数学物理方程教案3行波解

1、数学物理方程教案3教学内容行波法教学重点一维达朗贝尔行波解、三维泊松公式和推迟势教学难点平均值法和推迟势教学安排4学时主要内容：1、掌握行波解求解思路和一般步骤。2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。3、理解推迟势的物理意义。第二章行波法上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题， 那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、 分离变量法、积分变换法和格林函数法等。我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解 中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题

2、呢？ 也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过 研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对 某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困 难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分 方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次 波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物 理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播 规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引

3、起的振动就会一直向前传播出去, 形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为 行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔(D'Alembert )公式的导出对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题泛定方程：utta2uxx ， ( x ,t 0)(2.1)u x,0 x初始条件： ，(2.2)ut x,0 x式中， (x), (x) 为已知函数。因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的区域，所以不需提出边(2

4、.1)的通解。做变量代换，引入新的界条件。此定解问题即为 初值问题 。为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出自变量利用复合函数求微商的法则，可以得到uxx(ux )x2uux u(ux)ut uatat(ux)ut(2.3)utt(ut )t (ut)a a( u u将上面得到的utt,uxx代入式(2.1),)得到a(求上面方程的解，先对(ux)u，(u(2.4)a( u u(ut)(ut)，u ) (u u )u 2u u(2.5)(2.6)(2.7)2au2u2uu，(2.8)uuu积分，得0d0.(2.9)(2.10)(2.12)代入式(2.2)得再对 进行积分可得式中，f1, f2

5、 分别是u x,tf2的任意函数。f1f2，(2.3)代入此式，得到f1 x atf2 x at .(2.11)(2.12)容易验证， 只要f1 , f2 具有二阶连续偏导数，表达式 (2.12)就是自由弦振动方程(2.1)的 通解。下面我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数f1和f2 o即求满足定解条件的解。把式u(x,0)f1(x) f2(x)(x) ，(2.13)ut(x,0)af1 (x) af2 (x)(x)(2.14)fi(x)f2(x)x0)d(2.15)由(2.13)式和(2.15)式容易解得f1(x)f2(x)1212(x)(x)将f1 x和f2 x中的x分别换成x，、1，

6、、u(x,t) (x at)212a12aat和(x这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解 题的特解的一般表达式。例1.求解初值问题)d)dc2c2at，代入(2.12)得1 x at at)2a xat()d .(2.16)(2.17)(2.18)O它是一维无界齐次波动方程的初值问2utt a Uxxu |t 0 x,ut |t 04解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，(2.19)x x,达朗贝尔公式(2.18)有11 x atu x,t x at x at4d22a x atx 4t(2.20)2.1.2达朗贝尔公式的物理意义首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔

7、公式的通解式 理意义。先考察第一项(2.12)的物u1f1 x at ,它是方程(2.1)的解，对于t不同的值，就可以看到弦在不同时刻相应的振动状态。(2.21)在 t=0 时，U1 x,0f1 x ,它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1 (a)曲线f1(x a/2)表示的是t 0时的弦振动的状态(即初始状态)；在t 1/2时，u1 x,1/2的图形如图2.1 (b)所示；在t 1时，u1 x,1f1(x a)的图形如图2.1 (c)所示；在t 2时，u1 x,2f1(x 2a)的图形如图2.1 (d)所示。这些图形说明，随着时间的推移,f1 x at的图形以速度a向x轴正向移动，所以u1

8、 f1 x at表示一个以速度a沿x轴正向传播的行波。同理，第二项u2 f2 x at表示一个以速度a沿x轴负向传播的行波。所以说 达 朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播的 速度正好是弦振动方程中的常数a。也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法叫做行波法。(2.2)的达朗贝尔公式特解。从特解然后，我们研究满足初始条件(2.18)的表达式可以初始位移，一部分看出，沿x轴正、负方向传播的行进波，包含两部分，一部分来源于 来源于初始速度。至于行波的具体波形，取决于初始条件(2.2)。为了使这个概念具体化，我们分别对以下两种特殊情况进行讨论：(1) x 0

