第二章正投影作图基础

1、 2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类 2.2 2.2 投影体系的建立投影体系的建立 2.4 2.4 直线的投影直线的投影 2.5 2.5 平面的投影平面的投影 2.6 2.6 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置 本章小结本章小结结束放映结束放映 2.3 2.3 点的投影点的投影 2.7 2.7 换面法换面法 平行投影法平行投影法中心投影法中心投影法2.1 2.1 投影法及其分类投影法及其分类 投影法投影法投射线投射线物体物体投影面投影面投影投影 投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在该面上得到图形的方法该面上得到图形

2、的方法投影法投影法。投射中心投射中心斜投影法斜投影法正投影法正投影法五要素五要素中心投影法中心投影法 投投射中心、物体、投影面三者之间的相射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。对距离对投影的大小有影响。 度量性较差。度量性较差。投影特性投影特性物体位置改物体位置改变，投影大变，投影大小也改变。小也改变。投射线投射线物物 体体投影面投影面投影投影 投射中心投射中心平行投影法平行投影法投影特性投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。度量性较好。工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。正投影的基本特性正投

3、影的基本特性B A a bdc D E Cp BA e C Dc (d) EeP d c abBA EDCP e a (b)真实性真实性积聚性积聚性类似性类似性 影子、投影与视图影子、投影与视图 P P P P P P视图视图影子影子投影投影 全部阴全部阴影部分影部分轮廓轮廓的影子的影子光源演变光源演变为眼睛为眼睛投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法正投影法正投影法斜投影法斜投影法画透视图画透视图画斜轴测图画斜轴测图画工程图样画工程图样及正轴测图及正轴测图投影法小结投影法小结 P Pb A AP P 以反映空间（以反映空间（A、B）点的位置为例点的位置为例B B3 3B B2

4、2B B1 1 一个投影一个投影 面面上的投影不能确上的投影不能确定物体的空间位定物体的空间位置。置。2.2.1. 两个问题两个问题a 2.2 2.2 三面投影体系的建立三面投影体系的建立解决办法？解决办法？图示目的：表达物体的图示目的：表达物体的空间位置，空间位置，轮廓形状轮廓形状。图示目标：物体表达要图示目标：物体表达要唯一、完整，唯一、完整， 清晰易读。清晰易读。问题一：用一个投影面上的投影表达物体结结论论问题二：不同形状的 物体在两面投影 体系中的投影增加投影增加投影面面哦哦解决办法？解决办法？ 两面投影体系两面投影体系 诞生诞生VH结论结论 两个投影两个投影 面面上的投影不能完上的投

5、影不能完整地反映空间物整地反映空间物体的具体形状。体的具体形状。采用正投影多面视图的表达法。采用正投影多面视图的表达法。哇哇再增加投影面再增加投影面 建立建立三面投影体系三面投影体系WVH2.2.2. 三面投影体系的建立三面投影体系的建立三视图三视图结论结论 三面投影能三面投影能够完整地反映物够完整地反映物体的空间位置和体的空间位置和具体形状。具体形状。解决办法？解决办法？ 2.2.3. 三面投影体系的命名及其规则三面投影体系的命名及其规则投影面投影面 正面投影面（正面投影面（V V 面）面） 水平投影面（水平投影面（H H 面）面） 侧面投影面（侧面投影面（W W 面）面） 投影轴投影轴 O

6、XOX轴轴 V V 面与面与H H 面的交线面的交线 OZOZ轴轴 V V 面与面与W W 面的交线面的交线 OYOY轴轴 H H 面与面与W W 面的交线面的交线三个投影面三个投影面互相垂直互相垂直H HW WV VO OX XZ ZY Y命名命名位位 置置关关系系向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动将三投影面展开将三投影面展开在同一平面内在同一平面内W WVH HH HW WV VO OX XZ ZY Y旋转规则旋转规则XY ZVWHO上上下下左左右右后后上上下下前前后后左左右右前前上上下下左左右右前前后后几何位置关几何位置关系系不动不动向下翻向下翻向右翻向右翻XYW ZVWHO上上下下左左右

7、右后后上上下下前前后后左左右右前前YHW WH H点（点（A）在投）在投影面上的投影影面上的投影仍旧是一个点仍旧是一个点a a A A2.3 2.3 点的投影点的投影2.3.1 点的投影特性点的投影特性a A A A A任何情况下任何情况下点向投影面点向投影面的投影：的投影：W WH HV VO OX XZ ZY Y空间点空间点A A在三个投影面上在三个投影面上的投影的投影a 点点A A的正面投影的正面投影a点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影注意：注意：空间点用大写字母表示，点空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。的投影用小写字母表示。a aa A A2.

