初中函数概念

1、.函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量， y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系

2、，这种表示法叫做列表法。（ 3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。一次函数和正比例函数1、一次函数的概念：一般地，如果ykxb （k， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地，当一次函数ykxb 中的 b 为 0 时， ykx （ k 为常数， k0）。这时， y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数、正比例函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线一次函

3、数 y kxb( k 0) 的图像是经过点（0， b）的直线 ( b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距 ) ；正比例函数 ykx 的图像是经过原点（0， 0）的直线。3、斜率：y2y1k tanx2x1直线的斜截式方程，简称斜截式: y kx b( k 0)由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:yA( x1,y )1P(x0 y0)y=kx+bdB( x2,y2)by kx b (tan ) x by2y1 x( x x1 ) y1ax2x10x由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab设两条直线分别为， l1 ： yk1

4、 x b1l2 ： yk 2 xb2 若l1l 2k 1k 21若 l 1 / l 2 ，则有 l1 / l 2k1 k2 且 b1b 2 。YA点 P（ x0，y0）到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0)的距离 :kx0y0bkx0y0bd1) 2k 2;.k 2(1.4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）XB如图：点 A 坐标为（ x1， y1）点 B 坐标为（ x2， y2 ）则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为x1 x22y1 y225、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式ykx （ k0

5、）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 y kx b （ k0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。6、（1）一次函数图象是过两点的一条直线， |k|的值越大，图象越靠近于y 轴。（2）当 k>0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；（3）当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；（4）当 b>0 时，与 y 轴的交点（ 0， b）在正半轴；当 b<0 时，与 y 轴的交点 (0,b)在负半轴。当b 0 时，一次函数就是正比例函数，图象是

6、过原点的一条直线（5）几条直线互相平行时， k 值相等而 b 不相等。;.反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数yk （ k 是常数， k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y kx 1 的形式。自变x量 x 的取值范围是x0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成xy=k(k是常数， k0)反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k ，因为 k 为常数， k0，两个变量的积是定值，所以y 与 x 成反比变化，而正比例函数y=kx(k 0) 是正比例关系：由y =k (k 0) ，因为 k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。y= k (k 0) 的图象的

7、画法x2、反比例函数画图方法：描点法。x由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意： k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。 k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。 ( 在每一象限内，从左向右上升 ) 因此，它的增减性与一次函数相反反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。特点： y= k =kx- 1(k 0) 中， x0，y0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近x 轴、 yx轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。3、反比例函数的性质和图像反比例yk (k 0)函数xk 的符k

8、>0k<0号yy图像OxOx x 的取值范围是x0， x 的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；y 的取值范围是y0；性质当 k>0 时，函数图像的两个分支分别当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y在第二、四象限。在每个象限内，y随 x 的增大而减小。随 x 的增大而增大。4、反比例函数解析式的确定k确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。5、反比例函数中反比例系数的几何的意义如下图，过反比例函数yk (k 0) 图像上任一点 P

9、 作 x 轴、 y 轴的垂线 PM， PN，则所得的矩形 PMON 的面积x;.S=PM ? PN= y ? xxyykxyk , Sk,x二次函数1、二次函数的概念：一般地，如果y ax 2bxc(a, b, c是常数， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。y ax 2bxc(a, b,c是常数， a0) 叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于3、二次函数图像的画法五点法：xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线yax 2bxc 与坐标轴的交点：当抛物线与x

10、轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法y 轴的交点C，再找到点C 的对称点 D 。将这五个C 及对称点 D。由 C、M 、 D 三点可粗略地画出二 A 、 B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像b2b 2b4acb2b（ 1）公式法：y ax24ac，顶点是（bx c a x4a2a，），对称轴是直线 x2a4a2a（ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析

11、式化为ya x h 2k 的形式，得到顶点为( h , k ) ，对称轴是直线xh .（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点 ( x1 , y)、(x2 , y) （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为：x1 x2x25. 抛物线 y ax 2bx c 中， a,b, c 的作用（ 1） a 决定开口方向及开口大小当a0 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当a0 时，抛物线开口向下；顶点为其最高点。a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. a 越大，图像开口越小，a 越小，图像开口越大。 平行于 y 轴（或重合）的直

12、线记作xh . 特别地， y 轴记作直线 x0 .（ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bx c 的对称轴是直线xb ， b2a故： b0 时，对称轴为 y 轴；0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ba0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧 .a（ 3） c 的大小决定抛物线 y ax 2bxc 与 y 轴交点的位置 . 当 x 0时， y c ，抛物线 yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）： c 0，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 .;.以上三点中，当结

13、论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0 .a6、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式： y ax 2bx c(a,b, c是常数， a 0)（2）顶点式：ya( xh) 2k(a, h, k是常数， a0)（3）交点式：当抛物线 y ax 2bxc与 x 轴有交点时，即对应二次好方程ax 2bxc 0 有实根 x1和 x2 存在时 ， 根 据 二 次 三 项 式 的 分 解 因 式 ax 2bxc a( x x1 )( x x2 ) ， 二 次 函数 yax2bx c 可 转 化 为 两 根 式y a( x x1 )( x x2 ) 。如果没有交点，则不能这样表示。

14、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标yax 2x0 （ y 轴）（0,0）当 a 0 时yax2k开口向上0（ y 轴）(0,k )x当 a 0 时ya xh 2开口向下xh( h ,0)ya xh 2kxh(h,k)yax 2bxcxb(b4acb22a，)ya( xb)24acb22a4a2a4a7、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 xb时，y最值4ac b2。2a4a如果自变量的取值范围是x1xx2 ，那么， 首先要看bx1xx2 内，若在此范围内，是否在自变量取值范围2a则当 x=b时， y最值4a

15、cb 2；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1x x2 范围内的增减性，如果在此范围2a4a内， y 随 x 的增大而增大，则当内， y 随 x 的增大而减小，则当8、二次函数的图象函数xx2 时， y最大ax 22bx2c ，当 xx1 时， y最小ax12bx1c ；如果在此范围xx1 时， y最大ax12bx1c ，当 xx2 时， y最小ax22bx2c 。二次函数 yax 2bxc(a, b, c是常数， a0)图像a>0a<0;.yy0x0x1（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（ 2）对称轴是 x=b（ 2）对称轴是 x=b

16、，2a2a顶点坐标是（b， 4acb2）；顶点坐标是（b ， 4acb2）；2a4a2a4a（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b（ 3）在对称轴的左侧，即当x<b时， y 随 x时， y 随 x2a2a性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当的增大而增大；在对称轴的右侧，即当b时， y 随 x 的增大而增大，简记左减bx>x>时， y 随 x 的增大而减小，简记左2a2a右增；增右减；（ 4）抛物线有最低点，当x=b（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最小时， y 有最2a2a值， y最小值4ac b 2大值， y最大值4acb 24a4a9. 抛物线的交点（ 1）

17、 y 轴与抛物线yax2bxc 得交点为 (0,c ).（ 2）抛物线与x 轴的交点：二次函数yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、 x2 ，是对应一元二次方程 ax 2bxc0 的 两 个 实 数 根 . 抛 物 线 与 x 轴 的 交点 情 况 可 以 由 对 应 的一 元 二 次 方 程 的 根 的 判 别 式b24ac 判定：有两个交点(0 )抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）(0 )抛物线与 x 轴相切；没有交点(0 )抛物线与 x 轴相离 .（ 3）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（ 2）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是 ax 2bxck 的两个实数根 .（ 4 ） 一 次 函 数 ykxn k0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 yax 2bxc a0 的 图 像 G 的 交 点 ， 由 方 程 组;.ykxn的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方程