刚体的平面运动

1、 SA1A2Myxo yxoAB)()()(321tftfytfxAA (xA,yA)yxoAByxoA B B x y x y +A B B A BBAA BAvv BAaa dtdtttt00limlimdtdOABPxy)sinarcsin(sintcosAltrtryrxA xPyPtlllrytlrltrxPPsin)()sin(1cos121 yxAB vByxOSvAvBAvABAABvvv ABvBA BAABvvv ABBAvvv BAABvvv , tanuvB , sinuvBA ABsin1 lulvBAABABBAvvv, tanuvB , sinuvAB sin1

2、lulvABAB BO0ABAABvvv coscos0rvvAB tantan0lrlvA lvBAAB vAvBAvBvA 2vvr252rrvvvCAA020202CA2AC tanCAACvvv BO0AvAvAvBAvBvCAvCvACO1OBCAvAvBvBAvABAABvvv02245cosrvvvABAB 0rv A021 ABvBAABCO1OBCAvBvCvBvCBCBBCvvv 0rBCvABCCB 022rv B02221045cos2rvvvvvCBBCBBC ABAB)()(ABvv cossinABvv vB BAABvvv ABAABBvv SAvAvBAvBv

3、AB)( ABvBA0 SAAvAvMAvLL 。ALLv MAAMvvv LL MAAMvvv AMvAM SAAvAvMAvMLPAvAP 0 APvvAPAvMAv SAAvAvMAvLLMSAAvAvMAvMLPS BPvBPBBvACBPPBvvv AvCvBPv ?SPS Av AvAvPA AvBvPAv BvABSAAvP AvS PABO：Av ， 。 rAB3 rOA BvP AvBvABABBABBPv cosr332 )(tgABvAPvAAAB ABABAAPrv 333 rrABOAvBvPABOBv研究研究连杆连杆AB：Av0 ABMAAMvvv Av MMvSA

4、AvBvBSAAvBBv 。0SPPSAAvBvBOOv Ov解：解：)(P0 PAvvRvO （）BvDvCv,2OBvv ,2OCvv ODvv2 ABCDP五五 O1OBCAvAvBvC22001 rrAOvAABC01210rCOvABCC 0122rBOvABCB 2011 BOvBBOrabRvAvBvCE0rvvBA cossinCBvv tantan0rvvBC tan0RrRvCC OOArROArACv )(01 cvvOrRCMv)(222 OrRCMvv)(2343 OrrR 3060ABvv 30cos1sm 231.030 cos30 cos OAvvAB1sm 6

5、93. 03 BBDvCDCBvvDEvv 30 cos30601sm 8 . 0 Ev3060230sin1rABACv 00122rrACvvAAB30602330 1rABBCv cos003223rrvB 3060002222323330cosrrvBCvCCCCvBvBvBCvC 2vBBCBCv 3033030bAOvA1113 bBOvB222 CAACvvv CBBCvvv CBBCAAvvvv 30 cosCBAvv CBBCAAvvvv bvvACB1230 cos 222121222460cos2 bvvvvvCBBCBBC由几何关系可得：由几何关系可得：方向：方向： C

6、ACvv xv ,cos30120501005060120501005060CBvv cos100srad 19. 4602 n6 .22 ,131250120120cos22 smm 272cos10 CDvB1srad 09.2 ABvBAB0 CDvC120501005060cos)cos(EBvv 6 .26arctan BCCE1smm 199cos)cos( BEvv00 CDvvABDBAB 1sm 5712m 2 .ABABMAMvMv751515 800m 929. 015 sinm 8 . 0 GDOGm 9 36. 315 cot11OEOGOEOCECvvm 591.

7、315 sin1 OGGCv751515 800 srad 297. 0111 vvEGEECOEECv sm 07. 111 vGEGGCv751515 8002vGBGGCv 60 cos222GvvGvBGBvGCBCvBCv srad 89. 060 cos1 ABvABvGBAB751515 800机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的；机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的；每每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度和角速度, , 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, , 不能认不能认为瞬心在其

8、他刚体上。为瞬心在其他刚体上。 例题例题15 15 平面机构中平面机构中, , 楔块楔块M: =30, v=12cm/s ; ;盘盘: r = 4cm , 与楔块间无滑动。求圆盘的与楔块间无滑动。求圆盘的 及轴及轴o的速度的速度和和B B点速度。点速度。解：轴解：轴O, 杆杆OC, 楔块楔块M均作平移均作平移, 圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，P为速度瞬心为速度瞬心, cm/s 12vvArad/s 32cos/12/ rPAvA)(m/s 343230sin4sinrPOvom722142242120cos22222OBPOOBPOPB) ( m/s 3 .182143272PBPBvB）(