8、3.2 点的三面投影点的三面投影 a X a Xax a Za Z az a Y a Y ay 同一同一个垂个垂直点直点 同一同一个垂个垂直点直点 同一同一个垂个垂直点直点 ax ay az X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazay向右翻向右翻向下翻向下翻不动不动投影面展开投影面展开Z ZY YX XY Y O OVxza aa2.3.3 点的三面投影分析点的三面投影分析aay= a az=x =A Aa （A A到到W W面的距离面的距离） a ay= z =A Aa（A A到到H H面的距离面的距离） aax= =y =A Aa （A A到到V V面的距离）面

9、的距离） a az 点与投影面的位置关系点与投影面的位置关系yH HaaW Waay a ax=X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZY YX XY Y O OVa 点的空间位置与三面投影间的对应关系点的空间位置与三面投影间的对应关系H HaW WaxV、aH、a宽宽度、度、前后前后（y）方向方向高高度、度、上下上下（z）方向方向长长度、度、左左右右（X）方向方向yW、aH、azV、aW、aX XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayZ ZY YX XY Y O OVa 三三投影与点在空间位置的对应关系投影与点在空间位置的对应关系

10、H HaW WaxzVaHaxyWayz宽宽度、度、前后前后（y）方向方向高高度、度、上下上下（z）方向方向长长度、度、左左右右（X）方向方向 2.3.4 点的投影规律点的投影规律 a aOX轴轴 a a OZ轴轴 aax= a az 主俯视图左右方向主俯视图左右方向长对正长对正 俯左视图前后方西俯左视图前后方西宽相等宽相等 主左视图上下方向主左视图上下方向高平齐高平齐X XY YZ ZO OV VH HW WA Aaa a xaazayVxza aayH HaaW Waay Z ZY YX XY Y O Oa aax例：已知点的两个投影，求第三投影。例：已知点的两个投影，求第三投影。a aa

11、 axazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 2.3.5 2.3.5 两点的相对位置两点的相对位置 两点的相对位置指两两点的相对位置指两点在空间的点在空间的上下、前后、上下、前后、左右左右位置关系。位置关系。判断方法：判断方法： x 坐标大的在左坐标大的在左 y 坐标大的在前坐标大的在前 z 坐标大的在上坐标大的在上B点在点在A点之前、点之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bX XY YY YZ ZO O 在图上直观判断在图上直观判断 利用点的坐标判断利用点的坐标判断a a aXZYWYHOb bb

12、 985( ) 空间两点在某空间两点在某一投影面上的一投影面上的投影投影重合为一点重合为一点时，则时，则称此两点为称此两点为该投影该投影面面的重影点。的重影点。被挡住的投被挡住的投影加影加( )( )A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？c a cc a a 2.3.6 2.3.6 重影点与可见性重影点与可见性2.3.7 2.3.7 特殊点与一般点特殊点与一般点投影面上的点投影面上的点投影轴线上的点投影轴线上的点特特殊殊点点一一般般点点点在空间位置点在空间位置 均在投影面内均在投影面内;其三面投影其三面投影: : 三座标（三座标（X X，Y Y，Z Z）b aa a b bX

13、XY YY YZ ZO O其三面投影与投其三面投影与投影面及投影轴的影面及投影轴的位置关系位置关系？ 都不等于零都不等于零2.3.8 2.3.8 点的投影作图练习（举例）点的投影作图练习（举例）1. 根据给定的条件绘画点的三面投影根据给定的条件绘画点的三面投影2. 根据点的投影，判断点的空间位置根据点的投影，判断点的空间位置根据点的两面投影，求画点的三面投影。根据点的两面投影，求画点的三面投影。根据点的综合条件，求画点的三面投影。根据点的综合条件，求画点的三面投影。根据点的三座标，求画点的三面投影。根据点的三座标，求画点的三面投影。一个点的空间位置判断。一个点的空间位置判断。相互点的空间位置判

