中考数学二次函数动点问题

1、模式1:平行四边形 分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p使得A、B、C、P四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是对角线时，那么有 AP/BC(2)当边AC是对角线时，那么有 AB/CP(3)当边BC是对角线时，那么有 AC/BP例题1：(山东省阳谷县育才中学模拟10)本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4 , 0), B(0, -4), 0(2, 0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为 m, AAMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出 S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y

2、=x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.练习：如图1,抛物线yx2 2x 3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点，过点 P作PF/DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m.用含m的代数式表示线段 PF的长，并求出当 m为何值时，四边形 PEDF为平行四边形?设4BCF的面积为S,求S与m的函数关系.模式2 :梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点 p使得A、B、C、P四

3、点构成梯形，则可分成以下几种情况(1)当边AB是底时，那么有 AB/PC(2)当边AC是底时，那么有 AC/BP(3)当边BC是底时，那么有BC / AP例题2:已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0),点C的2坐标为(0, 2),直线y-x与边BC相交于点D.3求点D的坐标；2(2)抛物线y ax bx c经过点A、D、O,求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.$练习：已知二次函数的图象经过A (2, 0)、C(0, 12)两点，且对称轴为直

4、线 x= 4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点 B.(1)求二次函数的解析式及顶点 P的坐标；(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点 D,使四边形 OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒 七5个单位长度的速度由点P向点O运动，过点 M作直线 MNx轴，交PB于点N. 将4PMN沿直线 MN对折，得到PiMN.在动点M的运动过程中，设 ARMN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.模式3 :直角三角形分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置例如：请在抛物线上找一点

5、p使得A、B、P三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况(1)当 A为直角时，AC AB(2)当 B为直角时，BC BA(3)当 C为直角时，CA CB例题3：如图1,已知抛物线 y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y 轴交于点C(0, 3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点 D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交 CE于点F,交抛物线于 P、Q两点，且点P在 第三象限.当线段pq 3 AB时，求tan/CED的值；4Word资料P的坐标.当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请

6、直接写出点练习：如图1,直线yx轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(-2 ,(1)试说明4ABC是等腰三角形;(2)动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点 N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动.设 M运动t秒时，AMON的面积为S.求S与t的函数关系式； 设点M在线段OB上运动时，是否存在 S= 4的情形？若存在，求出对应的 t值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 AMON为直角三角形时，求t的值.模式4 :等腰三角形分类标准：讨论顶角的位置或者底边的位置例如：请在抛物线上找一点 p使得A、B、P三点构成等腰三角

7、形，则可分成以下几种情况(1)当 A为顶角时，AC AB(2)当 B为顶角时，BC BA(3)当 C为顶角时，CA CB例题4：已知：如图1,在平面直角坐标系 xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上， OA=2, OC=3,过原点 O作/AOC的平分线交 AB于点 D,连接DC,过点D作DE，DC,交OA于点E.(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；(2)将/EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点 F,另一边与线一. 、一 ，一 一，6 段OC交于点G.如果DF与(1)中的抛物线交于另一点 M,点M的横坐标为一，那么EF=52GO是否成立？

8、若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；Q,使得直线GQ与(3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点AB的交点P与点C G构成的4PCG是等腰三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.练习：(2012江汉市中考模拟) 已知抛物线 y = ax2 + bx+c(a>0)经过点 R12, 0)和C(0,6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式.(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段 AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点 Q以某一速度从 C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直

9、平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度；若存在，请说明理由.(3)在(2)的结论下，直线 x= 1上是否存在点 M,使 MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由.模式5 :相似三角形突破口：寻找比例关系以及特殊角 例题5:(据荆州资料第 58页第2题改编)在梯形 ABCD中，AD/ BC, BAXAC, / B =45°, AD = 2 , BC = 6,以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上。(1) 求过A、D、C三点的抛物线的解析式。(2) 求4ADC的外接圆的圆心 M的坐标，并求。M的半径。(3) E为抛物