9、 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接触点就是瞬心接触点就是瞬心, 只只有在接触面是固定面时有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点才是速度瞬圆轮上接触点才是速度瞬心。心。reaaaa BAABaaa aA ABatBA2 ABanBA4222)()( ABaaanBAtBABA2arctanarctan nBAtBAaanBAtBAABaaaa RaORaOvOaOnCOatCOaRvO RaRvdtddtdOO )(nCOtCOOCaaaa OtCOOnCOaRaRvRa 22RvaaOnCOC2 aAvARvBlvlvCAvAAAAB245sin AABBvCBv aAvARaB

10、aAnBAatBAanBAtBAABaaaa lvlaAABnBA222 xy45sin45sin45cos45cosAtBABnBAABaaaaaa 2222,22AAtBAAABvlaavlaa 2222AAtBAABvlalla AO1OB3203 vAvB0 OAvAAB03rOBvABB AO1OB20215ratB nAatAanBatBanAatAanBAatBAanBAtBAtAnABnBaaaaaa t200203,rraratAnA 2022rABaABnBA 201223rBOvaBnB nBAnAtAnBtBaaaaa 60cos30cos30cos60cosOArrv

11、)(21 ,)(21tOArra 221n)(OArra OArrrrv22122 OOrrrttrrrtt22122122ddd)(d tOOdd , 2122tOCArrra 2222122n)(OCArrrra ntntCACAAACaaaaa,ttCAAaanAanCAa2212122122221nn)()()(OOOACACrrrrrrrrraaa MtAanAatAanAanCAatCAantntMAMAAAMaaaaaoArra)(21t 221n)(oArra 222nraMA 22traMA OOOMAAMxrrrrrrrraaa)(2)(21221221tt 2221212

12、2212221nn2)()()(OOOMAAMyrrrrrrrrrrraaa 4222122122)2(4)(OOMyMxMrrrrraaa 2212)2(2 tanOOMyMxrrraa 100200100200PDrDeDvvv 其中：其中：vDe=vF30cos/FDvv 30cos2 BDPD1 -srad12 PDvDAD1sm 08. 2 PAwvADAvAOABEDCvBPrv2 ArvvAB20 AB OBvBOBEvevrvarvvveaED reavvv 0 rvOABEDCPtaaaaACnAC CA0 Ca0 tACa2ranAC 2raanACA aAaAnBatBa

13、tBAattaaaaaBAnBABnB A0 nBAa22ranB 60cos30cos60cosAtBnBaaa 23aatB 223 OBatBOBABaAOABEDCPEaEaarnEeatEeaCrEenEeEaaaaaa t00 Crav2ranEe 223ratEe 223raatEeEa 223raaEaED O1OO2ABCDvCvBEvA0332 BEvB0332aavvAC 02332 COvCCOEO1OO2ABCDvCvBvA02130cosavvAAr 06330sinavvAAe 063 OAvAeODvAevArArAeAvvv O1OO2ABCD20)31 (a

14、atC aBaBnCatCanCBatCBattaaaaaCBnCBCnC B20aaB 202312aaaCOnC 20234aaanCB nCBBnCtCaaaa 30cos60cos30cos202)31 (2 COatCCO20332aatCB 60cos30cosnCBtCBnCaaa 20332 BCatCBtaaaaABnAB BAO1OO2ABCDaB20aaB 20332aaatAB 20234aaanAB nABatABaCrAaaaaat eneaCarneatea202121aaaODne 20632avaArODC CrBaaaaaaatt eneABnABaBCte

15、tABnABBaaaaa 60cos30cos60cos206373aate 206373 OAateODxvAA BD E vBPvEevErvEarad/s1 PAvAABsmPEvvABEeE/2 . 0 ErEeEavvv smvvvEeErEa/15330cos2/ vAA BD EnBAatBAaaBtBAnBAABaaaa 22m/s4 . 0 ABnBAABa0 Aa2m/s34 . 030cot nBAtBAaa2rad/s3 ABatBAABxvAA BD E tEAnEAAEaaaa nEAatEAaaEraEaaCCErEeEaaaaa CErEAnEAEaaaaaa