9、(只有初始位移，初速度为零的弦振动)此时由(2.18)给出,1u(x,t) (x at) (x at) .(2.22)2先看第二项，设观察者以速度a沿x轴正向运动，则t时刻在x c at处，他所看到的波形为x at c at at c .(2.23)由于t为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形 c ,可见， 波形和观察者一样，以速度a沿x轴正向传播。所以， x at代表以速度a沿x轴正向，称为正行波。而第一项的x at则当然代表以速度 a沿x轴负向传播的波，称为反行波。正行波和反行波的叠加(相加)就给出弦的位移。(2) x 0 (即只有初速度，初始位移为零的弦振动)此时式(2

10、.18)给出u(x,t)1 x at2a xat()d ，(2.24)x 设 x为的一个原函数即2a(2.25)则此时有u x,tatx at(2.26)由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波, 位移。正、反行波的叠加（相减）给出弦的所以，达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加例2.设初速度 x为零，初始位移为(x2x0)(x)2x(2.27)(0(x的无界弦的自由振动位移。解：则此时达朗贝尔解（2.18）给出了弦的位移为图2.2弦的波动示意,、1 u（x） -2即初始位移（图2.2最下一图的粗线），(x at)它分为两半(xat)(2.28)（该图细线），分别向左右两方以速度a移动（见图中由

11、下而上的各图中的细线）,每经过时间间隔 ,弦的位移由此二行波4a的和给出（见图中由下而上的各图粗线）O2.1.3依赖区间和影响区域1 .依赖区间由达朗贝尔公式(2.18)可看出，定解问题(2.1卜(2.2)的解在一点x,t:x ,t 0处的值，仅依赖于 x轴的区间x at,x at上的初始条件，而与其它点上的初始条件无关。我们称区间x at,x at为点x,t的依赖区间，它是过点 x,t分别作斜率为 1/a的直线与x轴所交截而得的区间。如图 2.3所示。图2.3依赖区间2 .影响区域从一维其次波动方程的通解u x,tf x at f2 x at可知，波动是以一定的速度 a向两个方向传播的。因此

12、，如果在初始时刻t 0扰动仅在一有限区间 x1，x2上存在，那么经过时间t后，它所传到的范围就由不等式x at x x2 at, (t 0) ,(2.29)所限定，而在此范围外仍处于静止状态。在x,t平面上，上述不等式所表示的区域如图2.4,称为区间x1,x2的影响区域。在这个区域中，初值问题的解u x,t的数值是受到区间x1,x2上的初始条件影响的； 而在此区域外，u x,t的数值则不受区间x1,x2上初始条件的影响。特别地，当区间 x1,x2缩成一点x0时，点x°的影响区域为x0 at x x0 at, (t 0) ,(2.30)这是过点x0作两条斜率各为1/a的直线x x0 a

13、t和x x2 at所夹的三角形区域。如图2.5所示。从上面的讨论中，我们看到在x,t平面上，斜率为1/a的直线x x0 at对波动方程的研究起着重要的作用，它们称为波动方程的特征线，且特征线族x at c (任意2 o 2常数)正是波动万程的特征万程dxa2 dt 0的特征曲线。图2.5 x0的影响区域从本节的学习我们可以看到，行波法是以波动现象的特点为背景的变量变换为出发 点的。它先求通解，再用定解条件求特解，与求解常微分方程的方法相近，故而思路简 洁，用于研究波动问题也很方便。但因为一般偏微分方程的通解不易求，用定解条件求 特解有时也很困难，所以这种解法有相当大的局限性，一般只用于求解波动

