材料力学内部习题集与答案

1、第二章轴向拉伸和压缩2-1一圆截面直杆，其直径的上端固定，下端作用有拉力d=20mm,长L=40m,3材料的弹性模量E=200GPa,容重丫=80kN/m,杆最大正应力;最大线应变;最大切应力;下端处横截面的位移解：首先作直杆的轴力图最大的轴向拉力为故最大正应力为:最大线应变为F=4KN,试求此杆的:A。tF题2-1FN,maxFN,max4FN,max:ZmaxOmax'maxE4000N5004.8N_801030.022404000,5004.8N44逐5004.8_15.94MPa-d23.140.022-15.94二106-0.797104200109当a（«为杆内

2、斜截面与横截面的夹角）为45。时,【max7.97MPa取A点为x轴起点，FnVx=7F(25.12x4000)N故下端处横截面的位移为:4l25.12x4000dx0EAEA1dx-(12.56xEA2+4000x)40一2.87mm2-2试求垂直悬挂且仅受自重作用的等截面直杆的总伸长L。已知杆横截面面积为A,长度为L,材料的容重为题2-2解：距离A为x处的轴力为Fn(x)Ax所以总伸长L|LFN(x)dx显Axr-dx月i0EA0EA22E2-3图示结构，已知两杆的横截面面积均为A=200mm2,材料的弹性模量4E=200GPa4在结点A处受荷载F作用，今通过试验测得两杆的纵向线应变分别为

3、角9的大小。£ 1=4X10,2=2X10 ,试确定荷载 P及其方位题2-3图题2-4图解：由胡克定律得1-1E-2001094104-800105Pa二2一2E一200109210一4-400105Pa相应杆上的轴力为-AN11N1180010520010f=16KN1N1iN=8KN2取A节点为研究对象，由力的平衡方程得N1Lsin30'二N2-sin30PP-sin,N1cos30N 2 cos30 P cos 丁解上述方程组得2一10.89二P21.17KN2-4图示杆受轴向荷载F1、F2作用，且F1=F2=F,已知杆的横截面面积为A,材料的应力一应变关系为e=c(y

4、n,其中c、n为由试验测定的常数。(1)试计算杆的总伸长；(2)如果用叠加法计算上述伸长，则所得的结果如何？(3)当n=1时，上述两解答是否相同？由此可得什么结论？(c)FFn解：（1 ）轴力图如图（ a）所示。 根据£=c。：F - 71 -C（空）nl a Al 2 _ _L2F_ n -c（）l a A贝U _.-（22 1）acF "11l 2An（2 ）采用叠加法。单独作用Fi时，轴力图如图（b）所示。1i- ac2nF1An,_F2：12 - a cnA单独作用F2时，轴力图如图（C）所示。巴li _ F n_ F n一c( )li _ a cna AA一_ _

5、F n . E一c( )l 2- 2 a cn2a AA山3acFn则1-An（3）当n=1时，上述两解答相同。结论：只有当后与0成线性关系时，叠加法才适用于求伸长(a)(b)CA 1CDC'(c)题2-5图b）所示，得-解：取C点分析受力情况，如图（Fcdf,FBc0因此只有CD杆有伸长lcDEA-FL变形几何图如图（c）所示，得xyoEA2-6刚性梁ABCD在B、D两点用钢丝绳悬挂，钢丝绳绕过定滑轮G、H。已知钢丝的E=210GPa,(c)用下结构变形如图（c）可得：解得：T7KN绳的原长L2428m绳的伸长量为-=一=80_I03-8=-LTL乳7高黑64.35103m在F作EA

6、21010910010题2-6图Lb讶Ld-L435103m(1)再由三角几何关系得：LbAB5LdAD9由(1)、(2)式联立可得:(2)Lb=1.55103m又因为:.LbAB5LcAC8所以，一Lc-2.49103m-2.49mm2-7图示结构中AB杆为刚性杆，杆AC为钢质圆截面杆，直径质圆截面杆，直径d2=25mm,E2=100GPa,试求：(1)外力F作用在何处(x=?)时AB梁保持水平？d1=20mm,E1=200GPa;杆BD为铜(2)如此时F=30kN,则两拉杆横截面上的正应力各为多少?解：(1).容易求得AC杆、BD杆的轴力分别为若要AB梁保持水平，则两杆伸长量应相等，即2-

