第7章采样控制系统分析基础2

1、第七章 采样控制系统分析基础 7.4 脉冲传递函数脉冲传递函数一、脉冲传递函数的基本概念一、脉冲传递函数的基本概念 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。( )( )( )Y zG zR z第七章 采样控制系统分析基础 应该指出，多数实际采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采输出端虚设一个采样开关样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。 这样就可以沿用脉冲传递函数脉冲传递函数的概念。第七章 采样控制系统分析基础 脉冲传递函数脉冲传递函数和连续系统的传递函数连续系统的传递

2、函数一样表征了采样系统的固有特性固有特性； 它除了与系统的结构、参数有关系，还与采采样开关在系统中的具体位置有关样开关在系统中的具体位置有关。第七章 采样控制系统分析基础 1、两个环节有采样开关时、两个环节有采样开关时tr* sG1trty*1ty1 sG2ty*ty12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z 当环节之间有采样开关环节之间有采样开关时，等效脉冲传递函数等效脉冲传递函数为各串联环节脉冲传递函数之积为各串联环节脉冲传递函数之积。二、串联环节的脉冲传函二、串联环节的脉冲传函根据脉冲传递函数的定义：第七章 采样控制系统分析基础 2、两个环节没有采样开关时、两个环

3、节没有采样开关时)()()(2121zGzGzGGtr* sG1tr sG2ty*ty 当串联环节之间无采样开关无采样开关时,系统脉冲传递函数为各串联环节传递函数乘积的各串联环节传递函数乘积的z变换变换。12( )( )( )( )Y zG zGG zR z第七章 采样控制系统分析基础 3、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数、有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 a) tr* tr G s ty* ty h1 eTsG ssb) tr*1 tr ssG ty* tyeTs有零阶保持器时的开环采样系统 第七章 采样控制系统分析基础 有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数)()1 ()()()(1

4、ssGZzzXzYzGp第七章 采样控制系统分析基础 三、闭环系统的脉冲传递函数三、闭环系统的脉冲传递函数 tr ty* ty sG2 sH td te te* td* sG112( )( )( )( )( )( )E zR zB zB zE z GG H z12( )( )1( )R zE zGG H z第七章 采样控制系统分析基础 121212( )( )( ) ( )( )1( )GGzY zGGz E zR zGG H z闭环系统的误差脉冲传递函数 12( )1( )( )1( )eE zG zR zG G H z闭环系统脉冲传递函数为12B12( )( )( )( )1( )G Gz

5、Y zGzR zG G H z系统输出第七章 采样控制系统分析基础 当系统有扰动作用时当系统有扰动作用时 ,可得闭环系统的误差误差与扰动扰动间的脉冲传递函数脉冲传递函数为 212( )( )( )1( )G H zE zD zGG H z 系统输出系统输出与扰动扰动之间的脉冲传递函数脉冲传递函数 122212( )( )( )( )( )1( )GG z G H zY zG zD zGG H z由于系统中有采样器的存在，所以一般情况下 ( )( )1( )1( )G zG sZG zG s第七章 采样控制系统分析基础 对于有些采样控制系统采样控制系统，无法写出闭环脉冲传递函数只能写出输出的输出

6、的Z变换变换 sG sY sH sR sG1 sYsH sRsG2 1RG zY zHG z 12121RGz GzY zGG H z第七章 采样控制系统分析基础 1）稳定性的基本概念）稳定性的基本概念 稳定性是指在扰动的作用下，系统会偏离原来的平衡位置，在扰动撤除后，系统恢复到原来平衡状态的能力； 根据稳定性的定义，可以采用脉冲响应脉冲响应的情况来研究系统的稳定性；7.5 采样控制系统的性能分析采样控制系统的性能分析 7.5.1 采样控制系统的稳态性能分析采样控制系统的稳态性能分析第七章 采样控制系统分析基础 系统的脉冲响应如果能够衰减到0，则系统是稳定的； 否则系统是不稳定的。第七章 采样

7、控制系统分析基础 Z变换称为采样拉氏变换采样拉氏变换, 它是从拉氏变换直接引申出来的一种变换方法。 为了把连续系统在为了把连续系统在s平面上分析稳态性能的结平面上分析稳态性能的结果移植到果移植到z平面上分析离散系统的稳态性能平面上分析离散系统的稳态性能,首先需要研究这两个复平面的关系。 2） s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系第七章 采样控制系统分析基础 S平面的左半平面 ，z的幅值在0和1之间变化，对应z平面单位圆内； S平面的虚轴 ，对应z平面的单位圆； 当 由 变到 时，jsezTs,sTTzez2arg,00z2s2s第七章 采样控制系统分析基础 图图 s平面上虚轴在平面上虚

