数学分析14无穷小量与无穷大量

1、无穷小量与无穷大量教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim an 0 . 我们称之为无穷小数n列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如：limsin x0, lim x20,x 0x 0我们给这类函数一个名称“无穷小量”。既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ” 有哪些性质呢？以上就是我们今天要给

2、大家介绍的内容无穷小量与无穷大量。一、无穷小量1定义 ：设在某 U 0 ( x0 ) 内有定义。若 limf (x)0 ，则称为当 xx0 时的无穷小量。记作：x x0f (x)0(1)(xx0 ) .（类似地可以定义当x x0, x x0 , x, x, x时的无穷小量） 。例： xk (k 1,2,),sin x,1cos x 都是当 x0 时的无穷小量；1x 是当 x1 时的无穷小量；1 sin x, 是 x时的无穷小量。x 2 x2无穷小量的性质（）先引进以下概念定义 （有界量 ）若函数在某 U 0 (x0 ) 内有界，则称为当 xx0 时的有界量，记作：g( x)O(1)(x x0

3、) .例如： sin x 是当 x时的有界量，即sin x O(1)(x) ; sin1 是当 x0 时的有界量，即sin 1xO (1)(x 0) .x注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f ( x)0(1)(x x0 ) ，则 f (x)O(1)(xx0 ) .区别 ：“有界量 ”与“ 有界函数 ”。一般在谈到函数是有界函数或函数是有界的，意味着存在，在定义域内每一点，都有| f (x) | M 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（）性质性质两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质无穷小量与有界

4、是的乘积为无穷小量。性质 lim f ( x) Af ( x) A 是当 xx0时的无穷小量 lim( f ( x) A) 0 .x x0x x0例如； lim x2 sin 10 ， lim( x2x3 )0,lim x sin x0 .x0xx0x 0问题 ：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：lim x20,limx?,lim x21,lim sin x1,lim2x2 2 .x 0 xx 0 x2x 0 x2x 0xx 0 x2引申 ：同为无穷小量， limx20，而 limx 不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。这个“级x 0xx 0x2别”表现在收敛于（或趋

5、近于）的速度有快不慢。就上述例子而言，这个“级别”的标志是的“指数”，当 x0 时，的指数越大，它接近于的速度越快。这样看来，当x0 时，的收敛速度快于的收敛速度。所以其变化结果以为主。此时称是（当x0 时）的高阶无穷小量，或称x0 时， 是的低阶无穷小量。一般地，有下面定义：无穷小量阶的比较（主要对xx0 叙述，对其它类似）设当 xx0 时， f , g 均为无穷小量。（）若 limf ( x)0，则称xx0 时为的高阶无穷小量，或称为的低阶无穷小量，记作x x0 g( x)f ( x) 0(g( x)( xx0 ) . 即 f ( x)0(g( x)( xx0 ) limf (x)0 .g

6、( x)xx0xk11cos xx例 lim0 xk 10( xk )( x01 cos x0(sin x)( x 0) .0) ， limsin xlim tanx 0xkx 0x02问题 lim 1x2lim(1x)0 ，此时是可说 1x20(1x)( x1) ？x1 1xx1引申与上述记法： f ( x)0(g( x)( x x0 ) 相对应有如下记法：f ( x) O( g( x)( xx0 ) ，这是什么意思？含义如下：若无穷小量与满足关系式f ( x)L, xU 0 (x0 ) ，则记作 f (x)O( g( x)( xx0 ) .g (x)例如，（） 1cos xO ( x2 )

7、( x0) ， x(2sin x )O( x)( x0) .2（）若 f (x)0(g(x)( xx0 ) f ( x)O(g ( x)( xx0 ) .注等式 f ( x) 0( g( x)( xx0 ) ， f ( x)O( g(x)( xx0 ) 等与通常等式的含义不同的。这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数），而中间的“”叫的含义是“”。例如：1cos x0(sin x)( x0)， 其 中 0(sin x)f | limf (x)0 ，而上述等式表示函数x0g (x)1c oxsf | limf (x)0 。为方便起见，记作1cos x0(sin x).g( x)x0

8、（）若存在正数和， 使得在某 U 0 ( x0 ) 上有 Kf ( x)L ，则称与为当 xx0 时的同阶无g( x)穷小量。但 需 要 注 意 ： limf ( x)不存在，并不意味着与不全为同阶无穷小量。如x0g ( x)sin 1 )x(2sin1)sin 1 ) 不存在。但 1x(2sin 1 )lim xlim x(20 ， limxlim(2x3，所x 0x0xx 0xx 0xx以与 x(2sin 1 ) 为当 x0时的同阶无穷小量。x由上述记号可知：若与是当xx0 时的同阶无穷小量，则一定有：f ( x)O( g( x)( xx0 ) 。（）若 limf ( x)1 ，则称与是当