14、问题。2.2半无限长弦的自由振动对于半无限长弦的自由振动的定解问题的研究，需要根据端点所处的物理状态（即边界条件）的不同分别加以讨论。1 .端点固定（即第一类齐次边界条件）一端固定的半无界弦的自由振动的定解问题为泛定方程：utt a2uxx, 0 x ,t 0（2.31）边界条件：U 0,t0,（2.32）初始条件：u X,0 X ,（2.33）Ut X,0 X其中边界条件表示 x 0端弦是固定的，求解区域是x,t平面上的第一象限。对半无限长弦问题的处理基本思想是设法把它化为无限长弦问题，借助已知的达朗贝尔公式加以 解决。从物理上我们可以设想：半无限长弦在端点的反射波可视为无限长弦在X 0部分

15、传播过来的“右”行传播波，且保持端点处为波节。从而半无限长弦问题可以作为特定的(u x,t |x 0 0)的无限长弦问题。从数学上可以这样考虑：利用 延拓法，把半无界区间延拓到整个无界区间。用无界域上的波函数，它既满足达朗贝尔公式，又要满足1 u(x,t)|x 0 -由于函数 x , x的任意性,(at)必须把奇函数。这样我们把上述初始条件改为u x,0at)2a x1x0 0,即at()dat延拓成0.(2.34)区间上的ut x,0这样处理后，因为函数定义在式(2.18),于是得然后利用为此,x,tatx的奇函数特性，最终用(2.35)(2.36)整个区间,x at平面上的第一象限应分为两

16、个区域，如图所以可以直接应用达朗贝尔公12ax atx atd ,(2.37)来表小O2.6所示:(1)(2)由图at,t0;x at,t 0。2.6可见，由于在x间内，因此解只依赖于t 0、at区域内的任何点的依赖区间全部位于(t 0,x 0)的区x 0的初值条件，所以在区域(1)内的解，只须将 x与 x的具体形式直接代入式(2.37)即可得到,u x,t u x,t2 (x at)(x at)1 x 凯,t 0,x at()d2a x at .而区域(2)内的点的依赖区间已跨越到负 x轴上去了。因此要利用x与(2.38)x的奇函数特性，得u x,t1u x,t(x at)(x at)(at

17、(atx)x)2a12ax at0atat()d)dx at()d(2.39)0,0 x at我们来讨论上述解的物理含义：若x at,我们看到其解就是达朗贝尔解，这说明端点的影响尚未传到。为简单若0 x at,此时的解与达朗贝尔解不一样，这说明端点的影响已经传至|J。起见，设初速度为零，此时u x,t1一 (x at) (at x), 2(2.40)其中第一项，由上节讨论得知是沿 于第二项是由端点传来的以速度x0处如射波和反射波的相位始终x轴负向向端点传播的反行波，在此称为入射波。至a沿x轴正向传播的正行波，在此称为反射波。注意在端点u x,t |x0 0,即弦始终不动，这说明在端点 相反，这

18、种现象我们称为 半波损失。2 .端点自由（即第二类齐次边界条件）定解问题转变为泛定方程:2a Uxx,t 0(2.41)(2.42)边界条件:初始条件:uUtx,0x,0(2.43)同“端点固定”的分析方法相同，我们采用延拓法,将半无界问题延拓为无界问题。在此边界条件下，应设 00和因此应将x与 x延拓成在条件自然会得到满足。即将定解问题（2.31）（2.33）的初始条件改为u x,0(2.44)ut x,0(2.45)这样处理之后，由于函数定义在 尔公式（2.18）,于是得到1u x,t 一2然后，像上面的步骤一样，利用整个区间上,因此可以直接应用达朗贝at1x at 一 2ax atx a

19、t(2.46)x的偶函数特性，将 x, t平面上的第0 0,这样才能保持端点自由（即ux 0,t 0）,x 整个区间上的偶函数，这样x 0端的边界一象限分成两个区域(1) x当t 0,x at时at及(2) x at 0最后得到:1u x,t u x,t 一 (x at) 2当 t 0,0 x at 时1 x at(x at)函 xat ( )d '(2.47)u x,t u x,t1 (x at)21 (x at)2从上面的分析可以看出，当1 x at0(at x)2- 0( )d xat ( )d . (2.48)2a1 x atat x(at x)n 0( )d 0( )d2at