7、xFn1-F广22从而AC杆、BD杆的伸长量FN1lll1=E1A14Fl14Fl1lx72二2E1d1E1d1l4Fl1于是，一4Fl2x2E1d1l2E2d2lFn2l2Zi.l2E2A24Fn2l24Fl2x2rE2d2E2d2l2l 1 E2 d2 l二22-gl1E2 d2 l 2 E1d1 1.5 1001.5-100100.02529292100.0251200100.020-1.08m(2).当F=30kN,x=1.08m时，两拉杆横截面上的正应力分别为A1F2一x22Jd_23010X-3.140.02221.08-44MPa2=230101.08A22TT-d-24X3.1

8、40.025=33MPa2- 8图示五根杆的较接结构，沿其对角线(b)(b)=0变能相(2达两力F移至B.D两点时，可知，只有BD杆受力，轴力为 FAC方向作用两力F=20kN,各杆弹性模量E=200GPa,横截面面积A=500mm2,L=1m,试求:(1)AC之间的相对位移又如何?(2)若将两力F改至BD点，则BD点之间的相对位移Abd解：(1)取A节点为研究对象，受力分析如图由平衡方程：Fax-0,FCOS45FAB运Fay_o,Fsin45_Fad_0得2-FabyFad_F_102kN2同理，可得：Fcd=Fcb=10v2kNB节点受力分析如图(c)y三，二一fab邑_Fx0Fbdco

9、s4520kNAB,BC,CD,DA四杆材料相同，受力大小相同，所以四个杆的应同，可求得整个杆件应变能为：FAB2"$2Fbd2L；_46.82J2EA2EA力F作的功为：W=FAac2由弹性体的功能原理得：W=、】1F'ac6.822ac-6.822-0.682mm20甑103题2-9图1.所以F 12BD2从而BD2- 9图示结构,2 , E=200GPa,试求每根杆横截面上的应力及荷载作用点B的竖向位移2F2L=v5=2EA2FL220103八小0.283mmEA200109500106已知三根杆AF、CD、CE的横截面面积均为A=200mm解：取AB为研究对象，选取如

10、图所示坐标轴,£=，即三故Fx0FndFnE,2Fnd sin30 0 ,VM,即十F0,FFna于是弹F/Fna.：FndIMa0,即3X2FNDsin306F0,于是FND-F_2210一20KN,解得：Fne=20KN所有构件的应变能为Fna10KN100304.60N02_Fa_Fb-010160202360430468Fb=0maxFsSzIzb由功能原理得，-Fs1bh2-127010340.7MPa<1MPa0.580.3F作的功在数值上等于该结构的应变能_1即：F峰工VI2&所以B2区：42.5F101038.5mm'2-10图示结构，已知四根杆

11、下端B点的位移。AC、CB、AD、BD的长度均为a,抗拉刚度均为EA，试求各杆轴力，并求q=F/a.2ADCBxq=F/aFCDyy刚，性杆(a)(b)BAFCDFF3F4F3F4B''xB'(c)(d)题2-10图解：（1）以B结点为研究对象，受力图如图（a）所示得F3F4r得F3=F4i与b）所示2受力图如图（以刚性杆为研究对象,由Fx.0得Fi='F2由Fy-0得F1,F2(21)F2(2)由于1,2杆的伸长变形，引起CD刚性杆以及B结点的下降(如图(c)囚B=d2&三"&曰工佛1EAEA2 Fa Fa由于3,4杆的伸长引起B点的

12、继续下降(如图(d)l一一F3a一B2与2.13也-.2则.lB - l B -lB12EA(2 2)2EA EAFa2- 11 重 G=500N, 拉力作用下将被拉断。EA边长为a=400mm的箱子，用麻绳套在箱子外面起吊如图所示。已知此麻绳在290N 的(1)如麻绳长为1.7m时，试问此时绳是否会拉断？(2)如改变a角使麻绳不断，则麻绳的长度至少应为多少?解：(1)取整体作为研究对象，经分析得本受力体系为对称体系由于箱子重G=500N,由竖直方向的受力平衡可知，每根绳子竖直方向受力为F=250N.FFa即Fcos-250.(1-7)2-(I)2而cos/=2J±0.9721722

