(word完整版)高考二次函数

1、二次函数知识梳理知识点1二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)=ax2+bx+ c ( aw 0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)=ax2+bx+c ( aw0).2顶点式：f(x)= a (x- m)+n(aw0).零点式：f(x)=a (x-xi)( x-x2)( aw。).点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求 .已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式已知二次函数与 x轴有两个交点，

2、且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a>0定义域xCR个别题目有限制的，由解析式确定 )y二值域a>0a<0尸 n4ac- b2、尸，4ac bjy l4a，丁 )y J(4a 0a<0奇偶性b=0时为偶函数，bwo时既非奇函数也非偶函数b xW0°, 2a时递增，单调性b ，、，xC(8 丁时递减，2axC 2, + 8)时递增2abxC -匿 十0°)时递减图象特点对称轴：x=； 2a顶点：(一言”泊)3.二次函数f(x)=ax2+bx+ c (aw。)，当A = b24ac>0时，图象与x轴有两

3、个交点M(xi,0)M2( xz 0),| MM|用心爱心专心1知识点2二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当 0 f (x)ax2 bx c的图像与x轴无交点ax2 bx c 0无实根ax2 bx c 0( 0)的解集为 或者是R;当 0 f (x)ax2 bx c的图像与x轴相切 ax2 bx c 0有两个相等的2头根 ax bx c 0( 0)的解集为 或者是R;当 0 f (x)ax2 bx c的图像与x轴有两个不同的交点 ax2 bx c 0有两个不等的实根ax2 bx c 0( 0)的解集为(，)()或者是知识点3元二次方程 ax2bx c 0实根分布的充要条件般地对于

4、含有字母的一元二次方程2ax bx c 0的实根分布问题，用图象求解,有如下结论:令f (x) ax2 bx c( a 0)(同理讨论a 0的结论)0 x i<a , x 2<a ,则 b/(2a)；(2) xf( ) 00i>a , x 2>a ,贝U b/(2a) f( ) 00 a <xi< , a <x2<，则 f()0f( ) 0b/(2a)(4) x i< a , x 2>( a < ),贝Uf()f()(5)若f(x)=0在区间(a)内只有一个实根，则有f( ) f ) 0点评：(1)讨论二次函数的区间根的分布情况

5、一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置.在讨论过程中，注意应用数形结合的思想 知识点4二次函数y ax2 bx c a 0在闭区间p,q上的最值2一次函数y ax bx c a 0在闭区间 p,q上的最值一般分为三种情况讨论：b(1)若对称轴 x 在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较2af(p), f (q)的大小即可决定函数的最大(小)值；(或利用函数的单调性直接决定函数的最大(小)值)b (2)若对称轴 x 在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较2af(p), f(q)的大小即可决定函数的最大(小)值；bb 一一(3)若对称轴x在区

6、间内，则£( )是函数的最小值(a 0)或最大值(a 0),2a2a再比较f(p), f(q)的大小决定函数的最大(小)值。点评：(1)两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续 函数在闭区间的两个端点处取得最值。(2)二次函数y ax2 bx c a 0在闭区间 p,q上的最值的讨论的基点是对称轴bx 与区间p,q的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基2a点进行讨论。特别要注意二次项系数a的符号对抛物线开口及结论的影响。题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f (x)满足f (2) =1, f( 1) =1,且f(x)的最大值是8,试

7、确 定此二次函数.变式训练1：已知二次函数f(x)满足：在x=1时有极值；图象过点(0 , -3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。1 )求 f(x) 的解析式；2)求函数 g(x)=f(x 2) 的单调递增区间。题型二 二次函数中的单调性例 2 已知函数 f(x) =x2+2ax+3, xC 4,6.(1)当a= 2时，求f (x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y = f (x)在区间4,6上是单调函数;(3)当a= 1时，求f(| x|)的单调区间.变式训练2: (1).已知函数f (x) = x2+ 2( a- 1) x+ 2在区间(一8, 3上是减函数，则实数 a 的取值

8、范围为 (2)已知函数f(x)=x2+mx+ n的图象过点(1,3)，且f ( 1 + x) = f ( 1 x)对任 意实数都成立，函数 y = g(x)与y=f(x)的图象关于原点对称.(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)=g(x)入f(x)在(一1,1上是增函数，求实数 入的取值范围.题型三 二次函数在闭区间上的最值例3 (1)设函数f(x)=x 2-2x+2 , xCt , t+1的最小值为g(t),求g(t)的解析式。a 1(2)已知函数y sin x a sin x 一 一的最大值为2,求a的值。4 2(3)已知1 <a<1,若f(x)=ax 2-2x+

