yz第二章_开放式光腔和高斯光束 (3)

1、第一章回顾 r1r2mediumenergy source激光特性 :1、方向性/空间相干性2、单色性/时间相干性3、高亮度（提高功率）激光器的主要组成部分 :1、激光工作物质2、激光谐振腔3、激励能源强相干光；极高的光子简并度1、激光工作物质引入辐射（吸收）几率描述光与物质的三种相互作用自发辐射几率 A21受激吸收几率 W12受激辐射几率 W21221211ndtdnAsp112121ndtdnWsta221211ndtdnWstesA1211212BW2121BW黑体处于温度T的热平衡状态，满足下列关系：b33811hk Thn Ece单位体积单位频率间单位体积单位频率间隔内的光波模式数隔

2、内的光波模式数黑体辐射分配到每个黑体辐射分配到每个模式上的平均能量模式上的平均能量KTEEffnn121212exp112221221nBnBnA2211123321218fBfBhnchBAn2SPESTESTE输入光将被吸收实现 n2n1粒子数反转分布受激辐射占主导实现光受激放大？3模式数总光子数n2、激光谐振腔光子简并度：处于同一光子态的光子数 分配到每个模式上的光子数（衡量相干光的参量）nW模式数开放式光腔选模总光子数正反馈光放大21轴向模轴向模F-P 光谐振腔43、激励增益系数 znzg 0gzI zI egnI增益饱和 sIzInzn10 sIzIgzg10激光振荡的阈值条件 zg

3、eIzI00 zgzII0 sIzI zg zI zg zg mIzI0)(20211)(2)(01000IeIrrrereIILgLgLgr1r2,gI0I1 1dI zg zdzI z5 5第二章第二章 开放式光腔和高斯光束开放式光腔和高斯光束开放式光腔光波模式的选择谐振腔选模模式间损耗的差异光波模式的选择谐振腔选模模式间损耗的差异稳定腔共焦腔模式理论（损耗小，模体积小）非稳腔（高损，大功率激光器）方形镜共焦腔圆形镜共焦腔一般稳定球面腔与共焦腔的等价性产生激光光束的传输问题高斯光束6一一. .光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类平行平面腔：平行平面腔：最早的光腔法布里珀罗干涉仪，F

4、-P腔。共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。 开放式谐振腔：开放式谐振腔：上述两种腔，侧面近似没有光学边界，称为开放式谐振腔或者开腔。 闭腔闭腔光学谐振腔光学谐振腔 开腔开腔 波导腔波导腔 稳定腔非稳腔临界腔2.12.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题（根据几何损耗）72.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题波导激光谐振腔：波导激光谐振腔：具有侧面边界（图a c） 半导体激光器折叠腔折叠腔，环形腔：环形腔：由两个以上反射镜构成的腔：l1l2l3n2 n1，n2 n3复合腔：复合腔：开腔内插入透镜一类光学元件分布反馈式谐振腔分布反馈式谐

5、振腔：(Distributed Feedback, DFB) 8二二. .模的概念腔与模的一般联系模的概念腔与模的一般联系2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题腔的模式腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态谐振腔所约束约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在于一系列分立分立的本征态麦克斯韦方程组腔的边界条件分立的 振荡频率 和 空间分布腔内电磁场的本征态 因此：腔的具体结构腔的具体结构 腔内可能存在的模式（电磁场本征态）模的基本特征模的基本特征主要包括：1、电磁场空间分布 E(x,y,z)，包括腔的横截面内的场 分布（横模）和纵向场分布（纵模）；2、谐振频率；3、在腔内往返一次经受的

6、相对功率损耗 ；4、每一个模的激光束发散角 。腔的参数 唯一确定 模的基本特征。腔的模式 也就是腔内可能区分的 光子状态。开腔 傍轴傍轴 传播模式的纵模特征傍轴光线傍轴光线 (paraxial ray) ：光传播方向与腔轴线夹角非常小，此时可认为sin tan 下面以F-P腔为例，讨论模的基本特征kL2E0-E0E1E2E3开腔 傍轴傍轴 传播模式的纵模频率间隔(F-P腔，平面波):光波在腔内往返一次的相位滞后:光波在腔内往返一次的电场幅度变化率（=12）E0E1=E0e-jE2=E1e-jE4E3=E2e-jET=E0+E1+E2+E3+E4+ET当|1的情况下（往返传播次数无限多），当 =

7、 q 2 时，ET幅度可以达到腔内纵模需要满足的谐振条件相长干涉条件相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。qLq20Lcqcqq20 (2.1.1) 为整数222200qqLLk0真空中的波长；L腔的光学长度20qqL)4.1.2(2 Lcqq)5.1.2(2qqLLL为腔内介质折射率光腔的驻波条件谐振频率2q纵模间隔 11222qqqcccqqLLL 多纵模情况下，不同的纵模对应腔内不同的驻波场分布 纵模序数q 对应驻波场波节个数 在F-P腔中均匀平面波 纵模纵模 场分布的特点场沿腔的轴线方向形成驻波，驻波的波节数为q，波长为q。纵模间隔与序数q

