2.3 变量间的相关关系

1、23变量间的相关关系变量间的相关关系第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计学习导航学习导航栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计新知初探思维启动新知初探思维启动1变量之间的相关关系及其判断变量之间的相关关系及其判断(1)变量之间的相关关系变量之间的相关关系相关概念相关概念变量之间常见的关系有如下两类：变量之间常见的关系有如下两类：a一类是一类是_，变量之间的关系可以用函数表示，变量之间的关系可以用函数表示例如，圆的面积例如，圆的面积S与半径与半径r之间就是函数关系，可以用函数之间就是函数关系，可以用函数Sr2表示表示b一类是一类是_，变量之间有一定的联系，但不能完全，变量

2、之间有一定的联系，但不能完全用函数来表示例如，人的体重用函数来表示例如，人的体重y与身高与身高x有关一般来说，有关一般来说，身高越高，体重越重，但不能找到一个函数来严格地表示身身高越高，体重越重，但不能找到一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系高与体重之间的关系函数关系函数关系相关关系相关关系栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计函数关系与相关关系的区别与联系函数关系与相关关系的区别与联系关系关系函数关系函数关系相关关系相关关系区别区别a.函数关系中两个变量之函数关系中两个变量之间是一间是一种种_；a.相关关系是一相关关系是一种种_关关系；系；b.函数关系是一种因果关函数关系是一种因果关系，

3、有这样的因，必有那系，有这样的因，必有那样的果例如，圆的半径样的果例如，圆的半径由由1增大为增大为2时，圆的面积时，圆的面积必然由必然由增加到增加到4b.相关关系不一定是因果关相关关系不一定是因果关系系,也也可能是伴随关可能是伴随关系系.例如例如,学学习态度差，数学成绩与物习态度差，数学成绩与物理成绩都很差这时数学成理成绩都很差这时数学成绩与物理成绩就是伴随关系绩与物理成绩就是伴随关系联系联系a.在一定条件下可以相互转化对于具有相关关系的两在一定条件下可以相互转化对于具有相关关系的两个变量来说，求得其回归方程后，又可以用一种确定个变量来说，求得其回归方程后，又可以用一种确定性的关系对变量的取值

4、进行估计；性的关系对变量的取值进行估计；b.从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况而相关关系是一种更为一般的情况确定性关系确定性关系非确定性非确定性栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计(2)两个变量相关关系的判断两个变量相关关系的判断散点图的概念散点图的概念将样本中将样本中n个数据点个数据点(xi，yi)(i1,2，n)描在平面直角坐标描在平面直角坐标系中得到的图形系中得到的图形正相关与负相关正相关与负相关a正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域b负相

5、关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计做一做做一做 1.下列关系中，有随机性相关关系的是下列关系中，有随机性相关关系的是_正方形的边长与面积之间的关系；正方形的边长与面积之间的关系；水稻产量与施肥量之间的关系；水稻产量与施肥量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；降雪量与交通事故的发生率之间的关系降雪量与交通事故的发生率之间的关系栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计解析：解析：正方形的边长与面积之间的关系是函数关系正方形的边长与面积之间的关系是函数关系水水稻产量与施肥量之间的

6、关系不是严格的函数关系，但是具有稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系相关性，因而是相关关系人的身高与年龄之间的关系既人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填.答案：答案：栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计最小二乘法最小二乘法栏目栏目导引导

7、引第二章第二章 统计统计想一想想一想 求线性回归方程时应注意的问题是什么？求线性回归方程时应注意的问题是什么？栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计答案：答案：3栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一相关关系的判断题型一相关关系的判断 现随机抽取某校现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：，数据如下：问这问这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系？例例1学号学号12345678910 x120 108 117 1

8、04 103 110 104 105 99 108y84648468696869465771栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计【解解】两次数学考试成绩散点图如图所示：两次数学考试成绩散点图如图所示：由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线附近，由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线附近，且且y随随x的变大而变大，具有正相关关系因此，这的变大而变大，具有正相关关系因此，这10名学生名学生的两次数学考试成绩具有相关关系的两次数学考试成绩具有相关关系栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计【名师点评名师点评】两个随机变量两个随机变量x和和y相关关系的确定方法：相关关系的确定方法：(1