20、 0,x at时，端点的反射波影响还未达到x点，所以它和无界域的达朗贝尔公式相同；当 t 0,0 x at时，端点的影响已经达到 x点，端点的运动状态由初值函数引起的波动和端点反射波共同决定，不过此时无半波损失。例3.半无限长的弦，初始位移和初始速度都为零，端点作微小的横振动 u |x 0 Asin t ,求解弦的振动规律。解：此物理问题转化为下列定解问题2utta uxx, 0 x ,t 0u x,0ut x,00.(2.49)u 0,t Asin t由定解条件知，此弦的振动是单纯由端点的振动引起的。因此，在 x 0区域，弦振 动应按右行波传播。故可令，其解为 u x,t f x at ,代

21、入边界条件，得Asin t f at , t 0(2.50)为确定函数f ,令z at得z f z Asin z/ a Asin ,z 0(2.51)a于是得x atu x,t Asin Asin t x/a , t x/a .(2.52)a2.3三维波动方程的泊松公式我们已经在2.1节讨论了一维波动方程的初值问题，并获得了达朗贝尔解，但波在三维空间的传播的情况更具有普遍意义。例如，在研究交变电磁场在空间中的传播时，就 要讨论三维波动方程。本节我们讨论三维波动方程的问题。在三维无限空间传播的波动问题，就是要求下列定解问题。泛定方程：ut a2 u , x, y, z ,t 0(2.53)初值条

22、件:ult 0 M ut It o M其中M代表空间中任意一点。根据 2.1节中用行波法求解一维波动问题的思路，我们想到，若能通过某种方法将三维的波动问题转化为一维的波动问题，就可以借助2.1节的结果或仿照2.1节的方法来求得三维波动问题的解，事实上，在球坐标系中，u u(r,),如果波动在三维空间中传播时与(，)无关时，即具有球对称性时，可以化为 u u(r),显然就是一个一维问题，所以，通过某种转化，利用一维行波解的结果来得到三维波动 问题的解是一种可能的途径。为此，我们先介绍平均值方法。2.3.1平均值法首先定义一个函数11u r,t -2M0 u M ,t ds M0u M,t d ,

23、(2.55)4 r2 sr04sr0ds-其中d sin d d为立体角兀。显然，u r,t只是独立变重r和t的函数，称r之为函数u M,t在以M0为中心，r为半径的球面sM0上的平均值。而M0是一个参量，而且容易看出来u r,t和我们所要求的u M0,t0有很紧密的联系：u M0,t0 lim u r,t0 .(2.56)r 0因此，欲求波动方程(2.53)的解u M ,t在任意一点M0 ,任意时刻t0的值u M0,t0 ,只要先求u M,t在t0时刻，以Mo为中心，r为半径的球面sM0上的平均值，再令r 0即可。这种处理问题的方法称为 平均值法。图2.7 M0与M的坐标关系注意，如图2.7

24、所示，这里各坐标变量之间的关系为x Xo r sin cosy y0 r sin sin ,(2.57)z z0 r cos其中r222x Xoy y° zZo。下边我们来通过求三维齐次波动方程的通解来导出泊松公式。2.3.2泊松公式为了用平均值法求解三维的波动问题，我们对(2.53)式两边在球面sM0上积分并乘以交换微分和积分号的顺序得2t2sMo uttdoud2a4sM021a4ud ，oud(2.58)(2.59)由(2.55)式得2 _u r,t a u r,tt2又因为在直角坐标系中_2-2-2 -一 uuu(2.60)所以(2.61)由变量X和r的关系(2.57)我们有

25、uu rx_rxu222.x xx°NV。z 4,(2.62)L x ,u x x0 . r r2 -一 222 -2uu x %ru rxx0ux x2.322，(2.63)xrr rxrrrr类似地可得2u2y2 一 uz2222u r (y y°)u(y y°)322r rrru r2 (z z0)22u(z z°)2322r rr r(2.64)故有代入(2.60)得不妨令则可得2- 一uu2x2-u2 y2-u2r2-u2 z2tyu22 (ru)22u 3r r3r r2 (ru ) r(ru)，2(ru)， rv(r,t) ru(r,t)2