14、断。相互点的空间位置判断。aa a b b b2.3 2.3 直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点两点确定一条直线，将两点的的同名投影同名投影用直线连接，就得到直用直线连接，就得到直线的同名投影。线的同名投影。1) 直线对一个投影面的投影特性直线对一个投影面的投影特性 B BA A当当ABP时时 ab=0 B BA A 2.3.1. 直线的投影特性直线的投影特性 P PB BA A积聚性积聚性 P PP Pa（b） a b当当ABP时时 abAB 当当ABP时时 ab=AB 收缩性收缩性 真实性真实性 ab如果如果MAB； 则则abAB 重属性重属性 当当MAB时时 则则 AM:MB

15、=am:mb 等比性等比性 B BA AP Pabm mM MB BA AP Pabm mM M2) 2) 直线在三面投影体系中的投影特性直线在三面投影体系中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于正平线（平行于面）面）侧平线（平行于侧平线（平行于面）面） 水平线（平行于水平线（平行于 面）面）正垂线（垂直于正垂线（垂直于面）面） 侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于面）面） 铅垂线（垂直于铅垂线（垂直于面）面）一般一般位置位置直线直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊统称特殊

16、位置位置直线直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面 其投影特性取决于直线与其投影特性取决于直线与 三个投影面间的相对置。三个投影面间的相对置。位置分位置分类类V VH HW WABababa(b)a b a b 投影面垂直线投影面垂直线投影分投影分析析铅垂线铅垂线（H，V，W）a（b） 投影规律投影规律 ab = 0 反映积聚性反映积聚性 a b =AB 反映真实性反映真实性 a b =AB 反映真实性反映真实性 线段长度线段长度 度量问题度量问题 线段与投影面的夹角线段与投影面的夹角 a b a b AB= AB与与 H 面的夹角面的夹角V 面的夹角面的夹角W 面的夹角面的夹角= 0 = 0

17、= 90 且且 a b X 且且 a b Y 反映线段实长，且垂直反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。于相应的投影轴。正垂线正垂线侧垂线侧垂线 另外两个投影另外两个投影， 在其垂直的投影面在其垂直的投影面 上，上， 投影有积聚性投影有积聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c e f efe (f )判断下列直线是什么位置的直线判断下列直线是什么位置的直线度量问题度量问题: :直观分析判断直观分析判断baO OY YX XZ ZY YababV VH HW Wab 投影规律投影规律 投影面平行线投影面平行线水平线水平线（H，V，W）投影分投影分析析 ab = AB 反映真实性反映真实

18、性 且且 ab 分别分别 X Y a b AB 反映收缩性反映收缩性 a b AB 反映收缩性反映收缩性 且且 a b X 且且 a b Y 度度量量问问题题 线段长度线段长度 AB = ab 线段与投影面的夹角线段与投影面的夹角 0 直接判断直接判断ab与与X 轴的夹角轴的夹角 ab与与Y 轴的夹角轴的夹角 实长实长p pababABPH判断下列直线是什么位置的直线判断下列直线是什么位置的直线侧平线侧平线正平正平 线线实长实长实长实长 b a aba b b aa b ba 投投影影特特性性投影面的平行线在其平行投影面的平行线在其平行的那个投影面上的的那个投影面上的投影反映投影反映实长，并反

19、映直线与另两投实长，并反映直线与另两投影面倾角的真实角度。影面倾角的真实角度。另两个投影另两个投影面上的面上的投影平投影平行于相应的投行于相应的投影轴，其到相影轴，其到相应投影轴的距应投影轴的距离反映直线与离反映直线与它所平行的投它所平行的投影面之间的距影面之间的距离。离。 一般位置直线一般位置直线Z ZY YaO OX Xb bY Ya b a H HaaAb V VBbW Wa b 投影分投影分析析 投影规律投影规律 ab AB 反映收缩性反映收缩性 且且 ab 分别分别 X Y a b AB 反映收缩性反映收缩性 a b AB 反映收缩性反映收缩性 且且 a b 分别分别 Z Y 且且

20、a b 分别分别 X Z 度度量量问问题题 线段长度线段长度 AB = ? 不反映不反映 线段与投影面的夹角线段与投影面的夹角 = ? 不反映不反映H HV V一般位置直线投影特性：一般位置直线投影特性： 三个投影都倾斜于投影轴，即都三个投影都倾斜于投影轴，即都不反映空间线段的实长，也不反映空间不反映空间线段的实长，也不反映空间线段与三个投影面的夹角。线段与三个投影面的夹角。怎么办怎么办 b1b1=|B Bz z =BbBb1 1=bb1取取量取量取aO OX Xb ba 连斜边得连斜边得AB实长与实长与角角ab量取量取ab取取ab直角三角形法直角三角形法解法一解法一解法二解法二BAabbaA