13、50则f257N290N0.972于是，此时绳子不会被拉断.绳子被拉断时Fucos250其中Fu290N(L)2.(0.4)2则cos._250一0.862一22290L2解得：L_0.789m答：(1)N=417N(2)L=1.988m3题2-11图题2-12图2-12图示结构，BC为刚性杆，长度为L,杆1、2的横截面面积均为A,其容许应力分别为/和2,且。1=2(72,荷载可沿梁BC移动，其移动范围0VxvL,试从强度方面考虑，当x取何值时，F的容许值最大，Fmax等于多少？解：分析题意可知，由于1、2两杆横截面积均为A，而1杆的容许应力为2杆的二倍，则由公式F=。#A可知，破坏时2杆的轴

14、力也为1杆的二倍。本题要求F的容许值最大，即当力F作用在距离B点x的位置上时，1、2两杆均达到破坏所需的轴力，即一Fbd2Fec此时，对力的作用点求矩得：FbdxFec(Lx)-0L3-A 1 A解得：x一3此时，由竖直方向的受力平衡得：BDEC-max,一优5挺22- 13图示结构，AC为刚性杆，BD为斜撑杆，荷载F可沿杆AC移动，试问：为使BD杆的重量最轻，BD杆与AC杆之间的夹角9应取何值？解：如图所示，取整体为研究对象，对y 二得:a点取银，由Ma 0刚性杆-FM野髭磐弓FLBDsinlbdcos0而_一Fbd-AbdAlFLBD彩BD-1sin2；源.2W-AbJbd要想使重量最轻，

15、应该使sin29最大，即29=90o解得：0=45o题2-14图2- 14较接桁架承受水平力F=150kN,桁架所有杆件的许用应力(y=125Mpa,试求AB杆和CD杆所需的横截面面积。解：由零杆的判别条件知，图中BC杆为零杆。E'=得：取整体为研究对象，对a点取银，由Ma0F2Fd60解得：Fd取D节点为研究对象，由平衡方程得:FBD32FBD-2 Fd = 022232=唳3Fcd - 022FDF BDFd则可以解得:Fbd1.8FD-0.6FFcd0.83Fbd0.5Ffbd同理，对于B节点，也有平衡方程:则可以解得:3 F Fba = 0FabFbd-0.6F于是，由许用应力

16、定义得:AABAFABCD CD二 0.6 150_1000二 7.2 10 4 m 2 = 720mm 2 125 1060.5 1501000- 6 10 4 m2 - 600mm 26125 106E=200GPa ,若杆内应变能 U=4N m,试求此杆横截面上的最大正题2-15 图应变能代入数据Ue自上32EA1 2EA22EA3可得F 28.36 kNFF二产max - a 也三一 minA2= 90.3 MPa2- 16图示杆件的抗拉（压）刚度为EA,试求此杆的应变能题2-16 图FN图2-15圆截面钢杆如图所示，已知材料的应力。解：各截面压力相同为F解:如图所示，为杆件的轴力图，

17、则杆件的应变能计算应该分为两部分。U-UiU2其中Fi2L(3F)22a9F2a2EA2EAEAF22L(F)2aF2a2-二二2EA2EA2EA则:UU；U29F2aF2a_19F2aEA2EA2EA第三章3-1直径d=400mm的实心圆截面杆扭转时，其横截面上最大切应力域内所承担的部分扭矩。=100Mpa，试求图本阴影区max解：法1距圆心P处切应力为(-max阴影部分扭矩法2:Me=J005也P2区d7斯km丧0.05距离圆心处切应力为2(')一.maxdMe-()("dAi-A1Jtp)/秒dAA210.1Q2max73.6kN3-2将空心管切弹性模量分别为B和实心杆

18、A牢固地粘结在一起而组成一实心圆杆，如图所示。管B和杆A材料的剪答：实心杆:Gb和Ga试分别求出该组合杆承受扭矩Mt时，实心杆与空心管中的最大切应力表达式。GA'PADaMTT,空心管:maxGaIpaGbIpbIpa_GbLmaxGaIpaGbIpbDbMT2Ipb解：设实心杆受扭矩Ma,空心管受扭矩且两杆的最大切应力出现在外边缘处,由已知得Ma+Mb=Mt；对两杆接触截面的相对转角相同，即cpBMAlMBl所以Mb=GA1PAMGbIpbTGAIPAMb=mtGbipbGaIpaGbIpb+，GaIpaGbIPB则实心杆:空心管:DaMA2max三IpaGaIpaGaIpaGbIp