9、)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；律，直观地判断；(2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；(3)经验法：借助积累的经验进行分析判断经验法：借助积累的经验进行分析判断栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计跟踪训练跟踪训练1下面是随机抽取的下面是随机抽取的9名名15岁男生的身高、体重表：岁男生的身高、体重表：判断所给的两个变量是否存在相关关系判断所给的两个变量是否存在相关关系编号编号123456789身高身高/cm165 157 155 175 168 157 17

10、8 160 163体重体重/kg524445555447625053栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计解：法一：根据经验可知解：法一：根据经验可知,人的身高和体重之间存在相关关系人的身高和体重之间存在相关关系.法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加法二：观察表格数据可知，人的体重随着身高的增加而增加,因此人的身高和体重之间存在相关关系因此人的身高和体重之间存在相关关系法三：以法三：以x轴表示身高，以轴表示身高，以y轴表示体重，得到相应的散点图轴表示体重，得到相应的散点图.如图所示：如图所示：我们会发现，随着身高的增高，体重基本上呈增加趋势所我们会发现，随着身高的增高，体重基本

11、上呈增加趋势所以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关以体重与身高之间存在相关关系，并且是正相关栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计题型二线性回归方程的应用及求法题型二线性回归方程的应用及求法 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量中记录的产量x(吨吨)与相应的生产能耗与相应的生产能耗y(吨标准煤吨标准煤)的几组对照的几组对照数据：数据：例例2x3456y2.5344.5栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计【解解】(1)散点图如图：散点图如图：栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目

12、栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计互动探究互动探究2如果把本题中的如果把本题中的y的值的值2.5及及4.5分别改为分别改为2和和5，如何求回归，如何求回归直线方程直线方程栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计题型三利用回归方程估计总体题型三利用回归方程估计总体 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x年和所支出的维修费用年和所支出的维修费用y(万元万元)有如下的统计资料：有如下的统计资料：例例3使用年限使用年限x23456维修费用维修费用y2.23.85.56.57.0栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计【解解】(1)画出散点图如图所示画出散点

13、图如图所示栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计【名师点评名师点评】回归分析的三个步骤：回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图散点图(2)求线性回归方程，注意运算的正确性求线性回归方程，注意运算的正确性(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差会有一定的误差栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计跟踪训练跟踪训练32013年元旦前夕，某市统计局统计了该市年元旦

14、前夕，某市统计局统计了该市10户家庭的年收户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入年收入x(万元万元)24466677810年饮食支出年饮食支出y(万元万元)0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计解：解：(1)散点图如图：散点图如图：由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点的趋由散点图可知，年收入越高，年饮食支出越高，图中点的趋势表明两个变量间确实存在着线性相关关系势表明两个变量间确实存在着线性相关关系栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章

15、 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示规范解答规范解答 线性相关关系的判断及线性回归方程的求解线性相关关系的判断及线性回归方程的求解例例4 某化工厂的原料中，有某化工厂的原料中，有A和和B两种有效成分，现随机抽两种有效成分，现随机抽取了取了10份原料样品进行抽样检测，测得份原料样品进行抽样检测，测得A和和B的含量如下表的含量如下表所示：所示：其中其中x表示成分表示成分A的百分含量的百分含量x%，y表示成分表示成分B的百分含量的百分含量y%.i12345678910 x67547264392258434634y241

16、52319161120161713栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计(1)作出两个变量作出两个变量y与与x的散点图；的散点图；(2)两个变量两个变量y与与x是否线性相关？若是线性相关，求出线性回是否线性相关？若是线性相关，求出线性回归方程归方程栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计散点图如图所示：散点图如图所示：栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计2栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计34栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计抓关键促规范抓关键促规范 将题中给出的将题中给出的y的值按一定顺序排列描点则可按一定的值按一定顺序排列描点则可按一定顺序进行顺序进行 利用散点图可直观地验证是否具

17、有相关关系利用散点图可直观地验证是否具有相关关系 将公式中所有涉及到的数据在表格中一一列出，以便将公式中所有涉及到的数据在表格中一一列出，以便计算减少失误计算减少失误 此步运算量较大，是关键点也是失分点此步运算量较大，是关键点也是失分点1234栏目栏目导引导引第二章第二章 统计统计跟踪训练跟踪训练4在在10年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之年期间，一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据：间的关系有如下数据：则则y对对x的线性回归方程是的线性回归方程是_第几年第几年12345城市居民年城市居民年收入收入x(亿元亿元)32.231.132.935.837.1某商品销售某商品销售额额y(万元万元)25.030.034.037.039.0第几年第几年678