课本在围绕反函数定义，配备相应的例题、习题时，强调的是y=f(x)通过方程的变形能反解出x=(y)；但在将反函数概念运用到反三角函数时，强调的是原来函数的定义域与值域必须一一对应。其实，前者不是反函数存在的实质，后者才是反函数的本质。从映射的观点来看，反函数存在的本质是两个非空数集间一一映射的存在。既然教材用映射定义了函数，就可顺势用一一映射来定义反函数。如果这样，反三角函数概念的引入就顺乎自然、一脉相承了。从另一个意义上讲，映射作为近代数学的重要

5、思想，十分有必要渗透于现行教材，但渗透不等于插叙，而应尽可能融进有关章节。映射、一一映射的观点在反函数教学中的再一次应用，显然有利于中学生接受这个近代重要的数学思想。1.2 关于概念的认识概念定义了，但不等于认识了。为了全面、完整、准确地认识反函数定义，需要对它的内含再作深入地分析。1.2.1 先具体地研究一个实例，提供一个直观背景，既复习建立反函数将要用到的一系列概念，又使学生具体地感受到后述的“两个相反”，使认识得以升华的基础。进而把函数叫做函数的反函数，就不仅十分自然，顺乎情理，而且对反函数的认识有了感性的体验。0xy图二实例：如图二，已知函数（1） 写出确定函数的映射（2） 这个映射存

6、在逆映射吗？f:AB是一一映射，从而它存在逆映射（3） 写出这个逆映射（4） 写出这个逆映射所确定的函数至此，函数找到了，要研究它与的联系，我们先就定义域、值域和对应法则（也即函数三要素）这三个方面入手。从图一与图二可以看出，函数与分别是由映射和它的逆映射所确定的。因而函数的定义域与值域恰是函数的值域与定义域，也就是说，函数的定义域与值域恰与函数的定义域与值域“相反”，同时函数的对应法则也恰与函数的对应法则“相反”，根据这两个相反，数学上把函数叫做函数的反函数。1.2.2 定义的结构特征和本质这个定义与前面刚学过的函数的“单调性”、“奇偶性”的定义不同，那里讲的是同一个函数性质上的特征集中表现

7、在x、y的对应特点上。这里讲的是两个函数与的关联，并且是通过确定它们的映射来讲的，也就是说：这个定义涉及到两个函数，两个映射，本质是通过两个互逆的映射来揭示两个函数之间的关系。对于具有这种结构特征的定义，我们把它放在概念体系中去认识、去分析，往往能够看得更加透彻。这是认识这类定义的一个指导思想。1.2.3 反函数存在的条件定义中的“若”讲的是反函数存在的条件，从图一可以看出：存在逆映射存在映射是一一映射，于是得到了结论1 f(x)存在反函数确定f(x)的映射是一一映射。结论2 若f(x)存在反函数，则f(x)与互为反函数。1.2.4 反函数的求法定义中“则这个”讲的是命题的结论反函数是由逆映射

8、所确定的函数，这个结论为反函数的求法指出了具体途径，这是因为逆映射一旦求出，反函数也就唾手可得，事实上：反函数的定义域就是逆映射的出发集。反函数的对应法则就是逆映射的对应法则。从而反函数的求法可归结为逆映射的求法（这在前面已经解决）。即使学生意识到：反函数的存在性逆映射的存在性；反函数的求法逆映射的求法。通过上述分析，新旧知识融会贯通，对新知识的理解大大深化，原来反函数的概念就是给起了一个“新的名字”叫做f(x)的反函数，其余的在理论体系中我们早已解决了。应该提出：这里分析问题所用的方法是“系统分析法”，即把被分析的对象放在系统中去考察，着重揭示对象所处的位置以及对象与其他事物之间的联系。这种

9、分析方法一旦化作学生的自觉行动，就会形成一种认识能力。有了这种能力，就能既减轻学习负担，又能提高学习质量，这就是为什么高中阶段十分强调知识结构的缘由。1.3 关于概念的初步应用在概念的简单应用时，先给出求反函数的规范表达，并指出容易出现的失误点，对提高作业的正确率和进一步理解概念有很大的帮助。例如：已知函数 ，问这个函数是否存在反函数？为什么？若限定函数的对应法则不变，值域为，适当地选取定义域，能否使它存在反函数？这样的有几个？求出相应的反函数。这里题使学生进一步理解反函数的概念，强化一一映射。题为将来建立反三角函数作准备。当取时，略解如下：准备 （作为求反函数的准备，写出f(x) 的定义域、

10、值域十分必要）解出 ， （这里负号由x的范围而定）改写 ， （x与y的字母互换）结论 ， （这里f(x)的反函数用表示）再如：设，则函数在其定义域上的映射是一一映射，故其反函数存在。反函数为， .这里强调反函数的定义域不同于由它的解析式确定的x 允许取值范围。当函数y=f(x)的定义域与由它的解析式确定的x的允许取值范围相同时，其反函数的定义域与它的解析式确定的x的允许取值范围也不一定相同。如函数有反函数，但反函数的定义域是，而不是它的解析式确定的x的允许取值范围R。简言之，这里要使学生明确反函数的定义域是由原函数的值域所确定。因而由反函数的解析式中求变量的允许值范围决不是原函数的值域。故散见