8、无关，在频率尺度上等距排列； “频率梳”纵模间隔大小与腔长成反比。13结论：结论：1.1.一定的谐振腔只对频率满足条件的光波才能提供正反馈，使之谐振，上述两式即F-P腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。2.2.满足该式的 称为腔的谐振波长，而满足该式的 称为腔的谐振频率。3.3.该式表明：F-P腔中的谐振频率是分立的。0qq2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题将F-P腔中满足 的平面驻波场称为腔的本征模式。2qcqL14 本征模式的特点是：本征模式的特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的腔的

9、纵模纵模。不同的q值相应于不同的纵摸。 在这里所讨论的简化模型中，纵摸q单值地决定模的谐振频率。2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题15例：例：对L10cm的气体激光器(设=1)， v q1.510 9Hz 对L100cm的气体激光器, vq1.510 8Hz 对L10cm、=1.76的红宝石激光器 vq8.510 8Hz2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题三、光腔的损耗1. 几何偏折损耗；2. 衍射损耗；3. 腔镜反射不完全引入损耗；4. 材料吸收、散射，腔内插入物所引起的损耗等。选择损耗 （有选模作用）非选择损耗 （无选模作用）腔内损耗的描述 平均单程损耗因子 定义：无源腔内，

10、初始光强I0往返一次后光腔衰减为I1，则)8 . 1 . 2(ln21)7 . 1 . 2(10201IIeII0I1I损耗因子也可以用 来近似描述:当损耗很小时，两种定义方式是一致的0102III 2)21 (20000200010IIIIeIIIII对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损耗因子相加得到3212022201321ieIeeeII损耗举例10(1 2 )II反射镜反射不完全损耗：衍射损耗（考虑均匀平面波夫琅和费（Fraunhofer）衍射）：r1r2I0I12101rrII reII20121ln21rrr2aLL第一衍射极小值：aa61. 0222. 1NLaLaaL

11、aLLaaLadd1122. 161. 022222222aLFP腔N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗10(1 2)rII)1 (2121rrr191.1.光子在腔中的寿命光子在腔中的寿命初始光经时间t在光腔中往返次数m后：20mmII e2L把t代入得mc 0 RtI tI eRLc其 中称为腔的时间常数。2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题 00 RtRI tI eI et =腔的时间常数 的物理意义是：经过 后，腔内光强衰减为初始值的1e。可以看出愈大 愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。因此又 称为“光子在腔内的平均寿命”。RLcRRR20设t时刻腔内光子数

12、密度为N，N与光强 的关系为 0 RtI tI eNh v0 RtNNe0RNN et = I t上式表明, 由于损耗的存在,腔内光子数密度将随时间依指数规律衰减。2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题21微分得，在t t +dt时间内减少的光子数密度为0 RtRNdNedt 这(-dN)个光子的寿命均为t,即在0t这段时间内它们存在于腔内,而再经过无限小的时间dt后，它们就不在腔内了，由此可以计算所有N0个光子的平均寿命为：000011 RtRRNtdN ttedtNN 这就证明了腔内光子的平均寿命为R，腔的损耗愈小，R就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。2.1光腔理论的一般问题光腔理论的

13、一般问题0RtN Ne 222.2.无源谐振腔的无源谐振腔的Q Q值值谐振腔Q值的普遍定义为：储存在腔内的总能量；P单位时间内损耗的能量，v 腔内电感场的振荡频率；W=2v场的角频率。 如果以V表示腔内振荡光束的体积，当光子在腔内均匀分布时腔内总储能为：单位时间中光能的减少(即能量损耗率)为 这就是光频谐振腔Q值的一般表示式，可以看出，腔的损耗愈小，Q值越高。2RLQc2.1光腔理论的一般问题光腔理论的一般问题232.2 共轴球面腔的稳定性条件本节介绍利用光线矩阵，对开腔加以科学的分类这一方法。2.2 2.2 共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件一一. .腔内光线往返传播的矩阵表示腔内

14、光线往返传播的矩阵表示 如图2.2.1谐振腔由曲率半径为RI和R2的两个球面镜M1和M2构成，腔长为L，两镜面曲率中心连线构成系统光轴。图中: r: 光线离轴线的距离；:光线与轴线的夹角，规定光线出射方向, 在腔轴线的上方时，为正，反之为负。24光线传输路径：111222,MrMr由几何关系：2111121sinrrLrL该方程表示为矩阵的形式：2121101rrL 即我们以一个列矩阵 描述任一光线的坐标,而用一个二阶方阵 描述光线在自由空间中行进距离L时所引起的坐标变换:r101LLTLT2.2 共轴球面腔的稳定性条件傍轴光线、 自由空间的光线矩阵252oioiirrrR证明第二式 如图所示