21、B实实长长连斜边得连斜边得AB实长与实长与角角 求求AB与与角角 与与角角 如何求得如何求得例：求线段例：求线段CD的实长与的实长与角。角。 解法一解法一解法二解法二cO OX Xd dc 取取cd 量取量取Y连斜边得连斜边得CD实长与实长与角角连斜边得连斜边得CD实长与实长与角角取取Y量取量取cd直角三角形法直角三角形法 直角三角形的两直角边，一条是投影边，另一条是与所直角三角形的两直角边，一条是投影边，另一条是与所得投影边的投影线一致的坐标差，其斜边为实长，斜边与得投影边的投影线一致的坐标差，其斜边为实长，斜边与 投投影边影边 的夹角，即为空间直线与投影边所在投影面的夹角的夹角，即为空间直

22、线与投影边所在投影面的夹角 。 acX XY YY YbO OZ ZbacacbAH HacV VBbCW Wbcabca2.3.2直线与点的相对位置直线与点的相对位置 若点在直线上若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影则点的投影必在直线的同名投影 上。上。 点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相 同的比例。即：同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a c :c b =a c :c b 定比定理定比定理例例1 1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。 c abca b abca b c 在在不在不在a b c 不在不在应用定比定理

23、应用定比定理另一判断法另一判断法?aa b c bcaa b bkk 例例2 2：已知点：已知点K在线段在线段AB上，求点上，求点K正面投影。正面投影。解法一：解法一：（应用第三投影）（应用第三投影）解法二：解法二：（应用定比定理）（应用定比定理）aa b bka b k k 2.3.3. 两直线的相对位置两直线的相对位置两空间直线的相对位置分为：两空间直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）、垂直。平行、相交、交叉（异面）、垂直。1) 1) 两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同名投影同名投影必必相互平行，反之亦然。相互平行，反之亦然。acdbcdabO O

24、X X bcdH HAd aCcV VaDbB 例：判断图中两条直线是否平行。例：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，对于一般位置直线，只要有两组同名投影互只要有两组同名投影互相平行，空间两直线就相平行，空间两直线就平行。平行。AB与与CD平行。平行。AB与与CD不平行。不平行。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相只有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。a b c d cbad d b a c b d c a abcdc a b d 2) 2) 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必则其同名投影必

25、相交，且交点的投影必符合空间一点的投相交，且交点的投影必符合空间一点的投影特性。影特性。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点cabd b a c d kk ac V VX Xb H HDacdkCAkKd bO OBcd k kd例：过例：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影abb a c 例：判断直线例：判断直线AB、CD的相对位置。的相对位置。 c abdabcd相交吗？相交吗？不相交！不相交！为什么？为什么？ 交点不符合交点不符合空间一个点的投空间一个点的投影特性。影特性。判断方法？判断方法？ 应用定比定理应用定比定理 利用侧面投影利用侧面投影3)

26、 3) 两直线交叉两直线交叉为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？不相交！不相交！交点不符合一个点的投影规律！交点不符合一个点的投影规律！cabdO OX XdbacacACV VbH HdDBcdbaacACV VbH HdDBcdbacabdO OX Xdbac1(2)21投影特性：投影特性： 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但 “交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。用其可帮助判断两直线的空间位置。1(2)12 43 (4 )33 (4 )34

27、HpA1B1a(12)b(12)A2B2A3B3A4B4phCK(D)kc(d)又如果又如果 平面平面 PH 面，则必交一垂线面，则必交一垂线PH 因为因为 （A1B1 ，A2B2）P 面面 则则 （a1b1 ，a2b2）PH如果如果 CDP，则，则 CD 必然必然 （A1B1 ，A2B2） （分垂直相交与垂直交叉两类位置（分垂直相交与垂直交叉两类位置 四种情况）四种情况）又因为又因为CDP，则则 CDH， 4) 4) 两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）两直线垂直（垂直相交或垂直交叉）直角的投影特性直角的投影特性： 直角投影定理：直角投影定理： 如果垂直（相交或交叉）两直线，其中任意一如果垂直（

