实变函数测试题与答案

1、实变函数试题11 .设 An,2 , n 1,2L ,则 lim An .nn2 . a,b :,，因为存在两个集合之间的一一映射为3.设E是R2中函数y1 cos一, x 0,Xx0的图形上的点所组成0的 集合，则E , E 4 .若集合ERn满足E E,则E为 集.5 .若，是直线上开集G的一个构成区间，则，满足:6 .设E使闭区间a,b中的全体无理数集，则 mE .7 .若 mE fn(x)/f(x)0 ,则说fn(x)在 E 上.8 .设 ERn, x。 Rn,若,则称 x。是E的聚点.9 .设fn(x)是E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若 0,有,

2、则称fn(X)在E上依测度收敛于f(X).10 .设 fn(X)f(X), X E ,则fn(X)的子列 fnj(X),使得 .二，判断题.正确的证明，错误的举反例.1 .若 A,B 可测，A B且 A B,则 mA mB.2 .设E为点集，P E ,则P是E的外点.L1,3 .点集E 1,2,L n，L的闭集.4 .任意多个闭集的并集是闭集.5 .若ERn,满足m*E ,则E为无限集合.三，计算证明题1 .证明：A B C A B U AI C2 .设M是R3空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心， 有理数为半径的球的全体，证明M为可数集.3 .设E Rn, EBi且Bi为可测集，i 1,

3、2L .根据题意，若有m* Bi E 0, i ,证明E是可测集.ln 1 x3 , x P4 .设P是Cantor集，f(x) 2x2,x 0,1 P1求(L) 0 f (x)dx .5 .设函数f (x)在Cantor集P0中点x上取值为x3,而在P0的余集中长为3n的构成区间上取值为6n 1,2L ，求f (x)dx.6.求极限：nim(R)一填空题1.0,2 .01nx -03 sin 2 3 n xnxdx实变函数试题解答2(x) tan x a ,x a,b .b a2，、1一一、,3. (x, y) y cos-,x0 U (0, y) y 1 ；x4. 闭集.5. , G. G

4、, G.6. b a.7. 几乎处处收敛于f (x)或a.e.收敛于f (x).08. 对 0, U (%,)有 E x .9. lim mE | fn(x)f (x)0n10. fn(x) f (x) a.e.于 E.二判断题1. F.例如，A (0,1), B 0,1 ,则 A B且 A B,但 mA mB 1.2. F.例如，0 （0,1），但0不是（0,1）的外点.3. F.由于 E 0 E.1 .1 一一4. F.例如，在 R1 中，Fnn，1 n , n 3,4L 是一系列的闭集，但是U Fn（0，1）不是闭集.n 35. T.因为若E为有界集合，则存在有限区间I , I . 、

5、. 、 * * * 使得E I ,则m E mI I ，于m E三，计算证明题.1. 证明如下：ABC A BI ? SC Sa1 S b ? SCAl S B C aU SB aUcA B U AI C2. M中任何一个元素可以由球心 （x,y,z）,半径为r唯一确 定，x, y, z跑遍所有的正有理数，跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集，故M为可数集.3. aB UBi,则E BBi且B为可测集，于是对于i ,i 1都有B EBi£,故_ * _ _ * _ _0 m B E m Bi E ,* 、一 . .，得到m B E 0,故B E可测.从而B

6、E可测.4.已知mP 0,令G 0,1 P,则1OO(L) 0 f (x)dx (L) Pln 1 x3 dx (L) Gx2dx(L) f(x)dxG(L) Px2dx (L) Gx2dxi(R) 0 f (x)dx5.将积分区间0,1分为两两不相交的集合：P0, G1,1G2L ,其中P。为Cantor集，Gn是P。的余集中一切长为3n 的构成区间（共有2n 1个）之并.由L积分的可数可加性，并 且注意到题中的 mP5 0,可得f ( x ) dx0(x )dx(x ) dx(x ) dx1 61 9"mG(x ) dxf ( x ) dxNx6.因为(R)nx _:3U7sin

7、 nx在0,1上连续,nx01 n2x3sin3 nxdx存在且与1(L) 01nxsin3 nxdx 的值相等.易知nx 2TSin nx1 n x1nx22 31 n x32nx222 31 n x12x1由于2yx在0,1上非负可测,收敛,且广义积分01女在0,1上（L）可积，由于. nx . 3lim- sin nx 0n 1 n2x3'x 0,1 ,于是根据勒贝格控制收敛定理，得到lim(R)nx qSin3nxdxn 01 n2x3lim(L)nxsin3nxdxn 01 n2x3ilim0 nnx 3 n .-sin nx dx123n xi0dx0、判定下列命题正确与否