15、，在球面镜上发生反射时,入射面和反射面参数分别为 ,根据球面镜对傍轴光线的反射规律： , iioorriiirR 在傍轴近似下有:2oi 得证三角关系则入射和反射光的关系可以用矩阵表示为：1021oiioiirrrR RT10101211fRRT这里2.2 共轴球面腔的稳定性条件傍轴光线、 球面镜的反射矩阵为球面镜对傍轴光线的变换矩阵，称为球面镜的反球面镜的反射矩阵射矩阵，f=R/2为球面镜对傍轴光线的焦距。的焦距。26如图，光线在M2反射时，322232221021rrrR RT接着光从M2行进到M1时33433410 1rrrL LT又在M1反射时，5344211534421111021r

16、rrrrrrR 1111RRLRL R2RL R2 LTT TT TTT TT T=T2.2 共轴球面腔的稳定性条件傍轴光线、 共轴球面腔中的往返矩阵其中121210101122110 10 1A BLLC DRRRL RLTT TT T11rA BC D 为傍轴光线在腔内往返一次的总变换矩阵，称为往返矩阵27上式中 那么光线在腔内经n次往返时，其参数的变换关系以矩阵形式表示为:1111nnnTrrr 只nTTTTTsinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnnABA BAnnBnCDC DCnDnn nT1arccos2AD由 可求出；1111nnnnnnrA rBC r

17、DnT2.2 共轴球面腔的稳定性条件计算得：12121112212 (1)222222111 LLA B= LRRLLLLCDRRRRRR 281201010000RLRLrrT T T TrrABTCD111,r00,r23L1f1f1f1f如图示意：2f2f2f2f往返周期单位211Rf 222Rf 12311,r00,r等效无限长透镜序列注意：球面镜对傍轴光线的反射变换与焦距f=R/2的薄透镜的透射变换等效,但前一种情况引起光线传播方向的折转。29L1f1f1f1f2f2f2f2f往返周期单位1011101101110121LfLfDCBAT00000021111011101101110

18、1rTrDCBArLfLfr211Rf 222Rf 211121221111121fLfLfLDfLffCfLLBfLA12311,r00,r即为球面镜腔中往返一周的光线矩阵参数30rmaxSS-1S-2S-3S-4S+1S+2S+3稳定不稳定往返周期单位球面镜腔稳定性的讨论：球面镜腔稳定性的讨论：sr1sr1sr2sr3sr1sr31 要使傍轴光线不横向逸出腔外，即 为有限值，则 对任意n应有限。二二. .共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件称为共轴球面腔的稳定性条件。称为共轴球面腔的稳定性条件。注意凹面镜注意凹面镜R R的取正，凸面镜取负。的取正，凸面镜取负。1111nnnnnnr

19、A rBC rDnnr、nnnnA B C D、 、 、sinsin(1)sin1sinsinsin(1)sinnnnnABAnnBnCDCnDnn要满足上述需要，则 应为实数。11arccos1122ADAD由 12111LLRR0 令两个括号中部分分别定义为g1、g2121g g0AD、 值代入，得出2.2 共轴球面腔的稳定性条件322. 当 时为复数 (不可能为实数),这时sin(n -1）、sinn等均将随n的增大而按指数规律增大,那么rn、n也将随n的增大而指数地增大，也即傍轴光线在腔内经历有限次往返后必将横向逸出腔外。讨论：讨论：1.当式 满足时, 为实数,从而An、Bn、Cn、D

20、n均有限,并随着n的增大而发生周期性变化。按rn、n也将随n的增大而发生周期性变化,但无论n多大, rn、n均保持有限,这就保证傍轴光线能在腔内往返无限多次而不从侧面逸出(只要镜的横向尺寸足够大)。12111LLRR0 111122A DA D或3. 共轴球面腔的往返矩阵 T、n次往返矩阵Tn 均与光线的初始坐标无关, 可以描述任意傍轴光线在腔内往返传播的行为。但随着光线在腔内的初始出发位置及往返一次的行进次序的不同，矩阵T各元素的具体表示式也将各不相同。但 (A+D)/2对于一定几何结构的球面腔是一个不变量。121112LLA DRR 2.2 共轴球面腔的稳定性条件1111nnnnnnrA

21、rBC rD33非稳腔临界腔1 21111122ggA DA D即 或 121210121112g gADg gAD即即稳定腔121 2111121LLA DRRgg00 简单共轴球面腔普遍适用2.2 共轴球面腔的稳定性条件腔分类定义：34下面列举几种有代表性的临界腔。下面列举几种有代表性的临界腔。1)对称共焦腔对称共焦腔 满足条件R1=R2=L的谐振腔称为对称共焦腔,这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点,对称共焦腔满足g1=0,g2=0,gIg2=0 因而是一种临界腔临界腔。(2)平行平面腔平行平面腔 此时有Rl=R2=,gl=g2=1,从而满足 (3)共心腔共心腔 满足条件R1+R2=L的谐

