数列求和方法总结

1、数列求和方法总结1直接求和适用于等差数列或等比数列的求和（指前n项和）问题，在四个量ai，d（或q）,n,an中，已知三个量时，可以求出Sn来，我们简称为“知三求和”问题.它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.等差数列前n项和公式：已知ai,n,an时，利用公式Snna1 an求和;已知d，d,n时，利用公式Snnaid求和.2等比数列前n项和公式：已知ai，n,q时，利用公式nSn21)求和;已知ai,q,an时，利用公式Sna1 anq ( q 1)求和. i q此式可看为一个等比数列的前n项和，且此等比数列首项为一一1一.1,公比为g,故可直接运用等比数列前n项和公式Sna1（1q）（

2、q1）求和.1q1 (1)n解Sn021UTd132nI一2例2一个等差数列的前n项和等于m,前m项和等于n(其中mn),试求这个数列的前mn项和.根据等差数列前n项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项al与公差d，然后运用Snai艺Ud求和.解设这个数列的首项为a,公差为d,根据已知条件，有naman(n1).dm2m(m1),dn21m2n得mnd(n1)(m1)=m2n2.2因为nm,所以d2(mn).mn22由此得mmnnmnmn于是,这个数列的前mn项和为cmnmn1,Smnmnad222mmnnmnnm12mnmnmn2mn2转化求和适用于不是等差数列或等比数列，不便直接求其前n

3、项和的数列.倒序相加法将 Snaia2an 与 Snanan 1a1两式相加，如果得到一个常数列，其和为A,那么SnA.2例3已知fx满足x1,x2R,当x1x21时，fxifx21,若212n1.Snf0f-f-ff1,nN,求Sn.nnn,1.由fxfx2'知只要自变量xx21即成立，又知21n1一,1,011-1,，则易求Sn.nn解因为Snf0f1f-fUf1,nnn一n11所以Snf1f口f1f0.nn+,得1n2Snf0f1f-fnn11-1n1.所以Sn(n1).224错项相减法如果数列anbn中的an和必分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为q(q 1),那么 Sna

4、1bla2b2anbn 与qSnaib2a2b3anbn 1两式“错项相减”可以求出Sn.例4求和：12n22n132n2n2n11.数列2n,2n1,2n2,2,1与1,2,3,，n,n1分别是等比数列(q 1)与等差数列(d2和.解令 Sn 1 2n 2 2n 1 3 2r则1 Sn 1 2n 1 2 2n 22-，得工Sn 2n 2n12c 0 c122n 1)212 1n 1 n2.2则 Sn 2n 2 n 3.1),可考虑用“错项相减法”求n 2 n 1 11 本(n 1) 2 n 1 + n 1 (222n 22 1 1 n 12n 1 n 1.22- n 1223.23裂项求和将

5、数列的每一项分裂成两项之差，如果求数列的前n项和时,除首尾若干项外，其余各项可以交叉相消.例6求Sn此数列an5555555555n个5n个9555555-(9999)-(10n1)故知拆项后是99个等比数列.n个5n个955n解因为an5555-(9999)-(101),所以Sn5(101)5(1021)5(10n1)99952n-(101010n)9510(10n1)910150(10n1)5n819例7求证13 1!114 2! 5 3!11<102 100! 2此为分数数列求和问题，仍然用裂项求和法，难点在于分母出现了阶乘，为此，需将数列的第k项作一些恒等变形，以便将其分裂为两项之差.因为"(k2)!1 (k1)!1(k 2)!(k1,2,100)所以,