最小二乘法用于测井曲线的拟合

1、最小二乘法用于测井曲线的拟合摘要 测井曲线拟合主要采用最小二乘法原则进行函数模型逼近，常用的方法为普通的 最小二乘法，但是因为其存在一定的缺陷，所以另外采用了中心化最小二乘法进行进一 步的拟合。此外，由于测井环境（井径、泥浆性能、泥浆侵入、层厚、围岩、井内温度、 压力等）、仪器性能以及测量条件（测速等）的影响，各种测井原始值是受上述因素影响 的视参数，因此，利用计算机查图版结合最小二乘法原则对测井资料进行有关的校正。 关键词：测井曲线，最小二乘法，中心化，曲线拟合最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和 寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的

2、数据，并使得这些求 得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。 在测井中常用此方法进行曲线的拟合以 及校正。1、普通最小二乘法求解线形方程组时，通常要求未知数的个数与方程式的个数相等，如果方程式的个 数多于未知数的个数，就往往无解，这样的方程组称为矛盾方程组。最小二乘法是用来 解矛盾方程组的一个常用方法。设有矛盾方程组引A +更谊角+叼护* = yi工品 +%区+t击点=力> （1）«r X +召晁+兀必=X即= y； Ci = 12J=1式中，kvn。因为式（1）是矛盾方程组，所以找不到能同时满足这 n个方程的解。我 们转而寻求在某种意义下的近似解。这种近似解当然不是指对精确

3、解的近似 （因为精确 并不存在），而是指寻求各未知数的一组取值，使方程组（1）中各式近似地相等，这就是 用最小二乘法解矛盾方程组的基本设想。把近似解代入方程组 （1）后，只能使各方程式 两端近似相等。jR =、*-y.把各方程两端之差-称为误差。按最小二乘法规定的准则，是把各方程式误差的平方和Q* £圧-£艺吶一朋丁 t=l；=r作为衡量一个近似解的近似程度（或优劣程度）的标志，即有定义：如果B j（j=1 ,2, ?, k）的一组取值，使误差的平方和与式（2）达到最小值，则称这组值是矛盾方程组（1） 的最优近似解。误差平方和C可以看成k个自变量B j的二次函数，因此求解矛

4、盾方程组（1）的问题归 结为求二次函数Q勺最小值问题。应该指出，因为二次函数 C是B1, B 2, ?，B m的连续 函数，且工Ri2>0,故一定存在一组数B1, B 2,?，B m使得Q达到最小值。而二次函数Q 达到最小值（即极小值）必须满足条件= 0 （m = I 收*證=0茁£-讣-=2 £ （乞工宀旳- S” i Iz从而，极值条件就可化成Amri£（2时.）件=工工加（幽=加（3）具有k个未知数k个方程式的线形方程组 称为对应于矛盾方程组（1）的正规方程 组。由上述推导可以得出正规方程组（3）的解是矛盾方程组（1）的最优近似解。如果用Cij表示正规

5、方程组第m个方程中B j的系数，用dm表示正规方程组第m个方程 的右端项，正规方程组（3）可以写成工為件="e （無=12"归J = l權爲=工工小Me =另工/ 1I这样，正规方程组中系数Cm等于矛盾方程组各方程式中B m勺系数与Bj的系数乘 积之和，具有Cmj=Cjm右端项dm等于矛盾方程组各方程式中B m勺系数与右端项乘积之 和。傅里叶函数f（x）=bo+bl COS 3 x+b2 sin 3 x变量b。，b1, b1便可以计算出来。成像或地层倾角人机交互处理过程中需要拟合地层或裂缝面，即1条单周正弦波曲线，可以采用拟合固定宽度范围内（频率为f=2 n 3 ）的1个傅

6、里叶函数f（x）=bo+bl CO3x+b2 sin 3 x。现对一下3组数据（表1）进行拟合（图1-3）表1实验数据统计表极板弓pad?pid3pod41半栓tfTE箔3346374*>33343537¥61PS3需度值34375b5鼻KMEtft单位恤 25. 4 ：iuil.TF图1、普通最小二乘法拟合结果（第一组数据）图2、普通最小二乘法拟合结果（第二组数据）图3、普通最小二乘法拟合结果（第三组数据）B和经验回归函数。2、中心化最小二乘法对于方程（1），可以采用中心化方法计算最小二乘估计量用 *211J1£ =£）0 鼻=另工宀-j、枇=1 .氛,k