11、于各种参考书和数学期刊的所谓用“反函数法值域”的观点是错误的，应予更正。二、 课本图例可能引起的误解及矫正11YOXy =xy =3x-2图三11YOX-1-1图四众所周知，课本是教与学的范本，它所选用的范图、范例，本应周全、规范、完整，才能给教与学以正确的指导。否则，就失去其应有的作用，甚至产生不良影响。在“互为反函数的图象间的关系”这一内容教学中，课本的图例所示的两对互为反函数的图象均相交于对称轴上y=x。如图三，图四 这样给学生一个直观印象，“互为反函数的两函数图象如果有交点，那么交点在直线y=x上”,从而它们的交点坐标必为(a,a)的形式。有的学生，甚至在一些刊物的文章中对其毫无置疑地

12、加以应用。基于这一错误的印象，对下例：已知：函数，则它和其反函数二者图象的交点坐标为 D（2，1）学生几乎不假思索就选（B），而正确答案却是（D）。 这里，还有这样的一个错误观点：若所给方程f(x)=g(x)的两边f(x)与g(x)恰为互为反函数，则f(x)或g(x)的图象与对称轴y=x的交点横坐标便是原方程的全部实根。若据此求解，必然会使一部分方程失去可能存在于y=x之外的交点所对应的那些实根。例如：求函数与其反函数图象的交点解：的反函数是，设是所求交点，则也是其交点，有解此方程得或或考虑到x0 y0应属于的定义域与值域的交集 应舍去，所求交点为，P2（1，2）P3（2，1）显然P1在直线y

13、=x上，而P2、P3是关于直线y=x对称的交点，它们均不在直线y=x上。如果得用二图象交点必在直线y=x上，由方程组解出交点，就漏掉不在直线y=x上的另外两个交点。据此，我们给出下面结论：定理1： 设y=f(x)有反函数，在同一直角坐标系内它们的图象分别为C、。若C（或）有关于直线y=x对称的点、，则、都是C与的交点；反之，若是是C与的交点，则也是C与的交点。证明：设y=f(x)的图象C上有关于直线y=x的对称点、，则与，又由和及反函数定义得与，、和、分别说明点、既在C上，又在上。故、都是C、的交点。反之，C、有交点，即有、，由与反函数定义，有成立。式说明关于直线y=x的对称点也在C上。推论1

14、 若C、相交，且C（或）关于直线y=x无相异（即不重合）的对称点，则交点一定在直线y=x上；若C（或）关于直线y=x有相异对称点，则C、的交点不在直线y=x上。推论2 若 是C、的交点，则。 （其中G是y=f(x)（或）的定义域A与值域B的交集。）定理2 增函数与其反函数二者图象若相交，则其全部交点都在直线y=x上。证明：设是y=f(x)与的图象的交点，由定理1，与都在的y=f(x)图象上，故，。如果，不妨设，由y=f(x)是增函数得，即这与矛盾。所以, 即交点一定在直线y=x上。定理3 减函数与其反函数二者图象若相交，则直线y=x上有且只有一个交点。若有其余交点，则分别两两关于直线y=x对称

15、。证明 互为反函数的二者图象若相交，则任一图象均与直线y=x相交，否则二者分居对称轴两侧。设减函数y=f(x)图象与y=x的一个交点为（a,a），异于该点的任一交点（），则有f(a)=a,。设，则由f(x)是减函数得，即，这与矛盾，a；同理a；故=a，即f(x)图象与直线y=x仅交于一点（a,a），再由对称性知图象也仅交直线y=x于一点（a,a），这就说明f(x)与二者图象在直线y=x有且只有一个交点。结论的后半部分由对称性显然成立。因此，在解有关问题时，必须要求学生首先分清所给函数是某区间上的增函数还是减函数，而后按上述定理2、定理3分别处理，方能不致出错。YOXy=xy= -x3y= -3

16、x图五就课本范图来讲，笔者以为保留课本的图三（即增函数及其反函数的图象）而将图四了改为减函数及其反函数的图象（如图五所示）。这样便概括图示了上述结论。有利于学生对互为反函数二者图象不同情况的全面直观的认识。三、反函数的性质及其应用。反函数有下列重要的性质：1、函数y=f(x)的定义域A与值域B分别是其反函数y=的值域A和定义域B。2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x成轴对称图形。3、若函数是奇函数，且存在反函数，则其反函数也为奇函数，反之亦然。4、函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。5、理解掌握这些性质，对提高解题速度有很大的帮助。例1：设函数y=f(x)的反函数为y=g(

17、x)，求y=f(-x)的反函数。解：函数y=f(-x)中，x为自变量，y为函数，将函数改写成y表示x的形成得-x=。这里y为自变量x为函数，将x与y互换，仍用x表示自变量，y表示函数得-y=，即y=-。 由已知y=f(x)的反函数为y=g(x) 即于是，所以y=f(-x)的反函数为y=-g(x)。例2 已知 求实数a 解：由已知，函数的反函数是它本身，则定义域和值域相同。 而函数定义域为 又函数值域为 显然-a=2 充分利用反函数的性质，有时可回避求反函数，优化解题过程，快速解决问题。 例3 已知函数 求f(x)的定义域；f(x)的反函数 解令，代入得 又 故f(x)的定义域为由得 例4、讨论函数-x的单调性 解：易知函数的定义域为R，值域为，且它的反函数是由在上是减函数知，上是减函数，而互为反函数有相同的单调性知-x在R上是减函数。 例5、已知分析：函数仅表示将函数中的x,用来代替而得到的解析式，因此，求时，应先求出，再将其中的x用代替。解： 令得注意：防止把当作是的反函数。 例6、设解方程组 解：先将原方程组等价变形为 显然可视为互为反函数，其图象均为直线且关于直线y=x对称。 若函数所表示的直线关于直线y=x有相异的对称点 由定理1 所表示的直线也过。