26、Vtta Vrr ,这就是一个一维的波动方程，其通解可以表示为v(r,t) fi(r at)fz(r因此v(r,t)fi(r at)u(r,t)注意到v(r,t)rru(r,t),当 r o时有 v(o,t) o,fi(at)f2( at)o,所以u(Mo，to)lrimou(r，to)limr 0而由(2.73)还可以得到故有2-2u r22r rat)，f2(r at) rlim皿 r o rfi(r ato)f2(r at。)(2.65)(2.66)(2.67)(2.68)(2.69)(2.70)(2.71)(2.72)(2.73)rfi(r ato)fi(ato) fz(r ato)f

27、?( ato)fi(ato)f2( ato)fi(ato)f2( ato),(2.74)(2.75)u(Mo,to) 2fi(ato),此即波动方程(2.53)在任意时刻to,任意一点Mo处的解，其中fi(ato)为任意函数。为了得到方程(2.53)满足初始条件(2.54)的特解，我们需要用这两个初始条件来确定(2.76)(2.76)中的任意函数fi(ato)。为此，我们将(2.71)两边乘以r后再分别对r和t求导一(ru) f(r at)fz(r at)，(2.77)(2.78)将此二式相加，并取r 到"ato)的值)则得at。，t 0(注意，这里之所以令t0是为了代入初始条件得2

28、 fi(at。)ai(rU)r at。 t 014 r2SM0UdsSr14 r2SM0UdSSrr at0 t 0(2.79)SrMo；«Srut .M0 dsrat0 014at0(M)at。Sat0M0at0ds(ru)fi(r at) f2(r将此结果代入(2.76),则得u(Mo,t。)t0SabM° at0S M0Sat0at0%s(2.80)注意到M0,t0的任意性，故一般可写为1 u(M,t)4 a tWdsat%ds at(2.81)其中M 表示以M为中心at为半径的球面sM上的点。(2.81)式，称此式为泊至此，我们得到了三维无界空间波动方程的初值问题的

29、解，即 松(Poisson)公式。2.3.3泊松公式的物理意义下面我们讨论泊松公式的物理意义。式(2.81)是三维波动方程式(2.53)(2.54)的解，它表示点M x, y,z和时刻t的值，仅与以点M为球心，at为半径的球面上的初始条件有 关。换言之，只有与点 M相距为at的点上的初始扰动能够影响到u x, y,z,t的值。为了形象起见，我们设扰动只限于区域 T0 (即初值函数 M 、 M 在空间某 个有限区域T0内，而在T0外为零)。在空间任取一点 M ,我们考察M点处，各个时刻 所受到初始扰动的情形。我们知道，函数u在点M和时刻t的值u M,t是由 M 、 M 在球面sM上 的值所决定。

30、也就是说，只有当球面sM和区域T0相交时，（2.81）中的积分才不为零，从而也才不为零。我们用d at1和D at2分别表示点 M到区域T0的最近和最远距离， 如 图2.8所示。显然，当at ati即t ti时，球面sM不与To相交，（2.81）中的曲面积分为零，因而 u M,t 0,这时扰动的“前锋”还未到达M点。从时刻ti到t2 （即d/a t D/2）, 球面sM和区域T0一直相交，（2.81）式中的曲面积分不等于零，这时 M点处于扰动状态。当t t2时，球面sM又不与区域To相交，u M,t又取零值，这时，扰动已经越过了 M点，即表明扰动的“阵尾”已经过去了。这表明初始扰动（包括初始位