22、振腔称为共心腔共心腔,这时腔的两个镜面的曲率中心互相重合，其g1g2=1。112A D2.2 共轴球面腔的稳定性条件35本节几个重要问题：1. 表示光线的参数 r 光线离光轴的距离 光线与光轴的夹角傍轴光线 dr/dz = tan sinr正正, ,负号规定负号规定: : 0 0 0，相当于凸薄透镜 f0；凸面向着腔内时，R0，相当于凹薄透镜 f0。2、对于同样的光线传播次序，往返矩阵T、Tn与初始向量（r0,0）无关（做题时可不画出光线）；3、当光纤传播次序不同时，往返矩阵不同，但(A+D)/2相同。例：环形腔中的像散-对于“傍轴”光线对于平行于x,z平面传输的光线（子午光线），其焦距：对于

23、平行于“光轴”k和y确定的平面传输的光线（弧矢光线），其焦距2coscosRffxcos2cosRffyfxyz1k2k3k37透镜的像散透镜的像散子午面和弧矢面上的往返矩阵同时满足稳定条件，则该环形腔为稳定腔例：聚光镜设计382.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析问题问题1.1.在一个没有侧面边界的区域中,是否存在着电磁场的本征态,即不随时间变化的稳态场分布?即开腔模的存在性问题。问题问题2.2.应该如何求出这些场分布? 激光的输出直接与镜面上的场相联系。由于镜面上的场可看成是光在两个镜面间往返传播的结果，求解镜面上的稳态场分布的问题就归结为解一个积分方程，问题就归结为解一个积分方程，积分方

24、程可以给出空间某一点上的场，与处在有限距离上的另一个表面上的场的关联。2.3 2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析39一、理想开腔模型理想开腔模型：两块反射镜片（平面或曲面）沉浸在均匀、无限、各向同性的介质中。（光线平行于光轴），由于反射镜的有限大小导致的衍射损耗衍射损耗将决定开腔中激光震荡能量的空间分布决定开腔中激光震荡能量的空间分布。L为反射镜上的场分布uIII,531uuu,642uuuuuuss1在反射镜边缘处由于衍射发生损耗，进而改变us+1的分布当经过足够多次渡越，形成这样一种场分布，渡越时分布情况不再受衍射影响，只有整体按同样比例衰减。开腔的自

25、再现模 或 横模横模a240概念：1.开腔镜面上，经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。2.自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗。在理想开腔中,等于前面所指出的衍射损耗。3.自再现模经一次往返所发生的相移称为往返相移。 该相移等于2的整数倍,这就是模的谐振条件 研究表明：开腔的自再现模确实存在。一方面,可用数值的和解析的方法求出了各种开腔的横模；另外,又从实验上观测到了激光的各种稳定的强度花样,而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析41幅度、相位空间相干性空间相干性的衍化1、初始入射波的形状不影响自再现模的形成；2、不同初始入

26、射波可能导致不同自再现模-横模的形成。孔阑处可放置透镜或衰减片二、孔阑传输线42讨论：讨论： 1.并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在，只有那些不受衍射影响的场分布才能最终稳定下来；2.模的形成是多次衍射的结果, 其他形状初始入射波也能形成自再现模，只是得到的最终稳态场分布有所不相同,这就预示了开腔模式的多样性；3.实际的物理过程是：开腔中的任何振荡都是从自发辐射开始的，服从统计规律, 可提供不同的初始分布，衍射将其中能够存在的自再现模筛选出来;4. ,在无源开腔中,自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程, 伴随着初始人射波能量的衰减。在激活腔中,情况就不同了。2.3开腔模式的物理概

27、念和衍射理论分析43三、菲涅耳基尔霍夫衍射积分三、菲涅耳基尔霍夫衍射积分2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析sdeyxuikyxuikscos1,4,S曲面上光场分布函数各子波源发出的球面波倾斜因子sdeyxuikyxuiksjjcos1,4,1右图(2.3.3)左图44 以对称开腔为例。11( , )( ,)(1 cos )4ikjjSikeux yu x yds12111jjjjuuuu代入衍射表达式，得出：即为模式再现概即为模式再现概念的数学表达式念的数学表达式11( , )( ,)(1 cos )4( , )( ,)(1 cos )4ikjjSikjjSikeu x yu x yds

28、ikeux yux yds( , )x y2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析四、自再现模所应满足的积分方程式四、自再现模所应满足的积分方程式为与坐标无关的复常数，表示自再现模在渡越一次时的幅度衰减和相位滞后。求解上面方程得自再现模 的方程：45( , )( , , ,) ( ,)(2.3.6)Sx yK x y x yx y ds ( , ,)( , ,)(1 cos )4( , ,)ikx y x yikeK x y x yx y x y 其中称为积分方程的核 一般地说, 应为复函数,它的模 描述镜面上场的振幅分布,而其辐角 描述镜面上场的相位分布。( , )x y( , )x yarg