19、bDaMt乙,IpaDbMb2max=一IPBGBIPBGaIPAuGbIPB一DbMT2IPBABDaDb题3-2图轴的容许扭矩因此降低了多3- 3图示受扭轴，AB段因安装手轮，截面为正方形，试从强度方面考虑,少（用百分比表示）？BC(a)(b)题3-3图解：由题意可知，从强度方面考虑,即:<M截面为圆时,Tmax圆二公p圆一d3”住16当截面为正方形时,如图)1,边长b2r查表可得，当h一1时,b一一0.208.-L3二0.2082r=0.588r3所以TmaSO正xp正0.58r830.588r 3-37.5 0 0_Tmax正k-=Tmax圆所以降低为:1k=62.5003-4受

20、扭转力偶作用的圆截面杆，长L=1m,直径d=20mm,材料的剪切弹性模量G=80GPa,两端截面的相对扭转角小=0.1rad,试求此杆外表面处沿图示方向的切应变丫、横截面上的最大切应力Tmax和扭转力偶矩Me。答：丫=1X103,Pmax=80MPa,Me=125.6N?m解：由公式M=Ml-,Ip=2L_dGIp32得出me=125.6N?m且M=125.6=80MPa,maxb15710-p,6福x一由tegy，得y=.-80-40-9=1103一.G8010ML题3-4 图M e86o,如杆长L= 300mm，试求端截面的扭转角；如果材料的G= 2.7 MPa ,试求杆横截面上的最大切应

21、力和杆上的外力偶矩Me。题3-5 图解:90o86180 rad所以-d2-1.047radmaxG 27 10-4180-0.188 MPa3- 5圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后，原来表面上互相垂直的圆周线和纵向线间夹角变为另外2.367Nm所以G.d4Me-2.367Nm32L3-6一根在A端固定的圆截面杆端焊有一根不计自重的刚性臂，在截面AB如图所示，图中的a、b及此杆的抗扭刚度GI均为已知。杆在BC处有一固定指针，当杆未受荷载时，刚性臂及指针均处于水平位置。如现在刚性臂的端部悬挂一重量为F的重物，同时在杆上D和E处作用有扭转力偶Md和Me。当刚性臂及指针仍保持水平时，试求Md和

22、Me。题3-6Fb-Me+mdM图E解：扭矩图如图（a）所示要保证指针及刚性臂保持水平则1tfpAC=AtC0=(Fb-MeMd)a(FbMe)0AC-GIpGIp2Fb2Me+Md=0(1)-CB_(Fb-ME)a.Fb2a_0GIpGIp得Fb(1)、-4-一ME2Fb(2)两式联立(2)Md-4Fb3Fb3-7图示圆截面杆，其全长受集度为m=J的均布扭转力偶作用,并在中点受其矩为T的扭转力偶作用,试作此杆的扭矩图，并求杆的应变能。解:对1-1截面，有m=T/LT)L/2L/21题3-7图翟Mx*0,-T1-m(Lx)=0.T1一(L_x).Tx.T.L对2-2截面，有-Mx-0,-m(L

23、-x)T0.作出扭矩图.(2)杆的应变能T(x)2(TX)2LV.g=fdx=102GIp02GIpl(TxT)2T2Liridxldx尸:22GIp24GIp第四章弯曲应力(a)4-1试作下列梁的剪力图和弯矩图。q=60kN/mM=20kNmMXLfL2m2m(b)q0q0L/2L/2M=qa2/3题4-1解：(a)1、计算支反力由平衡方程:Ell(d)即-Ma二0Fb2aqa3a-qa-0得Fb-qar_即Y0FaFbqaqa得Fa一qa2qBFAFba(a)qaAC段:CB段:(b)1、2、列剪力、弯矩方程qaFs(x)_qx二M(x)nqx2-qax(0xa)Fs(x)=qx3qa2、