7、i那么经验回归函数为y = Y+A3 恳）+ A （乜一耳）+AS %）且统计量Q的观测值（仍记为Q）为(7)Q宀 5-士 %由于nx (k+1)矩阵所以正规方程组(3)为ri£召Ji茲Ar »Sz;=1J=t1-1 1*d-l»V£比孔r-. an*l|A.«Vr.(8)应用矩阵的行初等变换，不难验证方程组(8)等价于下述方程组1 工、0 *«4 Z*1 方程组(9)的解是式 和(5)，将经验回归函数y= B卄B ix计-+ 式，即得式。以此种方法对表一数据进行拟合得出图4-630.ono图4、中心化最小二乘法拟合结果(第1组数据)

8、图5、中心化最小二乘法拟合结果（第2组数据）图6、中心化最小二乘法拟合结果（第 3组数据）比较可以明显看出，中心化最小二乘法结果与期望结果更为吻合。特别是第 1组实 验数据，当仅有3个观测数据时，中心化最小二乘法拟合结果满足三点共面，即 3个观测 数据均落在拟合曲线上3、曲线拟合校正由于测井环境（井径、泥浆性能、泥浆侵入、层厚、围岩、井内温度、压力等 ）、仪 器性能以及测量条件（测速等）的影响，各种测井原始值是受上述因素影响的视参数，不 能直接用于定量计算，应进行必要的校正。测井资料环境影响校正的目的，一是尽量减 少井的环境的严重影响，使其测井值较真实地反映地层特性另一方面是使不同井的测 井资

9、料校正到同一个环境影响水平上，使解释成果能在同一水平上进行比较。目前对测井资料进行环境影响校正的方法是利用计算机查图版对测井资料进行有 关的校正。对于斜率变化较均匀的图版曲线，可采用等间隔采样；对于斜率不均匀的图版曲 线采用变步长采样，斜率变化大的部分，应加大采样密度I对于斜率变化为均匀且自变量变化范围大的图版曲线，首先对自变量进行对数处理，使其自变量变化范围相对缩 小，然后进行数字化。将离散后的图版数据代入选定的拟合方法表达式中，便得到相应的校正公式。对拟合公式的精确度进行考察，采用同一批测井数据分别由人工查图版校正与用拟合公式校正结果比较来说明图版拟合的精确度。拟合公式的相对误差分析见下表

10、。 表2、测井曲线校正数据统计表测井曲蛾體井曲毀|40对渓蟄GK0- 7BSNGS0- 4热DENLDL覆【玄FDL0 1-；SNF；CNL亠3%MLL1斤PLMSFLLLS0-1 Y” 9 牺泌0. 1乳ILM0-】44%LLD0. 11%ILDm計参考文献1 肖忠云.EWR Phaser4型随钻测井仪EJ.石油仪器，1994, 8(2) : 7176 .2 Merchant G A , Strickland R W , Jackson C E . En hanced Resolution LWDResistivity Logs Using a Newlnversion TechniqueA

11、 . SPWLA7th Annual Log ging SymposiumEC. June： 1619, 1996.2 邢光龙，冯庆国，刘曼芬，等.高频电磁波测井的灵敏度分析与特征识别方法(I)灵敏度分析J_测井技术，2001，25(5) : 354 357.3 檄电脑通用多元统计分析BASIC语言程序汇编.陕西电子，1985.4 张美玲，邢光龙，刘曼芬，等.阻尼型高斯一牛顿法及其在高频电磁波测井反演中 的应用J.计算物理,2002，19(2) : 155 158 . 康俊佐，邢光龙，杨善德.电磁传播电阻率测井的二维全参数反演方法研究J.地球物理学报，2006, 49(1) : 275 283.6 中国石油天然气集团公司油气勘探部.渤海湾地区低电阻油