16、t2m/s32 . 0ABtEAAEa2Cm/s153290sin2 ErABvaC30cosaaatEAEa 2m/s32 EaEDaa图示平面机构，杆图示平面机构，杆O1B和杆和杆OC的长度均为的长度均为r，等边三角，等边三角形板形板ABC的边长为的边长为2r，三个顶点分别与杆，三个顶点分别与杆O1B、OC及及套筒铰接，直角弯杆套筒铰接，直角弯杆EDF穿过套筒穿过套筒A，其，其DF段置于水平段置于水平槽内。在图示瞬时，杆槽内。在图示瞬时，杆O1B水平，水平，B、C、O三点在同一三点在同一铅垂线上；杆铅垂线上；杆OC的角速度为的角速度为，角加速度为零。试求，角加速度为零。试求此瞬时杆此瞬时杆

17、EDF的速度和加速度。的速度和加速度。 解：三角形板解：三角形板ABC作平面运动，杆作平面运动，杆O1B，OC均作定均作定轴转动，弯杆轴转动，弯杆EDF作平移。作平移。22 rrCBvCABCrrvABCA 2reavvv （1）对平面运动的三角形板）对平面运动的三角形板ABC，由，由B、C两点的速度两点的速度方向可以确定其速度瞬心在方向可以确定其速度瞬心在B点，所以三角形板的角速度点，所以三角形板的角速度为：为：以三角形板上的以三角形板上的A点为动点，点为动点，动系固连于弯杆动系固连于弯杆EDF上，根上，根据速度合成定理，有：据速度合成定理，有：三角形板上三角形板上A点的速度为：点的速度为：

18、Aavv 速度合成图如图所示，其中速度合成图如图所示，其中cvnnnAavv rvvae2130sin rvveEDF21 速度合成图如图所示，其中速度合成图如图所示，其中故所求弯杆故所求弯杆EDF的速度：的速度：（2）加速度分析）加速度分析以以C为基点，分析为基点，分析B点的加速度，有：点的加速度，有：ABC三角形板三角形板ABC的角加速度的角加速度 nBCBCCnBBBaaaaaatt（1）012 BOvaBnB2raC 加速度矢量图如图所示。其中加速度矢量图如图所示。其中cvnnn02 ABCBCra0 ABC将（将（1）式沿水平方向投影，）式沿水平方向投影，得：得：所以，三角形板所以，

19、三角形板ABC的角加速度为：的角加速度为：又以又以C为基点分析为基点分析A点的加速度，有：点的加速度，有：02 ABCACra2212rraABCnAC 其中：其中：nBCBCCnBBBaaaaaatt（1）nACACCAaaaat(2)cvnnn2243232130cosrraanACe243raEDF 方向与图中方向相反。方向与图中方向相反。 故弯杆故弯杆EDF的加速度大小为：的加速度大小为：沿水平方向投影上式，得：沿水平方向投影上式，得：以三角形板上的以三角形板上的A A点为动点，动系固连于弯杆点为动点，动系固连于弯杆EDFEDF上，上，根据牵连运动为平动时的加速度合成定理，有：根据牵连

20、运动为平动时的加速度合成定理，有： reAaaaaa(3)比较（比较（2）和（）和（3）式，得：）式，得：ernACACCaaaaacvnnnOBDllOA45AOBDllOA45AlvOEvBE vOBvBEB ntBEBEEBaaaa n45 cosBEBaa lvaaBEB2n245 cos lvBEaBEBE22n2 OBDllOA45Areavvv, eavv , 0r vvvvB elvOBvOA eOBllOA45AlvOBaOA22ne Baa ateaaa CaaaaarnetealvaaB2te2 22te2lvOBaOA aCarACOB60ACOB60reavvvABv

21、v avvv2360sinae 260cosarvvv lvAOvAB43e 60lvva4322reC lvaa432CteCrenetaaaaaa22te833lvAOaAB vxA cot Alx 60 2sinlv 2sinsin2sin222lvlv ,43lvAB 22833lvAB BOAC30BOAC302elOAv ABBAvvv reavvv e30sinvvvABB lvvvBAB )(2er30cosvvAB lv23r reABBvvvv ABvABABBOAC30BOAC30Aaa a0te alABaABAB22n lOAa22ne lva2rC32 nABtABBAaaaa Crteneaaaaaa BOAC30CrnenABtABaaaaa Cnt30cos30sinaaaABAB laAB2t33 2t33 ABaABAB1smm 310Av2smm 310Aa1smm50Bv2smm 10BaBavv vAreavvv ABA