8、，简明理由(对正确者予以证明,对错误者举处反例)(15分，每小题3分)1 .非可数的无限集为 c势集2 .开集的余集为闭集。3 .若mE=0,则E为可数集4 .若|f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测5 .若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积、将正确答案填在空格内(共 8分，每小题2分)1 . 可数集之并是可数集。A.任意多个B. c势个C.无穷多个D至多可数个2 .闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个3 .可数个开集之交是A开集B闭集C F 口型集D Ga型集4 .若|f| 在E上可积，则A. f在E上可积B. f在E上可测C. f在E上有

9、界D.f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理(共9分，每小题3分)。四、证明下列集合等式(共 6分，每小题3分)：1.（S-S，）n i2. Ef 间=Ef>a-， 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之交不一定是开集。(8分) 六、证明：设f(x)(x)为可积函数列，fx(x)-f(x)于E,且L |f 叱 |f|d，则对任意可测子集 eE有1 |f |d .|f|d * (7 分)七、计算下列各题：(每小题5分，共15分)f 网鼾1. - 1 1; sin(nx)d =1 1地1四有理教立、4I ¥ I工2

10、.设f(x)=咖历无理数求0d* =植.7 工EJ 1 i3 .设 f（x）=2*设-1 n=2,3,，求dx =一、判定下列命题正确与否，简明理由（对正确者予以证明，对错误者举处反例）1 .非可数的无限集为 c势集，（不正确！如：直线上的所 有子集全体不可数，但其势大于c） o2 .开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。3 .若mE=0,则E为可数集（不正确！如 contorP 口集外测 度为0,但是C势集）。4 .若|f（x）| 在E上可测，则f（x） 在E上可测（不正确! X E八方一：其中稣为炉中不可测集如 卜1皿-为）5 .若f（x） 在E上有界可测，则f（x） 在E上可积（不

11、正 确！如,三1六纪有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 .至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个势个 C.无穷多个D至多可数个2 .有限个 闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个3 .可数个开集之交是_G，型集A开集B闭集CF型集D G2型集4 .若|f| 在E上可积，则f在E上几乎处处有限A. f 在E上可积B. f 在E上可测C. f 在E上有界D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材，不赘述！）。四、证明下列集合等式(S-S)解:3-画 5一”。= n(UHtel=-(S-S ”)（

12、ii2。Ef 之 a= h Ef>a-司证明：或w左端=汇E=> jr e £且/（工）之事nxw E且对任意乩/R >a- -®1=>工在口豆丁二康一一1.1超二先后右端所以左端之右端,同理左端口右端， 故左端二右端 五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。证明：(分析法证明)设 一”N网再要证U”为开集，只须证明U事实上,iwQ二皿二,0»*&)uQ ,取共设业时，自然有底。(工盼二Qq I OCo故U W为开集。1川6 =(OP1-F-) COn无限个开集之交不一定是开集。反例：设二，则=31既不

13、是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x) , f«x)为可积函数列，f Mx) yf(x)于 e,且 L |f M |d K a-L |f|d "则对任意可测子集 euE有|f ： |d ；' I |f|d证明：因为f Mx)f(x) 于E,对任意£匚豆由Fatou引理知而已知f |f a|d £ f I |f|d 则对任意s由Fatou引理知：一方面|f|d ：=1另一方面,|f|d|fto二 |f 七 |d ； w_L 皿 if =" E J ,L - |Tf Hm|d ； = L = |flim r|d : w = Le |f ：

14、 |d ：, -j二，一|t . |d 二”工故坐11 |f制|d w即 1 |f|d、= ：，J|f "d七、计算下列各题：Im 与1. WR? sin(nx)d 3=?解：因为J sin(nx)0于0, 1则由页共4页J ,一. | < 1Lebesgue控制收敛定理知:rr jjjQ 标二- 'f ' sin(nx)d = 11 sin(nx)d r =0X *我眄1肝盲螳数2.设 f(x)=:川,1艘里数求gd，=?解:H为0J中有理数K为。刀中无理数=疝口打五 2匕于0 JSI口功9元二-lcO£7T|；=-所以 一R三 J. i J /w3

15、.设 f(x)=2" n n=2 n=2,3，求口d3=?MT) xeCl_Li解：因为f(x)= 曾 总7-ln=2,3,，在血】上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：5) £也工)工工但国 d；i=Q 2"1 内叫"2。一、选择题(共10题，每题3分，共30分)1 .设Q是R中有理数的全体，则在R中Q的导集Q是【 (A) Q (B)(C) R (D) R Q2 .设Fn是一列闭集，FFn ,则F 定是n 1【 (A)开集 (B)闭集 (C) g型集 (D) F型集3 .设E是R中有理数全体，则mE【 (A) 0(B)1(C) +oo (D