29、( , )ux y2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析46光学开腔的腔长L通常远大于反射镜的线度,即La反射镜为曲面镜的情况下,其曲率半径R也往往满足Ra(1cos );2 LL( , , ,)( , )( , , ,) ( ,)(2.3.6)( , , ,)(2.3.7)Sikx y x yx yK x y x yx y dsiK x y x yeL 不能用L替换，为什么？ 至此我们将寻求开腔模的问题,归结为求解积分方程或简化了的积分方程组这样一个数学问题。2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析47五、复常数五、复常数 的意义的意义 可表示为：ie则11ijjjuue u e 可见,e-量

30、度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减,愈大,衰减愈甚,0时,自再现模在腔内能无损耗地传播。表示每经一次渡越模的相位滞后。 自再现模在腔内经单程渡越所经受的相对功率损失称为模的单程损耗,通常以d表示,它代表的是总损耗。2221221111jjdjuueu 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析4811argargargjjuu 自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为: 在腔内存在激活物质的情况下,为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡,还必须满足多光束相长干涉条件:在腔内一次往返的总相移等于2的整数倍, 这就是开腔自再现模的谐振条件。开腔自再现模的谐振条件。结论：复常数的模量度自再现模的单程

31、损耗,它的辐角量度自再现模的单程相移,从而也决定模的谐振频率。q 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析49六、自再现模方程的求解分离变量法六、自再现模方程的求解分离变量法222x xy yL221xxyyLLL(,)( ,)ikx y xyiKx y xyeL 如图所示为一对称矩形平面镜腔，镜的边长为2ax2b，腔长L，且 ,则,Lab 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析22442211111122884x xy yx xy yx xy yLLLLLLL 0 xy yyx, yxb2a2LIII502222 aLL abLL b和(,)( ,)ikx y

32、xyiKx y xyeL 22222222( , , , )x xy yx xy yik LikLLLLik x yx yikLeee e 2211122xxyyLLL代入表达式 得( , )( , , ,) ( ,)Sx yK x y x yx y ds2222( , )( , )x xy yikabLLikLabix yex y edxdyL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析当满足条件51分离变量得出：222222( )( ,) ()( )( ,) ()( ,)( ,)axxabyybx xyyikLLikLxyyikikLLyxyxKx xx dxy

33、Ky yy dyiKx xeeLiKy yeeL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析52 满足上述方程的解可能有多个，假设xy方向的第m、n个解可表示为：( )( ,)()( )( ,)()ammxmabnnynbxKx xx dxyKy yy dymnmn ( , )( )( )m nmnxyxy整个镜上的自再现场分布函数为：相应的复常数为： 本征值与本征函数决定着开腔自再现模的全部特征,包括场分布(镜面上场的振幅和相位分布)及传输特性(如模的衰减、相移、谐振频率等)。( )( ,)()( )( ,)()ammxmabnnynbxKx xx dxyKy y

34、y dy2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析本征函数本征函数本征值本征值 适用任何对称光学开腔（平行平面，共焦，一般球面镜腔）53球面镜腔求解举例。反射镜的曲率半径为R1和R2腔长L。1 2121 122, , ,x y x yPPPP PP P P 221222x xyyPPLLL根据已知 22221 112 2212,22xyxyPPPPRR 由几何关系12222222122222, , ,222211122LLRRx xy yxyxyx y x yLLLRRLxyxyxxyyL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析aLP

35、2(x,y)P1(x,y)P1P221542222121, , ,22x y x yLg xyg xyxx yyL 12121;1LLRRgg 称为球面镜腔的几何参数。 1. 在对称开腔情况下，在对称开腔情况下， 代入上式，即可求得对称球面腔的 值, 即得出一般对称球面腔自再现模所满足的积分方程的具体形式。 2. 对所谓对称共焦腔对称共焦腔, ，表达式可以进一步简化为： 当反射镜是2ax2a的方形镜时，则12121LRRRR gg ， 12120RRR L gg ， 1, , ,xyx yLxx yyL 2( , )( , , , ) ( , );( , , , )xxyyaaikikLLaa

36、ix yK x y x yx y dxdyK x y x yeeL 2.3开腔模式的物理概念和衍射理论分析开腔模式的物理概念和衍射理论分析552.4 平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法2.4 2.4 平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法第一台激光器梅曼(T.H.Maiman)的红宝石激光器 就是用平行平面腔做成的。 平行平面腔的主要优点是,光束方向性极好(发散角 小)、模体积较大、比较容易获得单横模振荡等。平行平面腔主要缺点是调整精度要求极高,此外,与稳 定腔比较,损耗也较大,因而对小增益器件不大适用。56 1. 1. 关于迭代法关于迭代法所谓迭代法,就是利用迭代公式，直接进