31、移和初始速 度）都无残留的后效，即三维空间中局部扰动的传播无后效现象。如像人们讲话的每个 音节产生的波浪经过听话者的耳朵所在的地点之后，空气都静止下来等待下一个扰动的 到来。如果我们考察的区域 T0中任意点M0处的扰动，在某一时刻t0在空间中传播的情况， 扰动传到以Mo为中心，at。为半径的球面sM0上，所以解（2.81）式也称为球面波。这样， 在时刻to受到To中所有点初始扰动影响的区域，就是以点M 0 To为中心，ato为半径的球面族的全体。当to足够大时，这种球面族有内外两个包络面。我们称外包络面为传播 波的波前，内包络面为传播波的波后。当区域To是半径为R的球形时，波的波前（）和波后（

32、）都是球面，如图 2.9ato Rat。图2.9球形波振面示意波前以外的部分，表示扰动还未传到的区域，而波后以内的部分是扰动已传过，并 恢复了原来状况的区域。因此，当初始扰动限制在某一局部范围内时，波的传播有清晰 的波前和波后。这就是物理学中的惠更斯原理。P0，P。例4.设大气中有一个半径为 1的球形薄膜，薄膜内的压强超过大气压的数值为 假定该薄膜突然消失，将会在大气中激起三维波，是球球外任意位置的附加压强解：其定解问题是Rtapit 0R it 0如图2.10所示，设薄膜球球心到球外任意一点 时有P 0p0 (r 1)0 (r 1)0M的距离为r,则当r 1atSM(M )at，、2 .,0

33、 p0(at) sin d(2.82)p°atat22 2r at 12artp0at 1 cos 0(2.83)P0 rat注意（M ）pt |t 00 ,故由泊松公式可得.1P(M .t)-4 a t 14 a t(M )SM at(2.84)而当at r类似地,1和atP0.r at2rr 1时，由于 （M ）与 （M ）均为零,我们当然可以求得球内任意位置处的附加压强O故有 p(M,t)图2.10球形薄膜的波动示意例5.利用三维泊松公式求解下列问题解由泊松公式u(x, y,z,t)14 a t cm sr atatx 2y2Utta U,u |t 0 x 2y,x, y,zU

34、t |t 0 0,t 0(2.85)x at sin cos 2 yat sin sin2x 2y 0 dat0sin da2t2. 2 cos0前面所讨论的只限于自由振动,纯强迫振动。它的定解问题为泛定方程：初始条件:2(at) sinsin d. 2,sin d02.4强迫振动其泛定方程均为齐次的。现在我们来考虑无界弦的2 Utta Uxxf x,t ,(x ,t 0)(2.86)U|t00Ut |t 0 0.(2.87)这时泛定方程是非齐次的。由前面的讨论我们想到，如果能将方程中的非齐次项消 除掉(即将方程变为齐次方程)，就可以利用2.1节的达朗贝尔公式而得到此定解问题的 解。为此，我们

35、先介绍冲量原理。2.4.1冲量原理我们知道，(2.86)中的f x,t F(x,t) (F(x,t)是在x处外力的线密度，也即单位长度弦所受到的外力)是在时刻t,在x处单位质量的弦上所受到的力即力密度。这个力是持续作用着的，即从时刻零一直延续到某一时刻t,(当然，时刻t以后的力不影响在时刻t的振动，故可不考虑时刻t以后的力)。根据物理学中的叠加定理，我们可以将持续力f(x,t)所引起的振动(即定解问题(2.86卜(2.87)的解)，看作是一系列前后相继的瞬时力f(x, )(0t)所引起的振动(x,t;)的叠加。即tu(x,t) limo (x,t; ),(2.88)0现在我们来分析瞬时力f(x

36、,)所引起的振动。从物理的角度考虑，力对系统的作用对于时间的积累是给系统一定的冲量。我们考虑在短时间间隔内对系统的作用，则f(x,) 表示在 内的冲量。这个冲量使得系统的动量即系统的速度有一些改变(因为f (x,t)是单位质量弦所受的力，故动量在数值上等于速度)。即f(x, ) P V ,(2.89)其中 P为动量增量，V为速度改变量，由于f(x,)是单位质量的弦的受力，因此(2.89)式成立。由于 0 ,我们可以把时间内得到的速度改变量看成是在t时刻的一瞬间得到的，而在外的其余时间则认为没有冲量的作用，即没有外力的作用，则在这段时间里，瞬时力 f(x,)所引起的振动的定解问题就可以表示为2

