江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学2020届高三年级12月联考数学

1、江苏省海安中学、金陵中学2020届高三年级12月联考数学I参考公式：1 n -2. . -1 n样本数据X1 , x2，xn的方差s xi x ,其中x xi .n i 1n i 11 i锥体的体积V Sh,其中S为底面积，h为高.3一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1 .设全集 U1,2,3,4,5 ,若 eUA 1,2,5 ,则集合 A .【答案】3,52 .已知复数z满足z 2 i 1 i （i为虚数单位），则复数z的实部是.【答案】33 .已知样本数据 a1，a2,a3,a4的方差为2,则数据2a11 ,2a21 ,2a31 ,

2、 2a41的方差为 【答案】84 .右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 .k>or r I ron I lo 10 Sicp I ；I,1 1I$15 . I J1 i I 112 ®1:End ForIJ：Pnm S_ n = 4= l（第4题）115.从0, 2中选一个数字，从1, 3, 5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为.3【答案】-5226 .在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线C： xy 匕 1（a 0 , b 0）的离心率为师,则双曲线C的 a b渐近线方程为.【答案】y 3x7 .将函数f x的图象向右平移 一个单位后得到函数 y

3、 4sin 2x 的图象，则f 的值为.634【答案】428 .设定义在R上的奇函数f x在区间0,上是单调减函数，且f x 3x f 20,则实数x的取值范围是.【答案】1,2。.八3,八-1,，一9 .在锐角三角形ABC中，sinA , tanAB,则3tan C的值为53【答案】7910 .设Sn为数列an的前n项和，若Sn nan 3n n 1 (n N),且a2 11,则S20的值为.【答案】124011 .设正实数x, y满足xy xy ,则实数x的最小值为 . x y【答案】2 112 .如图，正四棱柱 ABCD AB1CR 的体积为27,点巳F分别为棱B1B , CC上的点(异

4、于端点)，且EF / BC ,则四棱锥 A AEFD的体积为Di1第口跑，rrr rrr r r13.已知向量a,b,c满足a b c 0 ,且a与b的夹角的正切为1 r r1r一，b与c的夹角的正切为一，b2,23r r则a c的值为【答案】-514.已知f Xmx 2mxm 3,gx 2x2,若同时满足条件：g x 0; x4 , f x g x 0,则实数m的取值范围是 .【答案】4, 2二、解答题:本大题共6小题，共90分,请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知 ABC的面积为9褥，imr uuur uuu 且 AC AB CB

5、IT18 ,向量mtan A tanB,sin 2c 和rn 1,cosAcosB是共线向量(1)求角C的大小:(2)求ABC的三边长ITT解(1)因为 m tan A tanB,sin 2c 和 n1,cosAcosB是共线向量,所以 tan A tan B cosAcosB sin2C 0,sin A sin B即 cosAcosB sin 2C 0,即 sinAcosBcos A cosBcos Asin B 2sin C cosC 0 ,即 sin A B 2sin C cosC 0 .又A B C ，所以sinC 2sin CcosC 0 ,即 sinC1 2cosC 0.1因为0

6、C ，所以sinC 0 ,从而cosC ,故C -.23uuir iuu iuu(2)因为 AC AB CB18,所以IUT2AC18,所以AC3.3 .因为 ABC的面积为9芯,所以973 -CA CBsinC , 2 一 1 一 6.2 .即 98 3J2 CBsin ,解得 CB23在 ABC中，由余弦定理得 AB2 CA2 CB2 2CA CBcosC2- 2一 _13近6点2 3万6应-54,2所以AB 3,6.16 .（本题满分14分）PC如图，在四棱锥 P ABCD中，已知底面 ABCD为矩形，且AB & , BC 1 , E, F分别是AB, 的中点，PA DE .（第

7、16（1）求证：EF /平面PAD ；（2）求证：平面PAC 平面PDE .证（1）如图，取PD中点G,连结AG , FG .由F, G分别为PC, PD的中点，知FG么1CD. 21 一在矩形ABCD中，由E为AB中点，知AEL1 CD _ 2由，知 AE幺FG ,故四边形 AEFG为平行四边形，所以EF / AG ,又EF 平面PAD , AG 平面PAD ,所以EF /平面PAD .设 ACI DE H .在矩形 ABCD 中，AB / CD ,从而 AEH s CDH ,从而由E为AB中点，可得AH AE 1CH CD 23ac因为AB 72, BC 1 ,所以AC J3,从而AH .

