第31讲导数的综合应用（5）-不等式的证明

1、第15讲 导数的综合应用（4）不等式的证明5.通过构造函数,以导数为工具,证明不等式或比较大小.证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值等于零；而证明不等式在区间上成立，等价于函数在区间上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大（笑）值问题.【例1】（2008山东 文）设函数，已知和为的极值点（）求和的值；（）讨论的单调性；（）设，试比较与的大小【解】（）因为，又和为的极值点，所以，因此解方程组得，经检验, ,时, 有极值.（）因为，所以，令，解得，以下将，的变化情况列表如下：减极小值增极大值减极小值增因为当时，；当时，所以在和上是单调递增的；在和上是单

2、调递减的（）由（）可知，故，令，则令，得，因为时，所以在上单调递减故时，；因为时，所以在上单调递增故时，所以对任意，恒有，又，因此，故对任意，恒有【例2】(2007安徽卷,理) 设，（）令，讨论在内的单调性并求极值；（）求证：当时，恒有【分析及解】（）根据求导法则有，故，于是，列表如下：20减极小值增故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值（）由知，的极小值于是由上表知，对一切，恒有从而当时，恒有，故在内单调增加所以当时，即故当时，恒有本题是证明,而不是证明,因此并不要求函数的最小值等于零,而只要求大于零即可.【例3】（2006湖南卷，理）已知函数,数列满足:证明: （I）;（II

3、） .【分析及解】（I） 先用数学归纳法证明， (i).当时,由已知显然结论成立. (ii).假设当时结论成立,即.因为时,所以在上是增函数. 又在上连续,从而.故时,结论成立.由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立.又因为时，所以，综上所述（II）设函数，由（I）知，当时，从而所以在上是增函数. 又在上连续,且,所以当时，成立.于是故【例4】(2007辽宁卷,理) 已知函数，（）证明：当时，在上是增函数；（）对于给定的闭区间，试说明存在实数，当时，在闭区间上是减函数；（）证明：【分析及解】（），因为，则，所以，（或由得，所以对，）所以，当时，在上是增函数.（）本题等价于存在实数，当时，在

4、闭区间上；由,令,由于是闭区间上的连续函数,所以, 一定有最大值,设该最大值为,则必有,于是,当时,有,即在闭区间上是减函数；（）证法1.把看作的函数,设,则.设则小于大于减最小值,增所以,的最小值为,从而于是,即.证法2. 设,等价于对所有恒成立,又等价于,即,以下证法同证法1.证法3. 设,对求导得,令,解得.当时,当时,所以, 时, 最小,以下证法同证法1.证法4. .设点,则点在直线上,点的距离的最小值是点到直线的距离.,又,所以,以下证法同证法1.【例5】(2007山东卷,理) 设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立

5、【分析及解】（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有唯一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）设，则不等式化为，即.设函数，则所以,当时，所以函数在上单调递增，又于是,时，恒有，即恒成立故当时，有因此不等式成立【例6】已知函数（）求

6、函数的单调递减区间；（）若，证明：【分析及解】（）函数的定义域为 由及，得 当时，是减函数，即的单调递减区间为 （）由（）知，当时，当时，0，所以,是的最大值.因此，当时，即,所以 构造函数 则 当时，0，当时，0 所以,是的最大值. 当时，即 ， 综上可知，当时，有 【例7】（2004日本大阪大学）（）当时，证明不等式（）为正的常数，时，曲线上有两点，试证明过点的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的.【分析及解】（）构造函数.当时,所以,函数在区间内是单调递减函数,于是,即成立.（）因为,所以.过点的切线方程为和由此解出,设,因为所以,且有.于是,因此,由（）的不等式及,有.所以, 过点

7、的的切线与过点的的切线的交点的横坐标是正的.【例8】已知函数的图象如图,试比较的大小.【分析及解】由图象可知,是奇函数,于是,即, 此时,.由于时,函数有极值,则,解得,再由解得,因而.【练习题】1.（2004全国卷，理)已知函数 （）求函数的最大值;（）设,证明 2.设，比较的大小.3.设函数，其中常数m为整数. （I）当m为何值时,； (II)定理: 若函数 在上连续,且 与异号,则至少存在一点,使. 试用上述定理证明:当整数时,方程,在内有两个实根.4.已知二次函数满足：在时有极值；图像过点，且在该点处的切线与直线平行.() 求的解析式.() 求函数的值域.（) 若曲线上任意两点的连线的

8、斜率恒大于，求的取值范围.【练习题参考答案】 1.（） 函数的定义域为. 令 当 当 又 故当且仅当x=0时，取得最大值，最大值为0. （）构造函数 则 当 在此内为减函数.当上为增函数.从而，当有极小值因为 即 再构造函数 则 当 因此上为减函数.因为 即 2.构造函数,则当时,于是,是增函数,因而.再构造函数,则当时,于是,是增函数,因而.由以上,且当时,等号成立.3.（I）函数,连续，且， 当时,为减函数,当时, ,为增函数,.根据函数极值判别方法，为极小值，而且对都有故当整数时，.(II)由（I）知，当整数时，函数,在 上为连续减函数.由所给定理知，存在唯一的而当整数时， 类似地，当整数时，函数,在 上为连续增函数且 与异号,由所给定理知,存在唯一的.故