9、1在区间1 , 3上的最大值为 M(a),最小值为N(a), 3令 g(a尸M(a)-N(a),求g(a)的函数表达式;判断函数g(a)的单调性，并求出g(a)的最小值。变式训练3： (1)已知函数f (x) = - 4x2+4ax 4aa2在区间0,1内有一个 最大值一 5,求a的值.(2)已知函数y=x2-2x+ 3在闭区间0, m上有最大值3,最小值2,则m的取值范 围为.(3) 设x、y是关于m的方程m22am+a+6=0的两个实根，则(x-1) 2+ (y1) 2的最 小值是()A. -121B.18C.8D.-44题型四二次函数中的恒成立的问题例 4 若二次函数 f(x) = ax

10、2+ bx+c ( aw。)满足 f (x+ 1) - f (x) =2x,且 f (0) = 1.(1)求f (x)的解析式；(2)若在区间1,1上，不等式f(x)>2x+md1成立，求实数 m的取值范围.变式训练 4： (1)已知 f(x) x2 2(a 2)x 4,用心爱心专心5 如果对一切x R, f(x) 0恒成立，求实数a的取值范围;如果对x 3,1, f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.用心爱心专心9(2)已知二次函数 f(x) ax2 x (a R, a 0).如果 x 0, 1时，总有 | f(x)| 求a的取值范围.题型五二次函数与方程例5已知二次函数 f(x)ax

11、2 bx c(1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x轴有2个交点；(2)在 的条件下，是否存在mC R,使池f(m)= - a 成立时,f(m+3)为正数, 若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由.1 右对 x1,x2 R,且x1<x2,f (x1)f d)，方程f (x)=f (x1)+f 优)有2个不等实根，证明必有一个根属于(x1, x2)例6二次函数y ax2x 1 (a 0)的零点分别为Xi,X2.(1)证明(1 x1) (1x2) 1;证明Xi1,X21;(3)若xi, X2满足不等式| lg±| w 1,试求a的取值范围X2例 7

12、已知二次函数 f(x) 2x2 4(a 1)x a2 2a 9.(1)若在区间-1 , 1内至少存在一个实数 mi使得f(m) 0,求实数a的取值范围;(2)若对区间-1 , 1内的一切实数 m都有f(m) 0,求实数a的取值范围。题型六二次函数与不等式例8已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)=x?+2x.(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x) >f (x) - |x- 1| ;(3)若h(x) =g(x) f(x) + 1在1, 1上是增函数，求实数的取值范围.变式训练6：设a为实数，函数f(x) = 2x2+ (x-a)| xa|.(1)若f(0)

13、 >1,求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；一、选择题1.设abc>0,二次函数f(x) = ax2+bx+ c的图象可能是()2.函数f (x) =x2+m奸1的图象关于直线 x= 1对称的充要条件是()A.m= - 2B.m= 2 C. m= - 1D.m= 13 .已知函数f(x) = ax2+(b+c)x+1 (aw。)是偶函数，其定义域为ac, b,则点(a, b)的轨迹是()A.线段B.直线的一部分C.点D.圆锥曲线4 .设二次函数f (x) = ax22ax+c在区间0,1上单调递减，且 f ( n) < f (0),则实数 m 的取值范围是()A.( -

14、oo, 0B.2, +oo) c.(8, 0 U 2 , +oo) D.0,25 .已知函数 f (x)= 2m)2- 2(4 - n) x + 1,g(x)=mx 若对于任一实数x,f (x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(巴。)6 .函数f(x) = x2 + (2a1)| x|+1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数 a 的取值范围是()21311A. a>3B.2<a<2C.a>2D.a<2二、填空题7 .若二次函数 f( x) = ax2+bx+2 满足 f (x” = f (

15、x2),则 f (x1 + x2) =.8 .若函数y = x2+(a+2)x+3, xCa, b的图象关于直线 x= 1对称，则b=.9 .二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x= 2,最小值为一1,则它的解析式为 .10 .若函数y=mx+x+5在2,十8)上是增函数，则 m的取值范围是 11 .若函数f(x)=ax+b ( aw0)的一个零点是 1,则函数 g(x)=bx2ax的零点是12.方程x2m杆1 = 0的两根为B,且a>0, 1<B<2,则实数 m的取值范围是13 .若方程x211x+30+a=0的两根均大于5,则实数a的取值范围是 .14 .已知f (x) =ax2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为a1,2 a,则y=f(x)的值域 为 .三、解答