二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)（课堂PPT）

1、1二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题2练习：已知函数练习：已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 3练习：练习：已知函数已知函数f(x)= x22x 3.（1）若）若x 2，0 , 求函数求函数f(x)的最值；的最值；解：画出

2、函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，0 上为减函数上为减函数 故故x=-2时有最大值时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值时有最小值f(0)=-34例例1、已知函数、已知函数f(x)= x2 2x 3.（1）若）若x 2，0 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；（2）若）若x 2，4 ，求函数，求函数f(x)的最值；的最值；解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1由图知，由图知，y=f(x)在在 2，4 上为增函数上为增函数 故故x=4时有最大值

3、时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值时有最小值f(2)=-35例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 3.2x 3.（1 1）若）若xx 2 2，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，44，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； （3）若）若x ,求函数求函数f(x)的最值；的最值；25,21解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-45253( )124f 6例例1 1、

4、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 3（1 1）若）若xx22，00，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（2 2）若）若xx 2 2，4 4 ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值；（3 3）若）若xx ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 25,2123,21 （4 4）若）若x x ，求函数，求函数f(x)f(x)的最值；的最值； 解：画出函数在定义域内的图像如图解：画出函数在定义域内的图像如图对称轴为直线对称轴为直线x=1,由图知，由图知，x= 时有最大值时有最大值 x=1时有最小值时有最小值f(1)=-41213()124

5、f 7例例1 1、已知函数、已知函数f(x)= xf(x)= x2 2 2x 32x 325,2123,21 （4 4）xx （1）x2，0（2）x 2，4 （3）x 思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间m，n上的最值通常在哪里取到？上的最值通常在哪里取到？8总结总结：求二次函数：求二次函数f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+c+bx+c在在mm，nn上上 上的最值或值域的一般方法是：上的最值或值域的一般方法是： （2 2）当）当x x0 0mm，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)、f(xf(x0 0） 中的较大者是最大值中的较大者

6、是最大值, ,较小者是最小值；较小者是最小值； （1）检查）检查x0= 是否属于是否属于 m，n；ab2（3 3）当）当x x0 0 m m，nn时，时，f(m)f(m)、f(n)f(n)中的较大中的较大 者是最大值，较小者是最小值者是最大值，较小者是最小值. .9考点二二次函数的图象与性质考点二二次函数的图象与性质(高频考点高频考点)10练习求函数y=x2+2x+3 在x -2,2时的最值？11二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴动轴定区间、动区间定轴12B13 思考：思考：如何如何 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时的最值时的最值?

7、解析解析: 因为函数因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称的对称 轴为轴为 x=1 固定不变固定不变,要求函数的最值要求函数的最值, 即要看区间即要看区间k,k+2与对称轴与对称轴 x=1的位的位 置置,则从以下几个方面解决如图则从以下几个方面解决如图:14 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时时的最值的最值15 当当k+21即即k -1时时 f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-316 当当 k 1 k+2 时时 即即-1 k 1时时f(x)min=f(1)=- 4当当f(k)f(

8、k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即-1k0时时f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当f(k) f(k+2)时，时，即即k2-2k-3 k2+2k-3 即即0 k1时时f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-317 当当k 1 时时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-318 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时的最值时的最值 当当k -1时时 当当-1k 0时时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3当当0 k1时时f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3

9、f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(1)=- 4f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当当k 1 时时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3f(x) min=f(k)=k2-2k-319 例例: 求函数求函数y=x2-2x-3在在xk,k+2时的最值时的最值评注评注：例例1 1属于属于“轴定区间动轴定区间动”的问题，看作动区的问题，看作动区间沿间沿x x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向

10、及端点情况。意开口方向及端点情况。20练习练习：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxO1xy-121练习练习：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy22练习练习：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xx-11Oxy23例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1当当 即即a 2时时12 ay的最小值为的最小值为f(-1)=4-a解：24例例3：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的

11、最小值： 11 xxOxy1-1(2)当当 即即-2 a2时时2a y的最小值为的最小值为f( )=432a 121 a25例例2：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1(3)当当 即即a-2时时12 ay的最小值为的最小值为f(1)=4+a函数在函数在-1,1上是减函数上是减函数26练习练习：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1当当a-2时时f(x)min=f(1)=4+a当当-2a2时时2min324aaff 当当a2时时f(x)min=f(-1)=4-a2

12、7练习练习：若：若x ，求函数，求函数 y =x2+ax+3的最小值：的最小值： 11 xxOxy1-1Oxy1-1Oxy1-1评注评注：此题此题属于属于“轴动区间定轴动区间定”的问题，看作对的问题，看作对称轴沿称轴沿x x轴移动的过程中轴移动的过程中, ,函数最值的变化函数最值的变化, ,即对即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况变化情况, ,要注意开口方向及端点情况。要注意开口方向及端点情况。282练习练习: :已知已知x x2 2+2x+a+2x+a44在在x x 0 0，22上上恒成立，求恒成立，求a a的值。的值。 -1Oxy解解: :令令f(x)=xf(x)=x2 2+2x+a+2x+a它它的对称轴为的对称轴为x=x=1 1，f(x)f(x)在在00，22上单上单调递增，调递增，f(x)f(x)的最小值为的最小值为f(