37、行数值计算。111( , )( , )(1 cos )( , )4ikjjjSSikeux yu x ydsKu x y ds ( , ,)( , ,)(1 cos )4( , ,)ikx y x yikeK x y x yx y x y 其中 首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分布u1,将它代人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场u2,然后再用所得到的u2代人上式,计算在腔内经第二次渡越后而在第一j镜上生成的场U3反复运算并注意经过足够多次以后,在腔面上能否形成一种稳态场分布。2.4 平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法57如果j足够大时，场分布出现12111jjj

38、juuuu 如果直接数值计算得如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔的一个则可认为找到了腔的一个自再现模或横模。自再现模或横模。 迭代法的重要意义在于, 用逐次近似计算直接求出了 一系列自再现模, 第一次证明了开腔模式的存在性； 其次,迭代法数学运算过程，与波在腔中往返传播形成 自再现模这一物理过程相应,而且运算结果使我们具体 地、形象地认识了模的各种特征； 第三,迭代法虽然比较繁础却具有普遍的适用性,它原 则上可以用来计算任何几何形状附中的自再现模,而且 还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不 平整性等对模的扰动。2.4 平行平面腔模的迭代解法

39、平行平面腔模的迭代解法582.2.对称条状腔中自再现模的迭代算法对称条状腔中自再现模的迭代算法 考察镜的宽度为2a，腔长为L的对称条状腔，按公式该条状腔的模式迭代方程应为：2222( )( , ) ( )( , )axxax xy yikLLikLxxK x xx dxiK x xeeL 22221232( )( )( )( ) x xaikikLLax xaikikLLaiu xeeu x dxLiu xeeu x dxL 这里选择第一镜面的初始入射波为单位平面波，镜面为等相位面，且初始相位为0,即 ，代入上式求出11u 2u2max1u得同样的方法求出 3u2.4 平行平面腔模的迭代解法平

40、行平面腔模的迭代解法59的条状腔用迭代法求出的第一次及第300次渡越后得到振幅和相位分布如图所示。225 ,100 ,6.25aaLNL 在经过300次渡越以后,归一化的振幅曲线和相位曲线实际上已不再发生变化,这样我们就得到了一个自再现模。 这种稳态场分布的特点是:在镜面中心处振幅最大,从中心到边缘振幅逐渐降落,整个镜面上的场分布具有偶对称性，具有这种特征的横模称为腔的最低腔的最低阶偶对称模或基模阶偶对称模或基模。2.4 平行平面腔模的迭代解法平行平面腔模的迭代解法602.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模2.5 2.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模 对称共焦腔：

41、满足条件R1=R2=L的谐振腔,这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。一、自再现模所满足的积分方程式及其精确解一、自再现模所满足的积分方程式及其精确解 2,2 L aa LLa 前提条件：612.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模2( , )( , ,) ( ,);( , ,) aaaaxxyyikikLLx yK x y x yx y dx dyiK x y x yeeL 方形共焦腔自再现模满足的积分方程为（2.3.28）： 下面按博伊德和戈登的方法进行变数代换, 22,221( , ), mnmmmnmncca kXx YycaLNaaLx yFX GY 令 2ikLcciXX

42、iYYmnmmmmccieFX GYFX edXGY edY 博伊德和戈登已解此方程，c为有限值的情况下解为：622.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模(1)(1)2 /,1,2 /,1,omonmmnnci Rc m= 0,1,2ci Rc n= 0,1,2其中 mnmn(x,y)=FX G Y =Som(c,Xc)Son(c,Yc) m,n=0,1,2,L,Som(c,Xc)=Som(c,x a) Son(c,Yc)=Son(c,y a)其中 称为角向长椭球函数。称为角向长椭球函数。iKLm nm nie 称为径向长椭球函数。称为径向长椭球函数。(1)(1),1 ,1omon

43、Rc Rc(1)(1)(1)24,1,1omoni kL m nm nNeRcRc 可以看出,对任一给定的C值,当m ,n取一系列不连续的整数时,即得出一系列本征函数,它们描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布,同时得出一系列相应的本征值,它们决定模的相移和损耗。我们以符号TEMmn表示共焦腔自再现模。632.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模二、镜面上场的振幅和相位分布（共焦腔）二、镜面上场的振幅和相位分布（共焦腔） 22220( 1)!12,0,1,!2!mmkmmkXXmmkdmHXeeXmdXk mk 其中1.厄米特高斯近似 共焦腔镜面中心或者 时的整个镜面上场分布函数可近似

44、为：22222()222xyc xyLamnmnmnmnmncc(x,y)=C Hx Hy eC Hx Hy eaaLL 21cN2.基模(TEM00模)220000 xyL(x, y)= Ce 基模在镜面上分布为高斯型642.5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模22220000000sxyLrw(x,y)= C eC e 0sL 定义定义1：镜面上的光斑半径：镜面上的光斑半径y1/eEx()222202222000000,sxyrwLIx yCeCel p+-=01012rIewrIrVewrV000s00000s00在离中心的距离为 处场的振幅降为中心处的 。rL1 e652.