16、)- oo4 .下面哪些集合的并组成整个集合的点【 (A)内点，界点，聚点 (B) 内点，界点，孤立点(C)孤立点，界点，外点 (D)孤立点，聚点，外点5 . 设 P 是 Cantor 集 ， 则【】(A)P与Rn对等，且P的测度为0 (B) P与Rn对等，且 P 的测度为1(C) P与Rn不对等，P的测度为0(D)P与Rn不 对等， P 的测度为16 . 设 f (x) 与 g(x) 在 E 上 可 测 ， 则 E f g 是【】(A) 可测集 (B) 不可测集(C) 空集(D) 无法判定7 .设f(x)在可测集E上有定义，fn(x) min f(x),n ,则fn(x)是(A) 单调递增函

17、数列(B) 单调递减函数列(C) 可积函数列(D) 连续函数列8 .设E是任一可测集，则(A) E是开集(B) E是闭集 (C) E是完备集(D)对任意 0 ,存在开集G E ,使m(G E)则01 f(x)dxsin2x,x 01 Q f (x)1 2x,x 0,1 Q(A) 1(B) 2(C) 3(D) 410.设fn是E上一列几乎处处有限的可测函数，若对任意0,有下面条件成立，则fn(x)依测度收敛于f(x).【】(A) lim mE|fn(x) f(x) 0 (B) lim mE fn(x) f(x) 0(C) pmmE fn(x) f (x)0(D)lim mE fn(x) f (x

18、)0二、定理叙述题(共2题，每题5分，共10分)1 .鲁津定理引理三、判断改正题(正确的打对号，错误的打错号并改正，共 5 题，每题4分，共20分)1 .若E与它的真子集对等，则E 一定是有限集.【】2 . 凡非负可测函数都是 L可积的.3 .设A为R1空间中一非空集，若A a.则云a.【 4 .设E为可测集，则存在G型集F,使得F E,且m(E F) 0.15 . f(x)在 a,b上L可积，则 f(x)在 a,b R可积且(四、证明题(共4题，每题10分，共40分)1 .开集减闭集后的差集为开集，闭集减开集后的差集为闭集.2 . Rn上全体有理数点集的外测度为零.3 .设函数列fn在E上依

19、测度收敛f ,且fn h a.e于E ,则f h a.e 于E.4 .设 f(x)在 a ,b上可积，则 lim b f(x t) f(x)dx 0.7t 0 a判断题(每题2分，共20分)1 .必 有 比 a 大 的 基 数。()2 .无限个闭集的并必是闭集。()3 .若 mE 0, 则 E 是至多可列集。()4 .无限集的测度一定不为零。()5 .两集合的外测度相等，则它们的基数相等。()6 .若f(x)在E的任意子集上可测，则 f (x)在可测集E上可测。()7 . E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。()8 . f(x)是E上的可测函数，则f(x)可积。()9 .若 f(x) 0

20、且 E”x)dx 0,则 f (x) 0a.e.于 E。()10 .若| f(x)|在E上可积，则f(x)在E上也可积。()二、填空题(每题2分，共20分)1 .设 An (0,n),n 1,2,则 与 , An 。n 1n 12 .设 A 1,2,3, ,n,R1 ,贝U A0 , A' 。3 .设B是开区间(0,2)中有理点的全体，则 mB 。4 .单调函数的不连续点集的基数是 。5 .设 E 是0,1上的 Cantor 集，贝U E 。6 .闭区间a,b上的有界函数f(x) Rimann可积的充要条件7 .狄利克雷函数函数D(x)是 可积的，必x)dx °三、计算题(每

21、题10分，共20分).1 12、，21 .计算lim(R) 不dx。(提示：使用Lebesgue控制收敛th n01nx理)2 .设f(x)x,2x P0;，其中P0是Cantor集，试计算x ,x 0,1 Po0,1f(x)dxo四、证明题(每题 8分，共40分)1 .证明：x|x 0 x|x 1 n 1n2 .设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至多可列集。3 .如果mE 0,则E的任何子集也可测且测度为零。4 .设f(x)在E上可积, 且f(x) g(x).ae于E ,证明:g(x)也在E上 可积。5 .可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数

