一平面曲线积分与路径无关的条件ppt课件

1、上页 下页 返回 结束 一、一、 平面曲线积分与途径无关的条件平面曲线积分与途径无关的条件二二 、 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积第三节第三节(2) (2) 线积分与途径无线积分与途径无 关的条件关的条件第十一章第十一章上页 下页 返回 结束 .)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLxyL ABp197.例例2回想回想结果：被积函数一样结果：被积函数一样, , 起点终点也一样起点终点也一样, , 但是由于积分途径不同但是由

2、于积分途径不同, , 导致积分结果不同导致积分结果不同. .称此曲线积分与途径有关称此曲线积分与途径有关上页 下页 返回 结束 被积函数一样被积函数一样, ,起点和终起点和终 点也一样点也一样, ,虽然积分途径不同虽然积分途径不同, ,但是积分结果一样但是积分结果一样. .称此曲线称此曲线积分与途径无关积分与途径无关OAB回想回想p197.例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物

3、物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 结果：结果：上页 下页 返回 结束 Gyxo 1LQdyPdx1 、曲线积分与途径义无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA假设在区域假设在区域G G内有内有 一、一、 平面曲线积分与途径无关的条件平面曲线积分与途径无关的条件上页 下页 返回 结束 2 2、平面上曲线积分与途径无关的等价条件、平面上曲线积分与途径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶延续偏导数具有一阶延续偏导数,(1) 沿沿D 中恣意光滑闭曲线中恣意光滑闭曲线 L , 有有.0dd LyQ

4、xP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在 D 内每一点都有.xQyP LyQxPdd与途径无关与途径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数那么以下四个条件等那么以下四个条件等价价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 上页 下页 返回 结束 阐明阐明: 积分与途径无关时积分与途径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddLyQxP 21ddLLyQxP0 AB1L2L 2ddL

5、yQxP 1ddLyQxP为为D 内恣意两条由内恣意两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线, 那么那么(根据条件根据条件(1) BAyQxPdd AByQxPdd 2ddLyQxP上页 下页 返回 结束 证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点),(00yxA因曲线积分因曲线积分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 那么那么),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可证同理可证yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPudd

6、d 和任一点和任一点B( x, y ),与途径无关与途径无关,),(yxxC ),(yxB),(00yxA有函数有函数 上页 下页 返回 结束 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 那那么么),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 内具有延续的偏导数内具有延续的偏导数,xyuyxu 22所以所以从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyP xyuxQyxuyP 22,上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上上因因此此在在D xQyP 利用

7、格林公式利用格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DDL0所围区域为所围区域为证毕证毕(1) 沿沿D 中恣意光滑闭曲线中恣意光滑闭曲线 L , 有有.0dd LyQxP(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP 上页 下页 返回 结束 留意留意:1.:1.常用常用 来判别曲线积分与途径无关来判别曲线积分与途径无关; ;2.当曲线积分与途径无关时，常选择最简当曲线积分与途径无关时，常选择最简途径途径平行于坐标轴的直线段组成的折平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分途径线作为积分途径;OAB,xQyP 假设假设D D是复连通域是复连通域, ,即使即使曲线积分也不一定与途

8、径无关。曲线积分也不一定与途径无关。,xQyP 上页 下页 返回 结束 例例1 1 LyxxxyL. 0dd22闭闭曲曲线线，证证明明是是任任意意一一条条分分段段光光滑滑的的设设证证,22xQxyP 令令那那么么yPxQ 因此有因此有 Lyxxxydd22. 022 xx Dyx. 0dd0上页 下页 返回 结束 .)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,选选取取特特殊殊路路径径简简化化积积分分曲曲线线积积分分与与路路径径无无关关.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的的有有向向折折线线段段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(22

9、22的一段有向弧的一段有向弧到到上从上从是是其中其中计算积分计算积分yyxLyyxxyxyL 例例2 2解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上页 下页 返回 结束 )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上页 下页 返回 结束 二、二元函数的全微分求积二、二元函数的全微分求积1. 1. 原函数原函数: :假设存在一个函数假设存在一个函数u(x,y)u(

10、x,y)，使得，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数原函数全微分式全微分式例如例如xdyydxxyd )(2)(xydxxdyxyd 全微分式全微分式2. 2. 判别定理判别定理定理定理3. 3. 设函数设函数P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在单连通域在单连通域D D内具有一内具有一阶延续偏导数，那么阶延续偏导数，那么P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy在在D D内为某内为某一函数全微分一函数全微分 在D内恒成立.yPxQ 上页 下页 返回 结束 3.3.全微分求积全微分求积当当Pdx+QdyPdx+Qdy为全微分式