8、AH AB 2所以 ，又 BAD为公共角，所以 HAE s BAC ,AE AC .3所以 AHE ABC 90 ,即 DE AC .又 DE PA, PAI AC A, PA, AC 平面 PAC ,所以DE 平面PAC .又DE 平面PDE ,所以平面PAC 平面PDE .17 .（本题满分14分）如图，OM , ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区， 已知tan MON 3 , OA 6 （百米），Q到直线OM , ON的距离分别为3 （百 米），62何（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路 ON于点B,并

9、在B处修建一 5游客休息区.（第】了虺卜（1）求有轨观光直路 AB的长；（2）已知在景点 Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以 P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r 2摩（百米）（0 t 9, 0 a 1）.当 喷泉表演开始时，一观光车 S （大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以J2 （百米/分钟）的速度开往休息区 A,问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由 解：（1）以点O为坐标原点，直线 OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：A 6,0 ,直线ON的方程为y 3x, Q x0,3 （ x0

10、0）.,3x0 3 6710由 - ,解得 x0 3,所以 Q 3,3.105故直线AQ的方程为y x 6 ,3x3,9,即 B 3,9 ,故 AB J 3 6 2 92 9垃,答：水上旅游线 AB的长为9 J2km .(2)将喷泉记为圆P,由题意可得 P 3,9 ,生成t分钟时，观光车在线段 AB上的点C处，则 BC /，0 t 9 ,所以 C 3 t,9 t .若喷泉不会洒到观光车上，则PC2 r2对t 0,9恒成立，299即 PC26 t t2 2t2 12t 36 4at ,当t 0时，上式成立， 18当 t 0,9 时，2a t 丁 6, t因为a 0,1 ,所以r PC恒成立，答：

11、喷泉的水流不会洒到观光车上.18.(本题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(1)求椭圆E的标准方程；(2)若A, B分别是椭圆E的左，右顶点，动点 M满足MB AB ,且MA椭圆E于点P. uuu uuur求证：OP OM为定值：设PB与以PM为直径的圆的另一交点为 Q,求证：直线 MQ经过定点.686,当且仅当tmin即喷泉的水流不会洒到观光车上E:2A 1 (a b 0)过点 b23 12 I, cc c解：(1)设椭圆焦距为2c,所以 a2b2且c2 a2 b2C 22a 2 ,2 a 解得 9 b24,2,22所以椭圆E的方程为1 ；423夜时取等号,1,其心率等于 2、2

12、2设M 2,y0P x/易得直线MA的方程为:y。X4代入椭圆21得,22y。82y。X22y。2由2x1y2 82y。得,Xiy2yr88一,从而y18y。-2 y。uur 所以OPuuur OM2 y：y： 8可2V y282,y。,24 yo8y2 8迎4y2 8直线MQ过定点O 0,0 ,理由如下:8y。依题意，kPB2y。y； 82 y2 87T8由MQ PB得，kMQ专则MQ的方程为：y y0 比x 2 ,即y 应x, 22所以直线MQ过定点O。,。19.(本题满分16分)已知数列an满足：a1a2 a3 k (常数 k 。)，an 1k anan 1 ( n 3, n N ).数

13、列 bn 满足: an 2,an an 2bn ( n N ).an 1(1)求bi , b2的值；(2)求数列bn的通项公式;(3)是否存在k,使得数列 an的每一项均为整数？若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由.解：(1)由已知得，a4 k 1,a1a3cla2 a4 k k 1 2k 12, b2(2)由条件可知:a2a3k kanan 2 k anan 1 ( n 3),所以 an 2an 1 kan 冏(n2). 得 an 1an 2an 2an 1an an 1 an 1an .即：an 1an 2an 1ananan 1an 2an 1.因此：an an 2an 1a

14、n 2 anan 1故bnbn 2 ( n2k 13),又因为n 2, b2 k所以a2,n为奇数2k 1生用为偶数 k(3)假设存在k,使得数列an的每一项均为整数,则k为正整数.an2 1由(2)知a2n 22a2na2n 12k 1 a2n 1k(n a2n1 , 2, 3),.2 一一由 a1kZ,a6 k 4 Z ,所以 k 1 或 2,k2k 1检验：当k 1时，3为整数,k利用a2, a3 Z结合，an各项均为整数;a2n 12a2na2n 1当k 2时变成5( n 1,2, 3)a2n 2二 a2n 1 a2n2消去 a2n1，a2n 1 得:a2n 23a2na2n 2 (