22、r ,集合Ef(x) r是可测集。一、单项选择题 (3分X 5=15分)1、1、下列各式正确的是()(A)limAnAk；(B) ljm AnAk ；nn 1k nnn 1k n(C)limAnAk；(D) Um AnAk；nn 1k nnn 1k n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是()(A) p c (B) mP 0(C) P' P (D)P P3、下列说法不正确的是()(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都 可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(切波雷耳集都可测4、设fn(x)是E上的ae有限的可测函数列，则下面不成立的是()(A)若 fn(X)f (X)

23、 ,则 fn(x)f (X) (B) SUP fn(x)是可n测函数(C) irif fn(x)是可测函数;(D)若 fn(x)f(x)，则 f(x)可测5、设f(x)是a,b上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在a,b上有界 (B) f(x)在a,b上几乎处处存在导数kb(C) f'(x)在a,b上 L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a) a二.填空题(3分X 5=15分)1、(CsA CsB) (A (A B) 2、 设E是 0,1上有理点全体，则 o , E =, E =, E =.3、设E是Rn中点集，如果对任一点集t都有，贝U称E是L可

24、测的4、f(x)可测的 条件是它可以表成一列简单函 数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f(x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分戈L使,贝U称f(x)为 a,b 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立若成立，则证明之；若不成立，则举反例说明.1、设E R1,若弱稠密集，则CE是无处稠密集。2、若mE 0,则E一定是可数集.3、若|f(x)|是可测函数，则f(x)必是可测函数。4.设f(x)在可测集E上可积分，若 x E,f(x) 0,则Ef(x) 0四、解答题(8分>< 2=16分).1、(8分)设f(x)1x2x;则f(x)在0,1上是否R可 积，是

25、否L可积，若可积，求生积分值。2、(8 分)求 lim n(xne xcosxdx n 0 n五、证明题 (6分X 4+10=34分).1、(6分)证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、(6分)设f(x)是 ，上的实值连续函数，则对于任意常数a,E x|f(x) a是闭集。3、(6分)在a,b上的任一有界变差函数 f(x)都可以表 示为两个增函数之差。4、(6 分)设 mE , f(x)在 E上可积，en E(| f | n),则lim n m3 0 . n5、(10分)设 f(x)是 E 上 ae有限的函数，若对任意 0, 存在闭子集F E,使f(x)在F上连续，且m(E F )，证

26、 明：f(x)是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)(15分，每小题3分)11 .非可数的无限集为 C势集12 .开集的余集为闭集。13 .若mE=0,则E为可数集14 .若|f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测15 .若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积二、将正确答案填在空格内(共 8分，每小题2分)16 .可数集之并是可数集。A.任意多个B. c势个C.无穷多个D至多可数个17 .闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个18 .可数个开集之交是 A开集B闭集C F型集D

27、G 型集19 .若|f| 在E上可积，则 A. f在E上可积B. f 在E上可测C. f 在E上有界D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（共9分，每小题3分）o四、证明下列集合等式（共 6分，每小题3分）：20.S-；S T(S-S。n 121.Ef =a尸Ef>a- "五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。（8分） 六、证明：设f（x） , fMx）为可积函数列，f，（x） *f（x）于E,且f |f叩出* J |f|d ,则对任意可测子集eE有?f |f 2d|f|d（7分）七、计算

28、下列各题：（每小题5分，共15分）hjgsin（nx）d =i工堀1井有理教Ls23.设 f(x)=磔1师无理数求JJ d24.设 f(x)= nn w-1 n=2,3,，求皿 d =、判定下列命题正确与否，简明理由（对正确者予以证明, 对错误者举处反例）6 .非可数的无限集为 c势集，（不正确！如：直线上的所 有子集全体不可数，但其势大于c）o7 .开集的余集为闭集。（正确！教材已证的定理）。8 .若mE=0,则E为可数集（不正确！如 contorP。集外测 度为0,但是C势集）。9 .若|f（x）| 在E上可测，则f（x） 在E上可测（不正确！ 丁=P ”心其中舔为戏中不可测集如 卜1共=

29、一片）10 .若f（x） 在E上有界可测，则f（x） 在E上可积（不正 确！如，三1院纪有界可测，但不可积）二、将正确答案填在空格内1 .至多可数个可数集之并是可数集。A.任意多个势个 C.无穷多个D至多可数个2 .有限个闭集之并交是闭集。A.任意多个B.有限个C.无穷多个D至多可数个3 .可数个开集之交是 GJ型集A开集B闭集C Fb型D G型集4 .若|f| 在E上可积，则f在E上几乎处处有限A. f 在E上可积B. f 在E上可测C. f 在E上有界D. f在E上几乎处处有限三、叙述有界变差函数定义、Fatou引理、Lebesgue控制收敛定理（见教材）。四、证明下列集合等式 （S-S