8、轴在z平面上的映像平面上的映像 js平面Tj0TTImz平面Re101Tj第七章 采样控制系统分析基础 对于采样控制系统, 其特征方程式为 1+GH(z)=0 系统的特征根为z1,z2, , zn即为闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数的极点的极点。3）稳定条件）稳定条件第七章 采样控制系统分析基础 根据以上分析可知, 闭环采样系统稳定的充闭环采样系统稳定的充分必要条件是分必要条件是: 系统特征方程的所有根均分布在系统特征方程的所有根均分布在z平面的单位圆内平面的单位圆内, 或者所有根的模均小于或者所有根的模均小于1, 即即|zi|1(i=1, 2, , n)。 第七章 采样控制系统分析基础 对于

9、线性采样系统线性采样系统, 不能直接应用劳斯判据, 因为劳斯判据只能判断系统特征方程式的根是否只能判断系统特征方程式的根是否在在s平面虚轴的左半部平面虚轴的左半部, 而采样系统中希望判别的是特征方程式的根是否在z平面单位圆的内部平面单位圆的内部。4 4）线性采样系统线性采样系统劳斯判据劳斯判据第七章 采样控制系统分析基础 因此, 必须采用一种,使z平面上的单位圆映射为新坐标系的虚轴。这种坐标变换称为双线性变换双线性变换, 又称为W变换变换。11wwz则 11zzw 注意, 因z=eTs是超越方程超越方程, 故不能将特征方程式变换为代数方程。令 第七章 采样控制系统分析基础 令复变量 z=x+j

10、y w=u+jv 代入双线性变换公式得 2222) 1(2) 1(11yxyjyxjyxjyxjvu对于对于w平面上的虚轴平面上的虚轴, 实部实部u=0, 即即 x2+y2-1=0 这就是z平面上以坐标原点为圆心的单位圆单位圆的方程。单位圆内x2+y21, 对应于w平面上u为负数的虚轴左半部虚轴左半部; 单位圆外x2+y21, 对应于w平面上u为正数的虚轴右半虚轴右半部。部。 第七章 采样控制系统分析基础 u ju平面wz平面xy j z平面上单位圆内(x2+y21)对应着w平面实部为负数的左半平面。z平面上单位圆外(x2+y21)对应着w平面实部为正数的右半平面。z平面与w平面的映射关系所示

11、。第七章 采样控制系统分析基础 例例 7-10 判断图7-17所示系统在采样周期T=1s和T=4s 时的稳定性 图 7-17 采样系统 第七章 采样控制系统分析基础 解解 开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数为 )(1() 1()(1()(1) 1()1 (1111)1 () 1(1)1 () 1(11)(221212TTTTTsTsezzzezzezTezzzzzTzzsssZzsseZssseZzG第七章 采样控制系统分析基础 闭环传递函数为 )(1)()(zGzGzGc闭环系统的特征方程为 0) 1()(2zezTT即 z2+(T-2)z+1-Te-T=0 当T=1 s时, 系统的特征方程为

12、 z2-z+0.632=0 第七章 采样控制系统分析基础 直接解得极点为z1,2=0.5j0.618。由于极点都在单位圆内, 所以系统稳定系统稳定。 当T=4s时, 系统的特征方程为z2+2z+0.927=0 解得极点为z1=-0.73, z2=-1.27。有一个极点在单位圆外, 所以系统不稳定系统不稳定。 第七章 采样控制系统分析基础 从这个例子可以看出, 一个原来稳定的系统, 如果加长采样周期采样周期, 超过一定程度后, 系统就会不稳定。通常, T越大, 系统的稳定性就越差。 第七章 采样控制系统分析基础 图 7-18 采样系统 R(s)T)4( ssKC(s) 例例 7-11 设采样系统

13、如图7-18所示, 采样周期T=0.25s, 求 能使系统稳定的K值范围。 第七章 采样控制系统分析基础 解解 开环脉冲传递函数为 )(1(14144114)4()(444TTTezzeKezzzzKssKZssKZzG闭环传递函数为 )(1)()(zGzGzGc第七章 采样控制系统分析基础 闭环系统的特征方程为 0)1 (4)(1()(144zeKezzzGTT令 ,25. 0,11sTwwz代入上式得 011158. 0368. 011111wwKwwww第七章 采样控制系统分析基础 整理后可得 0.158K2+1.264+(2.736-0.158K)=0 劳斯表为 w2 0.158K 2