9、xx0 时的等价无穷小量，记作f ( x)g ( x)( xx0 ) .x x0g ( x)例如：）sin xsin xx( x0) ;） lim2(1 cos x)1 cos xx20) .lim121( xx 0xx 0x2对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。定理设函数、在 U 0 ( x0 ) 内有定义，且有 f ( x)g( x)( x x0).(1) 若 lim f ( x)h(x)A ，则x x0lim g( x) h( x)A ； (2)若 lim h( x)B, ，则 lim h( x)B.x x0xx0 f ( x)x

10、 x0 g( x)例 求 limarctgx.x x0 sin 4x例 求极限 limtgxsin xsin x3.x x0注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代 , 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。无穷小量比较。两个无穷小量可比较的特征其商是有界量。但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如 lim x sin 1lim x20 .x x0xx x0二、无穷大量问题 “无穷小量是以为极限的函数” 。能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数”。答：按已学过的极限的定义

11、，这种说法是不严格的，讲为函数f ( x) 当 xx0 时的极限，意味着是一个确定的数，而“”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。所以不能简单地讲“无穷大量是以为极限的函数” 。但是，确实存在着这样的函数，当x x0 时， f ( x) 与 ( or) 无限接近。例如：） f ( x)1，当 x0 时，1 与越来越接近，而且只要与充分接近，1 就会无限增xxx大；） f (x)1，当 x1时，也具有上述特性。x1在分析中把这类函数f ( x) 称为当 xx0 时有非正常极限。其精确定义如下：非正常极限定义 （非正常极限 ）设函数 f ( x) 在某 U 0 (x0 ) 内有定义，若对任给的0，存

12、在0 ，当x U 0 (x;)( U0( x )时 有 | f (x ) | M ， 则 称 函 数 f ( x)当 xx0时有非正常极限，记作00lim f ( x)。x x0注：）若“ | f (x) | M ”换成“f ( x)M ”，则称 f ( x) 当 xx0 时有非正常极限；若换成f ( x)M , 则称 f ( x) 当 xx0 时有 非正常极限 ，分别记作 lim f ( x), limf ( x).xx0x x02)关于函数在自变量的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列an当 n时的非正常极限的定义，都可类似地给出。例如：limf ( x)M0 ，当 xM 时， f (

13、x)M ;xlim anM0 ，N0 ，当 nN 时， anM .n无穷大量的定义定义 对于自变量的某种趋向（或n），所有以,or为非正常极限的函数（包括数列），都称为 无穷大量 。例如： 1当 x0 时是无穷大量；ax (a1) 当 x时是无穷大量。x2注：）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;）若为 xx0 时的无穷大量，则易见为 U 0 ( x0 ) 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。例如；f ( x) x sin x 在 U () 上无界，但 lim f (x);）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定义高x阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。

14、利用非正常极限定义验证极限等式例证明 lim1.x 0x2例证明；当 a1时， lim ax。x三、无穷小量与无穷大量的关系定理（）设在 U 0 ( x0 ) 内有定义且不等于，若为当xx0 时的无穷小量，则1f为 xx0 时的无穷大量；（）若为 xx0 时的无穷大量，则1 为 xx0 时的无穷小量。g四、曲线的渐近线引言作为函数极限的一个应用。 我们讨论曲线的渐近线问题。由平面解析几何知： 双曲线 x2y21有两条a2b2渐近线 xy0 。那么，什么是渐近线呢？它有何特征呢？ab曲线的渐近线定义定义 若曲线上的动点沿着曲线无限地远离原点时，点与某实直线的距离趋于零，则称直线为曲线的渐近线。形如 ykxb 的渐近线称为曲线的斜渐近线；形如xx0 的渐近线称为曲线的垂直渐近线。曲线的渐近线何时存在？存在时如何求出其方程？（）斜渐近线假 设 曲 线 yf ( x)有 斜 渐 近 线 y kx b，曲线上动点到渐近线的距离为|PN | PM cos | f ( x)(kx1依渐近线定义，当x时（ x或 x类似），b) |1k 2|PN |0 ，即有 lim f (x)( kxb) 0lim f (x)kxb ，xx又由lim f (x)xx由上面的讨论知，若曲线klim 1 f ( x) kx0