30、1）解：= sn（。行欧）卿 Tn-N一i 一二 ys-s）也n i2。Ef，a= U Ef>a-司证明：或w左端=TE Ef.a=工E £且/（才）之事=>无w E且对任意月>a- -®1nKwppU >-1=KE右端所以 左端匚右端，同理左端n右端， 故左端二右端五、证明：有限个开集之交是开集。举例说明无限个开集之 交不一定是开集。证明：（分析法证明）设q皿二12而为开集立。二八0。（工而ugCo要证!为开集，只须证明网事实上丫工eQ.">OreOG，4）uQ ,取一豳4时,自然有故为开集。1川无限个开集之交不一定是开集。反例：设

31、则'=31既不是开集，又不是闭集。六、证明：设f(x)，”(x)为可积函数列,f ：(x)且L |fkAf(x)于 E,|f|d -(|f : |d .i I证明：因为f，(x)则对任意可测子集 e匚E有|f|d -上Jf(x)于E,对任意工匚与由Fatou引理知j由百 |f r |d 由 w = J，- |f 1 |d而已知|f、|d .t|f|d 1,则对任意金匚下由Fatou引理知：一方面1 |f|d小：Um= |f ± |d w曲|f |d-另一方面,|f|d .i Jl£-sto疑T>g|f|d|fhmlim 晨e |f r |d肃w丹Lf 皿:|d

32、 .i =% 二 |f ： |d j|f:|dlim|f : |d.i -|f ? |d .1故此|f m |d J, <lim I|f|d肃w般L |f力d即 |f|d -ilim1 |f - |d -i七、计算下列各题:Unxi - sin(nx)d * =?解：因为 1 , 晨 sin(nx)00于0 , 1旦| 1,八鼻| wi则由Lebesgue控制收敛定理知:lunsin(nx)dI lim .二-,sin(nx)d2.设f(x)=体加恻户无砂frw求: d =?解:因却aHsin 充x工为0J中有理数笈知。,1申无理数=sinjrr at：于。，1J 0m歆以二-lcosy

33、r|；=-所以； ' T一7工三J.1 /W3.设 f(x)= n n 祝T n=2,3,，求阿 d =?解：蛇H_Li因为f(x)= y MZ n=2,3,，在口上非负可测，所以由Lebesgue逐块积分定理知：f/w_l_i晶d广£ 2M762理2。一、填空：(共10分)1 .如果 则称E是自密集，如果 则称E是开集，如果E E则称E是 ,E E E称为E的 2 .设集合G可表示为一列开集GJ之交集：G Gi ,则G称 i 1为.若集合F可表示为一列闭集FJ之并集：FFi ,则F称1 1为.3 . (Fatou引理)设3是可测集eRq上一列非负可测函数,则.4 .设f (

34、x)为a,b上的有限函数，如果对于a,b的一切分划nT: a xo xiXn b,使|f(Xi) f(x)| 成一有界数集，则i 1称f(x)为a,b上的，并称这个数集的上确界为f(x)在a,b上的,记为.二、选择填空：(每题4分，共20分)1 .下列命题或表达式正确的是 A. b b B . 2 2C.对于任意集合A,B,有AB或BA D .2 .下列命题不正确的是A.若点集A是无界集，则m*AB .若点集E是有界集，则m*EC.可数点集的外测度为零D .康托集P的测度为J I 专3 .下列表达式正确的是f (x) max f(x),0 B . f(x) f (x) f (x)| f (x)

35、 | f (x) f (x)D. f(x)nmin f (x), n4 .下列命题不正确的是A.开集、闭集都是可测集B .可测集都是Borel集C.外测度为零的集是可测集D . f型集，g型集都是可测集5 .下列集合基数为a （可数集）的是 A.康才t集 PB. （01）C .设 A Rn,A x （Xi，X2，,Xn）|Xi 是 整数，i 1,2, ,nD.区间（0,1）中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin ）定理的逆定理四、（20分）设E R, f（x）是E上ae有限的可测函数， 证明：存在定义在R上的一列连续函数gn,使得lim gn （x） f （x）a.e.于 E n 1. 2007五、（10 分）证明 lim（R） T 2nxe sinnxdx 0n 0 1 n x六、（10分）设f（x）是满足Lipschitz 条件的函数，且f （x） 0a.e.于a,b,则 f（x）为增函数七、（10分）设f是a,b上的有界变差函数，证明f2也是a,b上 的有界变差函数一、填空题：（共10分） 001、E E,E E （或E E） 闭集，闭包2、G 型集，F 型集 3