10、线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当 ED+EC+ FD+ FC最小日EF的长。(4) 设Q为射线CB上任意一点，点 P为对称轴左侧抛物线上任意一点，问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的与 ADC相似？若存在，直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由。模拟题汇编之动点折叠问题21. (2012深圳模拟)(本题 12分)已知二次函数 y x bx c与x轴交于A( 1, 0)、B(1, 0)两点.(1)求这个二次函数的关系式；(2)若有一半径为r的。P,且圆心P在抛物线上运动，当。 P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.(3)半径为1的。P在抛物线上，当点 P的纵坐标在什么范围内

11、取值时，O P与y轴相离、相交？22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y x bx c的图象与x轴父于A、B两点，A点 在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0,-3)点，点P是直线BC下方的抛 物线上一动点.(1)分别求出图中直线和抛物线的函数表达式；(2)连结PO、PC,并把APOC沿C O翻折，得到四边形 POP'C,那么是否存在点 P,使四 边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-3 1分将B、C两点的坐标代入得:3b c 0b 2,解得：c 3c 3解：将B、C两点的坐标代所

12、以二次函数的表达式为：y x2 2x 3 .(2)存在点P,使四边形/2POP C为菱形设P点坐标为(x, x2x 3),PP,交CO于E若四边形POP/C是菱形，则有PC= PO.5.分/连结 PP 贝U PE± CO 于 E,3OE=EC= 2. . y = 3. x2 2x 3= - 6分222.10（不合题意，舍去）210解得 Xi= , X2 =2.P点的坐标为（-50,3） 9分223. （2012江西模拟）已知抛物线y x2 3x 4交y轴于点A,交x轴于点B,C （点B在点CP,过点P作直的右侧）.过点A作垂直于y轴的直线1.在位于直线l下方的抛物线上任取一点 线PQ

13、平行于y轴交直线1于点Q.连接AP.（1）写出A, B, C三点的坐标;（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧:如果以A, P, Q三点构成的三角形与 AOC相似，求出点P的坐标;若将 APQ沿AP对折，点Q的对应点为点在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由M是否存在点 P,使得点 M落在x轴上若存4. （2012 安庆模拟）在直角梯形 ABCD 中，/ B=90°, AD= 1 , AB=3, BC= 4, M、N 分别是底边BC和腰CD上的两个动点，当点 M在BC上运动时，始终保持 AMMN、NP±BC.（1）证明： CNP为等腰直角三角形；（2）设 NP= x,当 A

14、BMA MPN 时，求 x 的值；（3）设四边形 ABPN的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并指出x取何值时，四边形ABPN的面积最大，最大面积是多少.解：(1)过D作DQLBC于Q,则四边形 ABQD为平行四边形 DQ=AB=3, BQ=AD=1. QC=DQ ADQC 中/C=/QDC=45.RtNPC 为等腰 RtA (4 分) .VABMVMPN MP=AB=3, BM=NPNPC 为等腰 RtA”，1PC=NP= xBM=BC MP PC=1 x1- x= xx=2_ .1(8分)x+6=1( x-1 )+6.125(11 分).当 VABM VMPN 时，x = 1 2c111

15、 21(3)S四边形ABPN = _ (AB+NP) BP=- (3+ x)(4 x)= - x +-，当x取1时，四边形ABPN面积最大，最大面积为 6.125. （14分）25. （2012宝应模拟）在直角坐标系中，O为坐标原点，点 A的坐标为（2, 2）,点C是线段OA上的一个动点（不运动至 O, A两点），过点 C作CDx轴，垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点 B,连接OF,设OD = t. 求tan/FOB的值；用含t的代数式表示 OAB的面积S;是否存在点 C,使以B, E, F为顶点的三角形与 OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点