14、.736-0.158Kw1 1.264w0 0 2.736-0.158K 要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 即 0.158K0 和 2.736-0.158K0 所以使系统稳定的K值范围是0K17.3。 第七章 采样控制系统分析基础 开环增益开环增益K和采样周期采样周期T对采样系统稳定性稳定性有如下影响：(1)采样周期T一定时，增加开环增益K会使采样系统稳定性变差，甚至使系统不稳定。(2)开环增益K一定时, 采样周期T越长，丢失的信息越多，对采样系统稳定性及动态性能均不利，甚至使系统不稳定。第七章 采样控制系统分析基础 5）数字控制系统的稳态误差）数字控制系统的稳态误差 图 单位

15、反馈采样控制系统 R(s)TG(s)C(s)E(s)E*(s)第七章 采样控制系统分析基础 与连续系统类似, 系统的误差 )()(11)(zRzGzE设闭环系统稳定闭环系统稳定, 根据终值定理终值定理可以求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差终值稳态误差终值 )()(11) 1(lim)(lim1zRzGzteeztsr第七章 采样控制系统分析基础 在连续系统中在连续系统中, 如果开环传递函数G(s)具有个s=0的极点, 则由z=eTs可知相应G(z)必有个z=1的极点。 把开环传递函数开环传递函数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别系统型别的标准, 并分别把=0, 1, 2, 的系统称

16、为0型、型和型系统等。 第七章 采样控制系统分析基础 同样, 在离散系统中离散系统中, 也可把开环传递函数开环传递函数G(z)具有z=1的极点数的极点数作为划分系统型别的标准, 分别把G(z)中=0, 1, 2, 的系统称为0型、型和型(离散)系统等。 第七章 采样控制系统分析基础 稳态位置误差系数稳态位置误差系数:)(1 lim1zGKzp 稳态速度误差系数稳态速度误差系数: )() 1(lim1zGzKzv稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数: )() 1(lim21zGzKza 与连续系统对应的离散系统的3种误差系数以及不同型别的稳态误差(表 7-1)直接列出如下, 不再推导。第七章 采

17、样控制系统分析基础 表表 7-1 单位反馈离散系统的稳态误差单位反馈离散系统的稳态误差 采样系统误差除了与系统的结构结构、参数参数和输入信输入信号号有关外，还与采样周期采样周期有关，缩小采样周期可缩小采样周期可以减小稳态误差。以减小稳态误差。第七章 采样控制系统分析基础 如果离散系统的闭环传递函数闭环传递函数Gc(z)=C(z)/R(z), 其中R(z)=z/(z-1)通常为单位阶跃函数单位阶跃函数, 则系统输出量的Z变换函数 )(1)(zGzzzCc将上式展成幂级数, 通过Z反变换, 可以求出输出信号的脉冲序列c(k)或c*(t)。由于离散系统的时域指标与连续系统相同, 故根据单位阶跃响应曲

18、线单位阶跃响应曲线c(k)可以方便地分析离散系统的动态性能。 7.5.2 采样控制系统的动态性能分析采样控制系统的动态性能分析第七章 采样控制系统分析基础 例例 7-12 设采样系统如图7-19所示, 其中, 368. 0368. 1264. 1)(2zzzzG采样周期T=0.1 s, 求系统指标ts和的近似值。 解解 闭环脉冲传递函数为 368. 0104. 0264. 1)(1)()(2zzzzGzGzGc系统的阶跃响应为 368. 0472. 0104. 1264. 11368. 0104. 0264. 1)()()(2322zzzzzzzzzzRzGzGc第七章 采样控制系统分析基础 用长除法得 C(z)=1.264z-1+1.395z-2+0.943z-3+0.848z-4 +1.004z-5+1.055z-6+1.003z-7+ 输出信号的脉冲序列为 c*(t)= 1.264(t-T)+1.395(t-2T)+0.943(t-3T)+0.848(t-4T) +1.004(t-5T)+1.055(t-6T)+1.003(t-7T)+ 第七章 采样控制系统分析基础 图 7-20 阶跃响应曲线 c*(t)10T2T3T4