37、tt a xx 0,tIt0.(2.90)titf(x,)为了便于求解，再令(x,t； )(x,t； ),(2.91)则有tt a xx 0It0(2.92)t It f x,(2.86)(2.87),只要求解定解(x,t； )，(2.93)(2.94)(2.86卜(2.87)的方法,称由上面的分析可以看出，要求解纯强迫振动即定解问题 问题(2.92)即可，从而ttu(x,t) lim (x,t; ) lim000即tu(x,t) 0 (x,t； )d .上面这种用瞬时冲量的叠加代替持续作用力来解决定解问题 为冲量原理。下面我们从数学上进行验证冲量原理的合理性。首先证明(2.94)满足初始条件

38、(2.87)。由式(2.94)知道t 0u(x,0)0(x,0； )d 0,(2.95)固定积分上下限相同，其值为零。这样(2.94)满足初始条件(2.87)。为了证明(2.94)也满足初始条件ut |t 0 0,需要用积分号下求导公式d 2t2t 3 t,'',3 t, d td 3 t, 22 t 3t,11 t ,(2.96)dt 1 tit t把式(2.96)应用于式(2.94),得t(x,t；t) 0Ut(x,t)0 t(x,t； )d (x,t;t),(2.97)由式(2.92)知(x,t；t) 0。所以tUt(x,t)t(x,t; )d(2.98)则得 0Ut(x

39、,0)0 t(x,0; )d 0,(2.99)可见初始条件(2.87)也得到满足。其次，证明(2.94)满足非齐次泛定方程(2.86),为此对式(2.98)再应用公式(2.96),得 tUtt(x,t)0 tt(x,t; )d t(x,t;t),(2.100)又由式(2.92)知t(x,t；t) f(x,t),所以有 tUtt(x,t)0 tt(x,t; )d f (x,t) ,(2.101)而 tUxx(x,t)0 xx(x,t; )d ,(2.102)把式(2.101)和式(2.102)代入式(2.86),得2t2Utt a Uxx 0 tt a xx d f (x,t) ,(2.103)

40、又由式(2.92)知tta2 xx 0,即得2Utt a Uxx f(x,t),(2.104)故(2.94)也满足非齐次方程(2.86)。这就验证了(2.94)确实是式(2.86)(2.87)的定解问题 的解。还应指出的是：(1)冲量原理也可以用于输运方程。但需注意，冲量定理只适用于单一 “源”(热源或强迫力)的问题一一即要求其它条件均为齐次的。(2)冲量原理也可以用于波动方程或输运方程的混合问题。但需注意，边界条件必 须是一、二、三类边界条件，甚至 x 0端与x l端的边界条件可以是不同类型(只要 (x,t;t)的边界条件的类型与原定解问题的边界条件相同就行)。2.4.2纯强迫振动根据冲量原

41、理，我们把求解式(2.86)(2.87)的问题转变为求(2.92)的初值问题。令T t ，则TT a xx 0(2.105)1T=00t|t=0 f(x，)故由达朗贝尔公式有v(x,t;)x atx a(t ) f , d f2a x at2ax a(t )d ，(2.106)代入(2.94)得1t x a(t )此即纯强迫振动的解。例6.求初始值问题解：由(2.107)有U(x,t)f , d d2a 0 x a(t )1UttUxx x, (x )U(x,0) 0,Ut(x,0) 0 t x a(t )2.4.3 U(x,t)。02a 01 t 4 0 1 .2 一 xt 2一般强迫振动d

42、 dx a(t )22x (t )x (t )2 d(2.107)(2.108)(2.109)(2.110)(2.111)(2.112)(2.113)(2.114)一般强迫振动的定解问题如下2Utt a Uxxf(x,t), ( x ,t 0)u|t 0(x)，Ut It o(x).对于这种定解问题，我们注意到泛定方程和定解条件都是线形的。利用叠加定理, 我们可以认为弦振动由自由振动的初值问题引起的和单纯又强迫力引起的振动的合成， 即令u(x,t) u (x,t) u (x,t)使u(x,t)、u (x,t)分别满足下列初值问题，即2Utt a Uxx 0,U It 0(x),(2.115)U