16、的坐标；若不存在，请说明理由.(1)作AH，x轴于H,交CF于P A(2,2) AH=OH=2 / AOB=45 .CD=OD=DE=EF= t . tan FOB 12t 2(2)CF/ OB ACFA AOBAP CF B 2 t t一 即AH OB 2 OB OB2t2 t12t Soab -OB AH (0 t 2)22 t6分(3)要使 BEF与OFE 相似，FEO=/FEB=90°，只要OEEBEF OEEF EFEFEB1即：BE 2t或 EB -t2当 BE 2t 时，BO 4t,2t,八人，3 4t t 0(舍去)或 t 一 ，B(6,0)2 t2_ ,1当EB -

17、t时，2 5(i)当B在E的右侧时QB OE EB -t,28 ,分t0（舍去）或t6一 B(3,0)510,分（ii）当B在E的左侧时，如图，OB OEEB -t,22t32-t t 0(舍去)或t 2 t23B(1,0)12分6. （2012广东预测）（本小题满分12分）如图,抛物线的顶点坐标是2且经过点A(8,14).（1）求该抛物线的解析式;（2）设该抛物线与y轴相交于点B ,与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边）试求点B、C、D的坐标;设点P是x轴上的任意一点，分别连结AC、试判断：PA PB与AC BC的大小关系，并说明理由2解：（1） （ 4分）设抛物线的解析式为1 .分;抛

18、物线经过A(8,14) , . 14= a2.分2)B(0,2)9 (或y8(2) (4 分)人，口 125令 y 0 得一x x 2 0 ,解得 x11、x242分22C(1,0)、D(4,0) 1分(3) (4 分)结论：PA PB AC BC 1分理由是：当点P与点C重合时，有PA PB AC BC 1分当点P异于点C时，直线AC经过点A(8,14)、C(1,0) , 直线AC的解析式为y 2x 2 3分设直线AC与y轴相交于点E ,令x 0,得y 2 , E(0, 2),则点E(0, 2)与B(0,2)关于x轴对称BC EC ,连结 PE,则 PE PB ,AC BC AC EC AE

19、 , .在 APE 中，有 PA PE AE PA PB PA PE AE AC BC1分综上所得AP BP AC BC1-分7.如图，已知二次函数 y= x2+bx+c的图象经过 A(-2, 1), B(0,7)两点.(1)求该抛物线的解析式及对称轴;(2)当x为何值时，y> 0?(3)在x轴上方作平行于 x轴的直线l,与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧),过点C、D作x轴的垂线，垂足分别为求C点的坐标.解：解：把A(2, 1), 口0,7)两点的坐标代入y= x2+ bx+ c,得一4 一2b+c= 1c= 7b= 2,解得c= 7所以，该抛物线的解析式为 y=-x2+2x+

20、 7,又因为y= - x2+ 2x+ 7 = - (x- 1)2+8,所以对称轴为直线x= 1.(2)当函数值y = 0时，-x2+2x+7=0 的解为 x= 1i2 5结合图象，容易知道 1 2 42Vx<1 +2 回寸,y>0.(3)当矩形CDEF为正方形时，设 C点的坐标为(m, n), 则门=m?+2m+7,即 CF= m?+2m+7.因为C、D两点的纵坐标相等，所以C、D两点关于对称轴x= 1对称，设点D的横坐标为p,则1 m = p 1,所以 p = 2m,所以 CD= (2 m)m= 2 2m.因为 CD=CF,所以 22m = m2+2m+7,整理，得m2- 4m-

21、5 = 0,解得m = - 1或5.因为点C在对称轴的左侧，所以 m只能取一1.当m = - 1时，n=- m2+ 2m + 7= ( 1)2+2X(1)+7 = 4.于是，点C的坐标为(-1,4).8.如图，在 ABC中，已知 AB=BC=CA=4cm, AD ± BC于D,点P、Q分别从 B、C两点同时出发，其中点 P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s ;点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s ,设它们运动的时间为x(s)。 求x为何值时，PQXAC; 设4PQD的面积为y(cm13 2 1. DP= 2-x,y= 2 PD QH = 2 (2-x)#3x= x +),