45、5 方形镜共焦腔的自再现模方形镜共焦腔的自再现模例：例：一台使用共焦腔的二氧化碳激光器,若L=1m, =10.6um,则wos1.84mm; 若氦氖激光器（=0.6328um）采用L=30cm的共焦腔，则镜面上的光斑尺为wos=0.25mm。结论：结论： 共焦腔的光斑半径通常是很小的共焦腔的光斑半径通常是很小的, ,远比实际上使用的反远比实际上使用的反射镜的横向尺寸小得多，因此射镜的横向尺寸小得多，因此, ,共焦腔模的场主要集中在镜共焦腔模的场主要集中在镜面中心附近。面中心附近。定义定义2：基模半功率点处的光斑半径，光强降到中心光强：基模半功率点处的光斑半径，光强降到中心光强1/2处处的半径的

46、半径 w0s ：000.5889ss 021rIwrI000s00220220000,srwIx yCe6667672022202220222022202220222022202211201111112022020220202001001010110010101024,:4224,:22,:22,:sssssssswyxwyxswyxswyxswyxwyxswyxwyxsxyeCexywCyxVTEMewxCewxCyxVTEMyeCyewCyxVTEMxeCxewCyxVTEM厄米多项式的零点决定场的节线3、高阶横模（m,n 不同时为 0） 24,2, 12210XXHXXHXH222000

47、22sxywmnmnmnssVC Hx Hy eww68高阶横模的光斑尺寸2022021212snssmswnwwmw(2.5.27)121200nwwmwwsnssms,(2.5.28)定义：定义：光场分布坐标均方差值的四倍 为 光斑半径的平方TEM00TEM10TEM20TEM03TEM11TEM31xxxxTEM0nTEM1nTEM2nTEM3nnV0nV1nV2nV3厄米多项式的零点决定场振幅的节线dYYGdYYGyyYGwdXXFdXXFxxXFwnnnnsmmmms2222224469三、单程损耗三、单程损耗( ( mnmn) )22111mnmnmn 本征值 决定模的相移和损耗m

48、n径向长椭球函数径向长椭球函数Nc2 m、n与腔的菲涅尔数(N) 腔的单程损耗4、镜面上光场的相位分布 cYcScXcSYGXFyxVonomnmmn,),(yxVmn的辐角决定镜面上场的相位分布长椭球函数为实函数，表明镜面上各点场的相位值相等 等相位面与共焦腔镜面重合1(1)(1)24( ,1)( ,1)i kLm nmnomonNeRcRc 7070 同种腔 N D m, n D 选横模的物理基础 不同腔 共焦腔衍射损耗 0时：比较0, 0 , 0,zzyx抛物面方程近轴处近似为球面7979200220212zLzyxzz近轴球面波02202Ryxzz近轴高斯光波比较结论：高斯光波在腔轴附

49、近可近似为球面波，球面半径2002000121zfzzLzRcR0(x,y,z)zz022yx 0球面波y012102002000zzfzzLzR当z1的范围内,近似解能比较满意地描述共焦腔模的各种特征,特别是共焦腔基模的基本特征；通过本章后面的分析可看出,要求N较大与要求镜面上的光斑半径较小(与镜的线度相比)是一致的。892.8 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征90020000zfzzffzfzR2222212111zfzzRRzfzzRR111021RLRL可以证明R1, R2, L满足 12zzL是稳定球面腔1200zz，考虑：2.8 2.8 一般稳定球面腔的模式特征一般

50、稳定球面腔的模式特征1）证明：任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。共焦腔与稳定球面腔的共焦腔与稳定球面腔的等价性等价性 ?1.任何一个共焦腔可以与无穷多个稳定球面镜腔等价2.任何一个稳定球面镜腔只能有一个等价共焦腔：91912）证明：任意一个稳定球面腔只有一个等价的共焦腔： 关键问题：已知 R1 , R2 , L 如何求出等价共焦腔位置及 f 值 2222212111zfzzRRzfzzRR12zzL 21122121RLRLLRLzRLRLLRLz 22121212RLRLLRRLRLRLf02f111021RLRL当可得推导中应注意对反射镜曲率的符号定义：凹面镜 R0。111021RL

51、RL92921 1、镜面上的光斑尺寸、镜面上的光斑尺寸（基模）（基模） 201fzwzw 一般稳定球面镜腔的模式特征（已知已知 R1 , R2 , L）fzz,21将前面 的表达式带入得：7 . 8 . 2116 . 8 . 204121210241211201412121222412112211LwggggwwggggwworLRRLRLLRRLwLRRLRLLRRLwsssssss zwrezwwEAzyxE22000000,稳定腔2 2、模体积（基模）、模体积（基模）9 . 8 . 2221141222122000021122100020021LLwVggggggVwwLVsss1 20