43、t It 0(x) ,(2.116)2Utta Uxxf(x,t) ,(2.117)U It 0 0 ,(2.118)Ut It 0 0 .(2.119)则(2.114)加上(2.117)即为(2.110); (2.115)加上(2.118)即为(2.111); (2.116)加上(2.119)即 为(2.112)。所以要求解定解问题(2.110)(2.112)只需求解定解问题(2.114)(2.116)和定解问 题(2.117)(2.119)即可。定解问题(2.114)(2.116)的解u (x,t)可由达朗贝尔公式得出；定解问题(2.117)(2.119)的解u (x,t)由(2.107)

44、式给出。所以一般强迫振动的解为u(x,t) u1 x at2a x at()d12 (x1 t2a 0at)x a(tx a(t(x at)(2.120)从物理概念上看，定解问题(2.110)(2.112)表示由外力因素f(x,t)和由(x)、 x所表示的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，它可以分解为单独只考虑外 力因素(初始位移及速度为零)引起的振动，即强迫振动，和只考虑初始振动状态(外 力为零)对振动过程所产生的影响，即自由振动的叠加。例7.求解下列定解问题2u下u |t 02u2x0,tsin x,t0)u . ci/,It 0 sinx (2.121)解：依线形方程解的结构，

45、按叠加原理，令 题可以分为下列两个定解问题：u(x,t)u (x,t)(x,t),则原定解问2u2 x0,uIt 0 sinx(2.122)2u .(2.123)2- tsin x x0,问题(2.122)的解，由达朗贝尔公式得，、1，u (x,t) - (x0 -2at)x tsinx t(xat) 2aatx at()d(2.124)sin xsin t而定解问题(2.123)可以用冲量定理来求。先解t20,2-0 x工1ta=1sinx(2.125)由达朗贝尔公式得，、1(x,t; ) 2 x a(t ) x a(tx (t )一 sin xdx2 x (t )tsin xsin(t )

46、于是问题(2.123)的解为 ttu (x,t)0 (x,t; )d 0tsin x sin t0所以原定解问题的解为1 x a(t )2a x a(t )sin xdxsin xsin t dd (t sint)sin x(2.126)(2.127)(2.(132)(2.(133)(2.(134)(2.(135)(2.(136)(2.(137)(2.(138)(2.(139)(2.128)u(x,t) u u sin xsint t sint sin x tsinx.2.5 三维无界空间的一般波动问题下面我们将研究更为一般的情况：有外力作用的三维无界空间的波动问题，即定解问题2Utt a u

47、 f (M ,t), ( x, y, z ,t 0)(2.129)u|t 0(M),(2.130)ut |t 0(M) .(2.131)根据叠加原理，此问题可分为下面两个问题来解决：第一个是求齐次方程满足非齐次初始条件的解；第二个是由强迫力引起的非齐次方程满足齐次初始条件的定解问题。令u u u ,而u , u分别满足下列方程2cutt a u 0 ,u |t 0(M),ut |t 0(M),utt a2 u f (M ,t), u |t 0 0 , ut |t 0 0 .(1)我们先来讨论定解问题(2.133)(2.135)的解。定解问题(2.133卜(2.135)是三维无界空间的柯西问题，由泊松公式得其解为 、1.1.u(x,y,z) -M -ds -2 qMds，4atsat t 4 aSat t.其中函数，中的变量应为 X,Y,Z,并且有X x at sin cos , Y y at sin sin , Z z at cos . (2.140)(2)对三维的非齐次波动方程的零初值问题(2.136)(2.138)可以像上节一样采用冲量原理来解决。即先求出无源问题ttItt |ta20f(M,)(2.141)的解v(M,t;)，而定解问题(2.136)