22、当0vxv2时，求y与x的函数关系式； 当0vxv2时，求证：AD平分 PQD的面积；(4)探索以PQ为直径的圆与 AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)。AQBP DC解：当 Q在AB上时，显然 PQ不垂直于 AC。当Q在AC上时，由题意得： BP= x, CQ=2x, PC= 4x,-.AB= BC= CA = 4, / C= 600,若 PQAC,则有/ QPC=30°,PC=2CQ .4x=2X2x, 1. x= ,5 当 x=4 (Q 在 AC 上)时，PQXAC; 5 当0vx<2时，P在BD上，Q在AC上，过点 Q作QHBC于H, .

23、/C= 60°, QC = 2x, . QH = QCKin60°=*x11 . AB = AC, ADXBC,，BD=CD = 2 BC=2 当 0vxv2 时，在 RtQHC 中，QC = 2x, /C= 600,，HC = x, . BP= HC,. BD=CD, .1. DP=DH,2 . ADXBC, QHXBC, ，AD/QH,3 .OP=OQSa pdo= Sa dqo,4 .AD平分 PQD的面积；(4)显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与 AC相离当x=4或暂时，以PQ为直径的圆与 AC相切。 55当0Wxv/或xv-或uvxw 4时，以PQ为直径的

24、圆与 AC相交。 5 5559.已知抛物线yx . a ： b = 1 ： 5,设 0A a ,即 x1 2(k 1)x k 2与x轴交于A、B两点，且点 A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上.(1)求实数k的取值范围；(2)设OA、OB的长分别为a、b,且a ： b=1 ： 5,求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，以 AB为直径的OD与y轴的正半轴交于 P点，过P点作。D的切线交x轴于E点，求点E的坐标。解：(1)设点 A ( x1, 0) , B ( x2 , 0)且满足 x1<0< x2由题意可知x1 x1k 20 ,即k 2a 贝u OB 5a 即 x2 5a a

25、 0Xix2XiX2a 5a 4aa 5a 5a22 k 1 4ak 2 5a2(3)由(2)可知，当 x2 4x即 A ( 1, 0) , B (5, 0)当PE是。D的切线时，PE± PD2由 RtDPOsRt DEP 可得 PD2DE即 32 DE.10.如图，抛物线 y=ax2+c (a> 0)中 A ( 2,0) , B ( 1, -3).(1)求抛物线的解析式；(2)点M为y轴上任意一点，当点标；32a2 二，k 2a 1 ,即 5a 2a 3 0 解得 41 ,5 （舍去） k 3，抛物线的解析式为y x2 4x 55 0时，可得 x11 , x2 5.AB=6,

26、则点D的坐标为(2,0)OD DE992 ,故点E的坐标为(2,0)经过梯形 ABCD的四个顶点，梯形的底 AD在x轴上，其M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使Sa pad=4S/ abm成立，求点P的坐标.解：(1)、因为点A、B均在抛物线上，故点 A、B的坐标适合抛物线方程4a c 0a 12解之得：；故丫 x 4为所求 4分a c 3c 4(2)如图2,连接BD,交y轴于点M,则点M就是所求作的点2k b 0k 1b 2'故BD的解析式为y x 2 ;令x 0,则y2 ,故 M （0, 2）设BD的解析式为y kx b ,则有k b 3AMB 90(3)、如图3,连接AM, BC交y轴于点N,由(2)知，OM=OA=OD= 2,易知 BN=MN= 1, 易求 AM 2*5, BM J2Svabm - 2也 <2 2；设 P（x,x2 4）, 2依题意有：；ADgx2 4| 4 2,即：4 4gx2 4| 4 2解之得：x 2a x 0,故 符合条件的P点有三个：P（2也 4）,P2（ 2也,4）,P