第三章 泊松(Poisson)过程

1、基础部张守成基础部张守成第四章 泊松过程基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日X tt( ),0, 给给定定二二阶阶矩矩过过程程定定n如如果果对对任任意意选选定定的的正正整整数数和和任任意意选选定定的的在互不相交的区间上在互不相交的区间上, ,状态的增量是相状态的增量是相 X tX ssts t( )( ), 0( , 为为随随机机过过程程 在在上上的的.增增量量,0210ntttt )()(,),()(),()( 11201 nntXtXtXtXtXtX,相相互互独独立立互独立的，有互独立的，有 X tt( ),0 则则称称为为义义随随机机变变量量n个个

2、增增量量特征特征: : .独立增量过程独立增量过程 ),(tsCX).,(min(tsDX一、齐次泊松过程一、齐次泊松过程1、独立增量过程独立增量过程基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日则称则称增量具有平稳性增量具有平稳性. .hshth0, 如如果果对对任任意意的的实实数数 和和X thX shX tX s()()( )( ),和和具具有有相相同同的的分分布布增量增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于的分布函数只依赖于当增量具有平稳性时当增量具有平稳性时, , 是是齐次的齐次的或或时齐的时齐的. . 称相应的独立增量过称相应的独立增量过程程 特征

3、特征: : 区间的长度区间的长度t-s, , 而与它的位置无关而与它的位置无关. .基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件：考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)(1)自电子管阴极发射的电子到达阳极自电子管阴极发射的电子到达阳极; ;(2)(2)意外事故或意外差错的发生意外事故或意外差错的发生; ;(3)(3)要求服务的顾客到达服务站要求服务的顾客到达服务站. .2、齐次泊松过程的概念齐次泊松过程的概念电子到电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随达阳极、顾客到达服务站等事件会随时间推移时间推移随机发生在时

4、间轴上的不同时刻随机发生在时间轴上的不同时刻.基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日N t tt( ),0(0, 用用表表示示在在时时间间间间隔隔内内发发生生的的某某种种( ),0N tt 则则称称为为计计数数过过程程. .事事件件的的数数目目，0,( , )( )( )stN s tN tN s 对对于于等等于于在在( , .s t时时间间间间隔隔中中发发生生的的事事件件数数一个计数过程一定满足：一个计数过程一定满足：(1) N(t)取非负整数值取非负整数值；(2) 如果如果st|T1=s=P在在(s, s+t内没有事件发生内没有事件发生| |T1=s=

5、PN(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1= PN(s+t) -N(s)=0 te. 故故T TFt sP Tt Ts2121()P Tt Ts211.te1 表明表明 服从均值为服从均值为1/ 的指数分布，且与的指数分布，且与T1 1独立独立. .T2(独立增量过程独立增量过程)基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日重复上面的推导，可得下面的结论：重复上面的推导，可得下面的结论：结结论论: :设设N(t), t 0是强度为是强度为 的泊松过程，则的泊松过程，则iT TT12,相相互互独独立立且且服服从从相相同同的的指指数数分分布布itT

6、tftite, 0,( )1,2, 3,.0, 0. 意义意义: : 表明在概率意义上过程在任何时刻重新开始，表明在概率意义上过程在任何时刻重新开始，即泊松过程是即泊松过程是无记忆的无记忆的.基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日(2) 等待时间的分布等待时间的分布由于由于nniiWT1, 利用矩母函数容易证明利用矩母函数容易证明nWn( , ), 即即Wn具有概率密度具有概率密度nntWtetftnt1(),0( )(1)!0,0 基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日二、泊松过程的推广二、泊松过程的推广1、非齐次泊