24、作剪力、弯矩图M(x)-qx2-3qax-qa2(ax;斛：2a)qa30Fs图IHIJqa|b-2计算支反力11I【L11qa30Fs图(kN)qa8图(b)(a)由平衡方程:4-60-260-0-2533得Fb30kN20=：Fa+=Fb60600得Fa30kN(b)2、列剪力、弯矩方程M ( x)AB段：Fs(x)45x2_60x给0-5x3=30x230x20(0x4)<LFbCAB64L04(c)L(0Fs(x)M(x)Fs(x)M(x)3L21244FsFsl444MM2(c)(d)由平衡方程q3qaA4ABC3qa0FB2424q0LqcLxqcl24FA列剪力、弯矩方程4

25、qcL22qaFb2、列剪力、弯矩方程qcLL1、计算支反力aqa一2qcx2M=qa2/3bqaFa0Fb2aqafa42q0Lxq0L2一2q。x2q0xURL一2q0x2q0xFa4L3、作剪力、弯矩图q0|44aqa2三0得Fb339qa2qa324a046q0LFaFb-4q0L5L02L(x23qa47qa2T2-3L2q0x3q0x(c)1、计算支反力由平衡方程:q0q0AC段:CB段(d)MYfartI、M3、作剪力、弯矩图AC段:CB段:Fs(x)=-qx3qa4Fs(x)天-2qx-5qaM(x)T34a(0xa)(d)M(x)=qx3=qx23axqa2(a<xfa

26、)6a2a3、作剪力、弯矩图4-2作图示梁的剪力图和弯矩图。(a)M=2qa2P=qa2.5kNm12kNm/mAB段:3Fs (x) - qx - 2qaM (x) 一 qx27 2qax - 5qa2( a x 3a)qa2qa2qa2M山(皿1%小二1川811111111111M 图川lULh、Wl川|»(kN ")飞+用55题4-2图解：（a）1、计算支反力由平衡方程：T即上MMa=0FB2a+qaa2qaaq-a2等0得FBqa工Y=0即a+b-2=0得A二FFqaqaF2qa2、列剪力、弯矩方程CA段：Fs(x)qaM(x)=qax(0<x<a)25

27、Fs图(kN)HOtl5(b)5kN 5kN m10kN/mluniur喙小. A D- lbF a 尸1Rm|- 1m2m I F B(b)(a)(b) 1、计算支反力由平衡方程：十一即又平北x卡.一一MA0Fb35120250得Fb10kN号一即十_Y0FaFb5200得Fa15kN2、列剪力、弯矩方程CA段：Fs(x)=飞M(x)="5x(0*x'1)AD段：Fs(x)=10M(x)=10x-15(FxW)DB段:Fs(x)_10x30M(x)5x230x40(2x")、作剪力、弯矩图(c)1、计算支反力由平衡方程:3a_qa2a0-225qaMaqa即FAq

28、aqaqa一0得Faqa,1rCP=qaq2、列剪力、弯矩方程_LqAB段:Fs(x)_qx帝qaM(x)一qx2,守qax-5qa22(0x：a)a(c)BC段:Fs(x)qx3qaM(x)T-qx2+3qax_4qa22(ax2a)、作剪力、弯矩图Fs图qamriini2qa1rjqallllllllll_qa6Fs图丁7qa25qa(d)1、5qa23qaqa2"6计算支反力(c)由平衡方程:=0即Fb3aqa3a_qa22-0得Fb二5qa60qaqaAFA2、列剪力、弯矩方程AC段:lqaFS(x)-6M(x)CD段:Fs(x)-qx7qa65qaDB段:Fs(x)M(x)

29、、作剪力、弯矩图(e)1、计算支反力由平衡方程:qax(0xa)626=_5qa5qa26x2qaa2qaqa20得Mcqa=2"2即Fcqaqa得Fc2qa2、列剪力、弯矩方程AB段：Fs(x)=0M(x)qa2(0xa)qa265qa26(d)“linnqaB(d)(a:x2a)<3a)L*qa/2qaMcFc(e)2BC段：Fs(x)qx-M(x)_qx2qa22+FsFs(kN)M)00.51kNBCDYFB2.2m2.3m2CA段Fs(x)(0(18x:4)M(x)-0.69x0.92AD(4x6.3)DB32kN0kN4kNFs4kN2kN10kN(a)(b)4-3

