勾股定理种证明有图

1、勾股定理的9种证明（有图）【证法11 （邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积-ab把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，BF、C三点在一条直线上，C、G D三点在一条直线上v Rt AHAE 叁 Rt AEBF,丁. /AHE = /BEF. /AEH + /AHE = 90o,. /AEH + /BEF = 90o./HEF = 180o90o= 90o.四边形EFGK一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.v Rt A GDH0 Rt A HAE,丁. /HGD = /EHA.v /HGD + /GHD = 90

2、o,丁. /EHA + /GHD = 90o.又: /GHE = 90o,/DHA = 90o+ 90o= 180o. ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a b 2 4 -ab c22【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.P.V D、E、F在一条直线上，且RtAGEF应Rt A EBD,丁. /EGF = /BEDv /EGF + /GEF = 900 ,过C作AC的延长线交DF于点/BED + / GEF = 90丁. /BEG =180o- 90o= 90

3、o.又= AB = BE = EG = GA = c ,. ABEG是一个边长为c的正方形.丁. /ABC + /CBE = 90o.b/av Rt A ABC 0 Rt A EBD,/ABC = /EBD.丁. /EBD + ZCBE = 90o.即 / CBD= 90o.又; ZBDE = 90o, /BCP = 90o,BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFB一个边长为b的正方形.设多边形GHCB的面积为S,则21c2 S 2 -ab 2a2b2c2【证法3】(项明达证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a),斜边长为

4、QcBc.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形， 使E、A、C三点在一条直 线上.过点Q作QP/ BC,交AC于点P.过点B作BML PQ垂足为M;再过点F作FN1PQ垂足为N.v Z BCA = 90o, QP/ BQZ MPC = 90o,v BMXPQ,Z BMP = 90o,BCPM一个矩形，即/ MBC = 90o.v Z QBM + Z MBA = Z QBA = 90o,Z ABC + Z MBA = Z MBC = 90o,ZQBM =ZABQ又 三 Z BMP = 90o, Z BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt A BMg Rt A BC

5、A.同理可证 RtAQNFW Rt AAEF.从而将问题转化为【证法4（梅文鼎证明）.【证法4（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H C B三点在 一条直线上，连结BF、CD.过 C作 CLLDE交AB于点M交DE于点L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = /GAD A FAB 0 A GAD1 2: A FAB的面积等于2a ,A GAD勺面积等于矩形ADLM的面积的一半，一 一，一 一一一 2矩形ADLM勺面积=a .一.一 , _,一,2同理可证，矩形MLEB勺面积=b .V正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLE

6、B勺面积c2 a2 b2 ,即 a2 b2 c2.【证法5】(杨作玫证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b (b>a),斜边长为c.再 做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF，AC, AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP!AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE 交AF于H.v /BAD = 90o, /PAC = 90o, 丁. / DAH = / BAC.又: /DHA = 90o, / BCA = 90o,AD = AB = c , Rt A DHA0 Rt A BCA.DH = BC = a , AH

7、 = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 Rt A APB 公 Rt A BCA.即 PB =CA = b , AP= a,从而 PH = ba.v Rt A DGT 0 Rt A BCA , Rt A DHA0 Rt A BCA. Rt A DGT 0 Rt A DHA .DH = DG = a , / GDT = / HDA .又: /DGT = 90o, /DHF = 90o,/GDH = /GDT + /TDH = / HDA+ /TDH = 90o,. DGFH是一个边长为a的正方形.GF = FH = a . TF ±AF, TF = GTGF = b

8、a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + （ba）用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为SiS2S3S4S5cc1,.21.S8 s3 s4b b a ? a ba b ab2=2S5S8S9S3S4,21 ,_b3 abs8 = b2 Si S8把代入，得b2 S2S9 = b2【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别为a、 b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A E、G三点在一条直线上.用数字表示面 积的编号（如图）./TBE = /ABH = 90o,

9、ZTBH = / ABE.又; ZBTH = /BEA = 90o,BT = BE = b , Rt A HBT 0 Rt A ABE.HT = AE = a.GH = GTHT = ba.又: /GHF + /BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 90o , /GHF = /DBC.v DB = EBED = ba, /HGF = /BDC = 90o, Rt A HGF 公 Rt A BDC.即 S7 S2.过 Q作 QML AG 垂足是 M.由/BAQ = /BEA = 90o ,可知 /ABE =/QAM 而 AB = AQ = c ,所以

10、 Rt AABE 公 Rt A QAM .又 Rt A HBT 公 Rt AABE.所以 RtAHBT 公 Rt A QAM .即 S8 S5.由 RtAABE 0 Rt A QAM 又得 QM = AE = a, / AQM = /BAE./ AQM + / FQM = 90o, / BAE + / CAR = 90o, / AQM = / BAE/ FQM = / CAR.又; ZQMF = /ARC = 90o, QM = AR = a, Rt A QMF0 Rt A ARC.即 S4 S6.SiS2S3S4S5a2SiS6b2S3S7S8又; S7S2S8S5S4S6， ， ，22a

11、b Si S6S3S7S8=SiS4S3S2 S5AC = BD = b. AB2 BC2 AC2,即 c2 a2 b2, 2 22.a b c .【证法8】（利用反证法证明）如图，在RtAABCt,设直角边AG BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点 C作CD! AB,垂足是D.假设a2 b2 c2,即假设 AC2 BC2 AB2,则由_2_._ _ 2可知 AC AB?AD ,或者 BCAB2 AB?AB=abad bd =AB?AD AB?BDAB?BD .即 AD: ACwAC AB,或者 BD: BCwBCAB.在 A ADCffi AACB中，v /A = /A,若 AD:

12、 AO AC AB,则 /ADO / ACB.在 A CDBffi A ACB中，v ZB = ZB,若 BD BO BC AB,贝U/CD5 / ACB.又: /ACB = 90o,丁. /ADO 90o, / CD学 90o.这与作法CD!AB矛盾.所以，AC2 BC2 AB, 22. abc.的假设不能成立.2,22.a b c .【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 .22. 2a b a b 2ab ;把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形 ABCD212a b 4 -ab c2的面积为2= 2ab c .222ab 2ab 2a