11、时，为全微分式时，求其原函数求其原函数u(x,y)u(x,y)的过程的过程. . ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu与途径无关，可选平行于坐与途径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分途径标轴的折线作为积分途径. .如图取如图取 为积分途径为积分途径, ,得得RMM0SMM0如图取如图取 为积分途径为积分途径, ,得得 yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0),(0yxS),(0yxR),(000yxM),(yxMxyO上页 下页 返回 结束 .dd,)0(dd)3 ,3()0 , 1(2222 yxx

12、yyxxyxxyyx分分并并计计算算曲曲线线积积求求出出一一个个这这样样的的函函数数数数的的全全微微分分是是某某个个函函内内在在右右半半平平面面验验证证,),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,0)(22222时时恒恒成成立立当当 xyPyxxyxQ.ddd),(22yxxyyxuyxu 使使得得存存在在函函数数例例1解解上页 下页 返回 结束 ,),()0 , 1(),0 , 1(积分积分到到从从在右半平面取点在右半平面取点yxxyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB BCAByxxyyxyxu22dd),( yxyyxxxx02212dd00.arctanarctan0

13、xyxyy BCAByxxyyxyxxyyx2222dddd)3,3()0, 1()3,3()0, 1(22arctandd xyyxxyyx.3 上页 下页 返回 结束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx( , )22(1,0)dd( , )x yx y y xu x yxy yyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy上页 下页 返回 结束 例例2 2.dd,:22数数的的全全微微分分是是某某个个函函面面内内在在整整个个验验证证yyxxxyxOy 解解1,22yxQxyP .2面内恒成立面

14、内恒成立在整个在整个且且xOyxQxyyP yyxxxyyxuyxdd),(2),()0,0(2 取积分道路如图取积分道路如图, ,因此因此.dd,22是某个函数的全微分是某个函数的全微分面内面内在整个在整个yyxxxyxOy )0 ,(xA),(yxBxyO上页 下页 返回 结束 ).,( :2yxu函函数数还还可可用用下下面面的的方方法法来来求求解解 , 2xyxuu 满满足足因因为为函函数数故故 xxyud2 ABOAyyxxxyyyxxxydddd2222 yyyx02d0 ),()0,0(22dd),(yxyyxxxyyxu yyyx02d.222yx )(222yyx )0 ,(x

15、A),(yxBxyO上页 下页 返回 结束 .)(的待定函数的待定函数是是其中其中yy ).(2yyxyu 由此得由此得,2yxyuu 必须满足必须满足又又故故.)(22yxyyx ,)(, 0)(Cyy 从从而而.222Cyxu 所求函数为所求函数为上页 下页 返回 结束 ).,(,),()()(2),(0,24224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并求并求的梯度的梯度个二元函数个二元函数为某为某函数函数内的向量值内的向量值使在右半平面使在右半平面确定常数确定常数 ,)(2),(24 yxxyyxP 记记,)(),(242 yxxyxQ ,d),(d),(),(d),(),(),(),

16、(gradyyxQxyxPyxujyxQiyxPyxAyxu 价于价于等等则有则有.,yPxQ 条件是条件是上式成立的充要上式成立的充要区域内区域内在右半平面这个单连通在右半平面这个单连通例例3 3解解上页 下页 返回 结束 , 0)1()(4),(),(22 yxxyxQyxP代代入入上上式式得得将将.1 从而得从而得得得的的折折线线积积分分路路径径在在右右半半平平面面内内取取为为了了求求得得,),()0 ,()0 , 1(),(yxxyxu ),()0, 1(242dd2),(yxyxyxxxyyxuCyyxxxxxyx dd002024214).(arctan2为为任任意意常常数数CCx

17、y )0 ,(x),(yxxyO)0 , 1(上页 下页 返回 结束 *全微分方程及其求法全微分方程及其求法定义定义: :.0d),(d),(称称为为全全微微分分方方程程则则方方程程 yyxQxyxPyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 假设有全微分方式假设有全微分方式例如例如, 0dd yyxx),(21),(22yxyxu 因因为为,dd),(dyyxxyxu 所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .xQyP 全微分方程全微分方程上页 下页 返回 结束 全微分方程的解法全微分方程的解法: :，设全微分方程为设全微分方程为0d),(d),( yyxQxyxP1 1运用曲线积分与途径无关运用曲线积分与途径无关，因为因为xQyP 那么全微分方程的通解那么全微分方程的通解为为 yyxxyyxQxyxPyxu00d),(d),(),(0 xyxPyyxQxxyy 00d),(d),(0;C 上页 下页 返回 结束 例例. 0d)33(d)35(222324 yyxyyxxyxyx求求解解解解,362xQyxyyP 因为因为这是全微分方程这是