30、100.170.50.572.5(e)由平衡方程BFBF1.8)依据剪力与弯矩的微分关系作图Fs(x)-0.51列剪力、弯矩方程梁内若有集中力偶，则作用在右端4-3已知简支梁的剪力图如图所示，试作此梁的弯矩图和荷载图2.16M(kNAFA1.8m-Fa-0.51kN1、计算支反力4.52.51.24Fs(x)-0.51、作剪力、弯矩图M(x)-0.51x-3.22qa-2qa2qaM图.(kNm)3.68n1.18iinFs匕.1kNM图一(kNm)qa222/2.5kNm1.2kNm/mAM、作剪力、弯矩图0.51荷载图4kN,0.5k荷载图10kNq=3kN/m(b)(a)4-4已知简支梁

31、的弯矩图如图所示，试作此梁的剪力图和荷载图。FL/163FL/8L2M(c)FL题4-4qLFFsFsqF2(a)(b)1FFFs图2kNm8kNF3F(d)qqbCaCaMaqaaD(a)(b)(c)(d)由平衡方程aMaFs(kN)a2M(d)M(b)M(a)依据剪力与弯矩的微分关系作图(c)4-5试作图示简单刚架的内力图。qL/8aqaaqaqa2qL2a)1、计算支反力62mqa，a0得MaaCqL2/2L42m2mSa4"FLFL/8解:解:L/3L/3L/3Faxqa0得Faxqa即FAyqa0得FAyqa2、列内力方程AB段:Fn(x)_qaFs(x)_qaqa2M(x

32、)_qax-BC段:Fn(xi)=-qaFs(xi)一：qxi、作内力图由平衡方程得FAy-qaqxi2M(xi)二一2(b)1、计算支反力FAx_2qaAB段:BC段:2、列内力方程FN(x)二一qaFs(x)=qx+2qa(c)1、2、AB段:BC段:CD段:(0x1：a)2qaqa22Ma-3qa2Fn(xi)0、作内力图Fs(xi)-qaM(xi)-qaxiqx2+2qax3qa22(0.xia)(0二x2a)计算支反力Fd一,丁公、力/口M由平衡方程得FaM列内力方程Fn-M2aFn(x)-0Fn(xi)一2a、作内力图2a2aFs=0qajqa2113qaMFs(x)一2aMM(x

33、)-x2a(0x：2a)Fs(xi100M(0xi:a)(axi2a)NM(xi厂Fs图M图3(d) 1、计算支反力.一、一一3qaqa由平衡万程得FAx_qaFAy_FDy222、列内力方程3qaAB段：Fn(x)=_2Fs(x)=qaM(x)=qax(0:x：:2a)BC段：Fn(xi)qaFs(xi)=-qxi+-qaM(xr)qx-23qax1-2qa2(0<xi式2a)222qaCD段：Fn(x2)2qa(0x2a)Fs(x2)二0(ax2:2a)qax2-qa2(0x2:a)M(x2)0(ax不2a)23、作内力图4-6试作图示梁的内力图题4-6图(b2)(b1)解：对系统进

34、行受力分析(如图bl)由Fx=0得Fbx=2qlEmb=0得Fa=2qh因此图示梁的内力图如图b2所示。(M图有问题)4-7试从弯矩来考虑，说明为什么双杠的尺寸常设计成题4-7 图解：由题意只需要考虑两种临界情况即可。1、当力F在中间位置时，由对称可知Fa F b F / 2最大弯矩发生在正中，即 M maxiFL2242、当力F在最边缘位置时，由平衡条件：fM M a = 0 即 Fb L F (L a)f =0 得 Fb= F ”/"Y0 却 FaFbFO -_L a 得Fa - FLfaFb最大弯矩发生在 B处，即 M max 2 Fa所以，根据材料的许用强度可知，当两者相等时

35、最佳，即FL =44-8试推导梁受均布弯曲力偶 解：由题意如图所示，由平衡条件：m时的荷载与剪力、弯矩之间的微分关系。/口 - -m得FbLkY0 唧 FaFbOm得FaLBm所以 AB 段：Fs( x)L4-9已知悬臂梁及其剪力图如图a、b所示，若在梁的自由端无弯曲力偶作用，试作此梁的弯矩图及荷载图。从剪力图和弯矩图直接求出支反力和支反力偶，并在荷载图上画出其方向和转向。Fs(b)BA(a)L/2qLqa/2解：由剪力图知 AC段受均布力作用，大小为题4-9图q ; C点受集中力 F =qL ; BC段受均布力，大小为 q则可作出荷载图与弯矩图如下:荷载图qL2m图什人qL2闻44-10一悬