15、n2)a4 Z ,所以偶数项均为整数,-5而a2n 2 a2n 1 a?n,所以a?n i为偶数，故4 k 2 ,故数列 an是整数列. 2综上所述，k的取值集合是 1,2 .20.(本题满分16分)设函数 fx xalnxxa,aR.(1)若a 0,求函数f x的单调区间；(2)若a 0,且函数f x在区间e2,e2内有两个极值点，求实数a的取值范围；(3)求证：对任意的正数a,都存在实数t,满足：对任意的 x t,t a , f x a 1.解：(1)当 a 0 时，f x xln x x, f x lnx,令f x 0, x 1 ,列表分析x0,111,f x0f x单调递减单调递增故f

16、 x的单调递减区间为0,1 ,单调递增区间为1,.a(2)fx xalnxxa, fx Inx -,其中 x 0, x令g x xln x a,分析g x的零点情况.1g x lnx1,令gx 0 , x -,列表分析 ex0,1 e1e1, eg x0g x单调递减单调递增g x ming11a ，N .1. 1而 f ln ae e eae ，f e2x2 ae2a 12f e 2 2e a , e e1a右 2，则£乂 ln x - 0 , ex故f x在e 2,e2内没有极值点，舍；2 ae20,f x单调递减，内有两个极值点；2 ae20 ,1211一右一a2，则 f ln

17、 ae 0, f eeeeef e24 2e2 a 0,e因此f x在e 2,e2有两个零点，设为x1, x2,所以当x e 2,x1时，f x单调递增，当x x1,x2用当x x2,e2时，f x单调递增，此时 f x在e2,e2一2 一 一1- 1 一 一右-2-a 0,则 fln ae 0, feee e, 212f e2 2e2 a 0,e因此f x在e2,e2有一个零点,f x在e 2 ,e2内有一个极值点；一. 一 ，一一 12综上所述，实数a的取值范围为1,告.e e(3)存在 t1：x 1,1 a , f x a 1 恒成立.证明如下：由(2)得g x在1,上单调递增，e且 g

18、1 a 0, g 1 a 1 a In 1 a a.因为当x 1时，ln x 1(*),所以g 1（本小题满分10分）故g x在1,1 a上存在唯一的零点，设为x0.a In1 时，In x x 1 (*),所以1,1a,a 1.所以对任意的正数a,都存在实数1,使对任意的xt,t a ,使 f x a 1.补充证明*)：1.F12 xx 12x0,所以F x在1,上单调递增.所以x1 时，F x0,即In x补充证明*)In x x0,所以G x在1, 上单调递减.所以x1 时，G x1.x1,x°x0x0,1af x0f x单调递减单调递增由知,1,1 aff 1 , f 1 a

19、xx max数学n （附加题）21.【选做题】本题包括A.B.C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选彳4-2:矩阵与变换已知二阶矩阵Ab ,矩阵A属于特征值 d的一个特征向量为3 八 .求矩阵A.2由特征值、特征向量定义可知,同理可得3a2b因此矩阵3c2d12,解得8,B.选彳4-4:坐标系与参数方程1,1.c 2, d 1.（本小题满分10分）在极坐标系中，已知9,3,线段AB的垂直平分线l与极轴交于点 C,求l的极坐标方程及ABC的面积.解：因为A 1.3所以线段AB的中点坐标为 53设点P为直线l

20、上任意一点,11的一个特征向量为11,属于特征值241解得 2;在直角三角形OMP中，cos 5,3所以，l的极坐标方程为cos 5 ,3令 0,得 10,即 C 10,0所以， ABC 的面积为：-9 1 10 sin 2073.23C.选彳4-5:不等式选讲已知实数a, b满足a b 2,求证：a2 2a b2 2b 4 a 2 .证明：因为a b 2,所以a2 2a b2 2b a ba b 2a b 2a a b 2a b 2a a b 24 a 2 .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答卷纸指定区域内作答，解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分) 如图，在四棱锥 P ABCD中，已知棱 AB, AD, AP两两垂直，长度分别为 1, 2, 2,uur 若DCuuruuu uuu15(1)求实数 的值；AB,且向量PC与BD夹角的余弦值为(2)求直线P