7、松过程非齐次泊松过程, 0),( ttt 的函数的函数是时间是时间若若则称泊松过则称泊松过注：注：从而从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性非齐次泊松过程不再具有平稳增量性. .( ),0( ).N ttt 是是强强度度函函数数为为的的非非齐齐次次泊泊松松过过程程称称 0( )( )tm ts ds 为为累积强度函数累积强度函数或或均值函数均值函数，则有则有( )( ) ( )( )N tN sm tm s 基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日 某路公交车从早晨某路公交车从早晨5时到晚上时到晚上9时有车时有车, ,乘客乘客 流量如下流量如下: :5时平均乘

8、客为时平均乘客为200人人/ /小时小时; ;5时至时至8时时 乘客平均到达率线性增加乘客平均到达率线性增加, ,8时到达率为时到达率为1400人人/ / 小时小时; ;8时至时至18时保持平均到达率不变时保持平均到达率不变; ;18时到时到21 时到达率线性下降时到达率线性下降,到到21时为时为200人人/ /小时小时, ,假定假定 乘客数在不重叠的区间内是相互独立的乘客数在不重叠的区间内是相互独立的, ,求求 (1) (1)7时至时至9时来站乘车人数的数学期望；时来站乘车人数的数学期望； (2) (2)12时至时至14时有时有2000人人乘车的概率乘车的概率. . t=0为早晨为早晨5时时

9、, ,t=16为晚上为晚上9时时, ,则均值函数则均值函数200400 ,03( )1400,3131400400(13),1316tttttt 基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日(1) 7时至时至9时为时为t (2,4,则由非齐次泊松过程的则由非齐次泊松过程的性质可得性质可得7时至时至9时乘车人数的数学期望为时乘车人数的数学期望为(4)(2)E NN (9)(7)2000P NN 12时至时至14时有时有2000人来站乘车的概率为人来站乘车的概率为(4)(2)mm 42( ) t dt 32(200400 ) t dt 2600 431400dt (

10、2)20002800(2800)2000!e 基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日 设设N(t), t 0是强度是强度 的泊松过程的泊松过程, ,Yk,k=1,2,是是 独立同分布随机变量序列独立同分布随机变量序列, ,且与且与N(t), t 0独立独立, ,令令 则称为则称为复合泊松过程复合泊松过程.例例 设设N(t)是在是在(0, t内来到某商店的顾客数内来到某商店的顾客数, ,Yk是是0,)()(1tYtXtNkk2、复合泊松过程复合泊松过程)(1)(tNkkYtX第第k个顾客的花费个顾客的花费, ,则则 是是 (0, t内的营业额内的营业额.基础

11、部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日设设 是复合泊松过程，则是复合泊松过程，则(1) X(t), t 0是独立增量过程；是独立增量过程；(2) X(t)的特征函数的特征函数 是事件的到达率是事件的到达率, ,gY(u)是随机变量是随机变量Y1的特征函数；的特征函数；(3)若若 ，则，则0,)()(1tYtXtNkk)(21YEE X ttE Y 1( ) 1)(exp)()(ugtugYtX 定理：定理：D X ttE Y 21( ) 基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日.10 1nP Y，.20 4nP Y，.30

12、4nP Y，. .40 1nP Y 2例例2 设移民到某地的户数是一个速率为设移民到某地的户数是一个速率为( ),0,N tt （每周）的泊松过程（每周）的泊松过程若每户人口若每户人口求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差. .nY ：数为独立同分布的随机变量数为独立同分布的随机变量()2.5,nE Y 2( )(),(t)()nnE X ttE YD XtE Y (t)25,E X (t)69D X X(t)设设0 , ) t 表示表示 时间内移民到该地的人口数，时间内移民到该地的人口数， 可得五周内移民到该地人口数的的期望可得五周内移民到该地人口数的的期望解：解： 是复合泊松过程是复合泊松过程, ,( )1( )N tnnX tY2()6.9nE Y 2,5t 将将 代入代入由由Yn的分布律可得的分布律可得基础部张守成基础部张守成20222022年年2 2月月6 6日星期日日星期日100设进入到某超市的人数是一个速率设进入到某超市