36、臂梁承受沿梁全长作用的分布荷载，梁的弯矩方程为M(x)=ax3+bx2+c,其中a、b和c为有量纲的常数。x的坐标原点取在梁的自由端，试求分布荷载的集度，并说明常数c的力学含义。题4-10图解：一M(x)ax3bx2c当X=0时'M(O)屋因此c表示自由端作用的弯矩为cq ex f 并且以自由端为IM(x)ax3bx2c为三元一次函数得知，集中荷载为一元一次函数，令原点建立坐标系(如图所示)x事()0 q l (x l )dl32naxbx c2bxx3即(I)一I0elf(x-l)dlax所以十。q6ax2b4-11一端外伸的梁在其全长L上有集度为q的均布荷载作用，如欲使梁在此荷载作

37、用下的最大弯矩值为最小，试求外伸端的长度a与梁长L之比。q解：1、计算支反力由平衡方程：M M A =0FB +(L -a) _qL LH 02工丫 0 即 a + b= s0F F qL2、列剪力、弯矩方程AB段:qL ( L 2a)Fs (x) qx2( L -a)题4-11 图qL2得 FB -2( L a)得 FA - qL(2a)2(L a)M (x) J-qx2 qL ( L 2a) x22(ra)(0 x L a)BC段：Fs(x)="qx+qLM(x)-iqx"+qLx一叫(La<x1)223、作弯矩图qL8 (L-a ) 2qa2'二疝白岫&

38、quot;一4、由弯矩图可知，当qL2 （L = 2a）2=qa 2时,最大弯矩值最小，8 （L - a）2 - 2二=（舍去）解得 a 0.293L 或 a 1.707L4-12独轮车过跳板，如跳板的支座 A是固定较支座，试从最大弯矩考虑，支座跳 板的受力最合理？B放在什么位置时,(a )题4-12 图xF/( L)-xFx(b )rrmTtnTinTfnTlLl上: hkD时，会在跳板上产生最大的弯矩。解：如图（a）所示，当F位于AB中点C或者位于跳板的右端点当F位于C处时：Fy=0所以Fa*Fb=0又与Ma=0所以一Fk+FbLx02F所以Fa=fb二一此时弯矩图如图（b）所示2乃N*-

39、=当F位于D处时：Fy-0所以Fa'Fb-F-0Ma0所以Fb(Lx)FL0FL得 Fb : L次此时弯矩图如图(因此Fa FFxFb _L -xc)所示。最合理时F (L x)M max1 M max 2 ，即 Fx二44-13开口圆环，其受力如图所示，已知环厚为L得x =_ ,因此当5h (垂直于纸面)，Lx _时最合理。5p为均匀压强，试求此环在任意截面1-1上的弯矩。解：如图，在任意截面1-1处,在1-1截面与开口之间取一小段长为Rd中,宽为h,则所受合力FpdS phRd对截面1-1处的弯矩为- 2 .M 二 FR sin = phR sin所以对整段环的合弯矩为M-w 俨

40、phR2 sintpd 中工phR2 (1oCOSy )4-14如图所示，已知bxh的矩形截面杆，其弹性模量为E,承受三角形分布载荷P ( x),其方向与x22轴夹角为a,试导出杆的内力与载荷的微分关系x解：取坐标为 x和dx处的两横截面，设坐标为P x处的横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为和。该处的荷载集度为M (x)q(x)横截面上的轴力、剪力和弯矩分别为Fs (x)丁 dFs (x)和 M (x)+dM (x)作用下平衡。FN (x) Fn (x)解得：dFN (x) 一dxFn ( x)、Fs (x),则在坐标为中 处x dxFn (x)*dFN (x)、梁段在以上所有外力ot =dFN (x) p(x)dxcos 0 ,p(x)cost ;再由 Z M c =0，即 M (x) 十，即+0Fs(x)Fs(x)dFs(x)p(x)dxsin解得：dFS(x)=-p(x)sina；dxdxh二阶无穷小项得:dM (x) _p(x)h cos 勺dxFs(x)dM(x)-