52、01 21210ggVgggg问题：对腔长为L的稳定腔，如何设计使得基模体积最大？最小呢？93931212000000nmVVVVmnmn模体积（高阶模）（方形镜）对方形镜稳定腔：3 3、等相位面分布：、等相位面分布： zffzfzfzzR2等相位面：（2.8.4） 22121212RLRLLRRLRLRLf4 4、基模远场发散角：、基模远场发散角：()01 421212121222122zLz212flim2zfggg gLg gg glp骣+桫=禳镲+-镲镲=睚镲-镲镲铪 zzwz2lim0000121221VnmwwLVnsmsmn认为问题：对R1=R2=R，如何设计L使得发散角最小？1

53、2.zz945 5、谐振频率：、谐振频率：()()()2,12.8.1022mnrfzr zk zkfmnarctgRfzp轾骣骣-犏= -+-+-犏+桫桫臌方形镜单程相移()()()()21,20,0,22.8.11mnmnmn2r zzzqp轾D=-= -臌fzz,21表达式代入将()1211cos (2.8.12)2mnqcqmnarcg gLnhp轾犏=+犏臌方形镜稳定球面腔谐振频率为：956 6、衍射损耗：、衍射损耗：2022swaLaN202022ssiwawaiiefN稳定球面镜腔的有效菲涅尔数Lws0共焦腔菲涅耳数共焦腔菲涅耳数 稳定球面腔与等价共焦腔的衍射损耗遵循相同规律时，

54、两个腔的单程损耗应该相等。带入（2.8.6）和（2.8.7）19. 8 . 211211222121222222222121212211121221121ggggLaLRLLRRLRRawaNggggLaLRLLRRLRRawaNsefsef可以按共焦腔的Nmn关系，将有效菲涅耳数代入，分别求出对应的mn1和mn221. 8 . 22121mnmnmn行波场相同对称共焦腔各模式的损耗单值的由N决定962.9 高斯光束的基本性质及特征参数高斯光束的基本性质及特征参数2.9 2.9 高斯光束的基本性质及特征参数高斯光束的基本性质及特征参数 沿z轴方向传播的基模高斯光束的场，都可以表示为如下一般形式

55、：一、基模高斯光束一、基模高斯光束 222200, ,rzri k zarctgRfzcx y zeez 22220222002;11; zrxykzffzfffR R zzfzfzfzz 其中；思考；z=f时，光斑尺寸？对比共焦腔振荡模的情况等相位面曲率半径发散(+)会聚(-)972.9 高斯光束的基本性质及特征参数高斯光束的基本性质及特征参数 对于由一般稳定球面腔(R1、R2、L)所产生的高斯光束，参数0、f（称为高斯光束的典型参数）与R1、R2、L的关系为:02121242121212221222RRRRRRRRRRfRRLLLLLLLLLL 982.9 高斯光束的基本性质及特征参数高斯

56、光束的基本性质及特征参数二、基模高斯光束在自由空间的传输规律二、基模高斯光束在自由空间的传输规律 222200222000, ,11; rzri k zarctgRfzcx y zeezzffzR R zzffz 其中； 高斯光束性质讨论：高斯光束性质讨论：（1 1）基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心（在z0）向外平滑地降落，振幅降落到中心值1/e的点的光斑半径为： 22002011zzrzf 光斑半径随坐标z按双曲线的规律而扩展,在z=0处,以(z)=0,达到极小值。992.9 高斯光束的基本性质及特征参数高斯光束的基本性质及特征参数（2 2）基模高斯光束的相位因

57、子:描述在点（x，y，z）的高斯高束相对于原点处的相位滞后,因子 表示与横向坐标（x,y）有关的相移，它表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面，R可表示为：200, ,2rzx y zk zarctgRf22krR 222011fRR zzzzzl 当z=0时,R(z),表明束腰所在处的等相位面为平面;l 当z=时,|R(z)|z|,表明离束腰无限远处的等相 位面亦为平面,且曲率中心就在束腰处;l 当z=士f时,|R(z)|=2f,且|R(z)|达到极小值;l 当0z2f,表明等相位面的曲率中心在- f,;l 当zf时,zR(z)F)的情况下，l愈大，F愈小，聚焦效果愈好。222200022

58、222200;1;FFlFF lF （3）当 时， 达到极大值，此时l F000,FFlFf 仅当 时，透镜才有聚焦作用。02Ff1132.11 高斯光束的聚焦和准直高斯光束的聚焦和准直1142.11 高斯光束的聚焦和准直高斯光束的聚焦和准直2.2. 一定时，一定时， 随随F F变化的情况变化的情况0l要获得良好的聚焦效果：a.用短焦距透镜;b.使高斯光束腰斑远离透镜焦点;c.取l =0,并设法满足条件fF. 2201lwllfflflR 2/lRF 才有聚焦作用 F 0w201 w201 w 2lR lR0F 2222020flFFww 21zfzzR115结论：1. 要想用单个透镜将高斯光束转换成平面波,从原则 上说是不可能的； 2. 2.当 时,将有 ,在一定的条件下,当 达 到极大值时, 将达到极小值。2.11 高斯光束的聚焦和准直高斯光束的聚焦和准直二、高斯光束的准值二、高斯