28、相交或交叉）两直线，其中任意一条直线与莫个投影面平行，则两直线在该投影面的条直线与莫个投影面平行，则两直线在该投影面的投影反映直角。投影反映直角。运用直角定理运用直角定理作图作图直线在直线在H面上的投影互相垂直面上的投影互相垂直结论：结论： cd 必然必然 （a1b1 ，a2b2） a c b abc.a c b abc.a c b ad（ b）c.d a c b adc.d b直角投影逆定理：直角投影逆定理： 如果（相交或交叉）两直线在某个投影面的投如果（相交或交叉）两直线在某个投影面的投影反映直角，其中任意一条直线与该投影面平行，影反映直角，其中任意一条直线与该投影面平行，则两直线在空间必

29、然垂直。则两直线在空间必然垂直。两直线垂直（相交或交叉）两直线垂直（相交或交叉） 四种位置投影分析四种位置投影分析运用直角逆定理分析判断运用直角逆定理分析判断读读图图例例1：绘图求画投影。绘图求画投影。AB为正平线为正平线, 正面投正面投影反映直角影反映直角。abb .直角投影定理的直角投影定理的应用应用2）过）过C点作直线与点作直线与 AB垂直相交。垂直相交。1）过）过A点作水平线与点作水平线与 CD垂直相交。垂直相交。kb .ak b c ca dd dd ca c k k 直接判断：直接判断： AK为水平线，为水平线，akAK，反映距离实长反映距离实长例例2：图解度量求距离。图解度量求距

30、离。1）求）求A点到点到CD直线直线 的垂直距离。的垂直距离。k.ak c ca dd 2）求）求A点到点到CD直线直线 的垂直距离。的垂直距离。.k kAK为一般位置线为一般位置线, 再用再用直角三角形法求实长直角三角形法求实长。量取量取取取连斜边得连斜边得AK实长实长取取ak边边 c ca dd a3）求两直线间的垂直距离。）求两直线间的垂直距离。例例3： 读图判断两直线的读图判断两直线的 位置关系是否垂直。位置关系是否垂直。2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1. 平面的表示法平面的表示法不在同一直线不在同一直线上的上的 三个点三个点 直线及线直线及线外一点外一点 abca b

31、c dd 两平行两平行直线直线abca b c 两相交两相交直线直线 平面平面图形图形 c abca b caba b c baca b c 1) 1) 几何图形表示法几何图形表示法常用方法常用方法重点掌握重点掌握V VH H2) 2) 迹线表示法迹线表示法PPVPHKVV VH HPVPH迹线迹线迹迹点点 迹点迹点 直线与投影面的交点直线与投影面的交点 一直线：最多两个迹，一直线：最多两个迹， 最少一个迹点。最少一个迹点。正面迹线正面迹线 PV水平迹线水平迹线 PH侧面迹线侧面迹线 PW 迹线迹线平面与投影面的交线平面与投影面的交线正面迹点正面迹点 KV水平迹点水平迹点 KH侧面迹点侧面迹点

32、 KW一平面：一平面： 最多三条最多三条迹线，迹线， 最少两条最少两条迹线。迹线。P P P dc D E Ce C Dc (d) Eed c EDCe 真实性真实性积聚性积聚性类似性类似性 2.4.2. 平面的投影特性平面的投影特性1) 1) 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面投影投影特性：特性：2) 2) 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置平面对于三投影面的位

33、置可分为三类可分为三类：特殊特殊位置位置平面平面一般一般位置位置平面平面 与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面 正垂面正垂面 侧垂侧垂 面面 铅垂铅垂 面面 投影面平行面投影面平行面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面 位置分位置分类类a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性投影分析投影分析 投影规律投影规律 abc = ABC 反映真实性反映真实性 a b c = 0

34、 反映积聚性反映积聚性 且且 a b c X a b c = 0 反映积聚性反映积聚性 且且 a b c Y 度量问题度量问题 平面的实形平面的实形 ABC = abc ABC平面与平面与 H 面的夹角面的夹角V 面的夹角面的夹角W 面的夹角面的夹角 平面与投影面的夹角平面与投影面的夹角 直接直接判断判断 0 90 90 水平面（水平面（H，V，W ）判断下列平面是什么位置的平面判断下列平面是什么位置的平面侧平面侧平面正平正平 面面实形实形实实形形投投影影特特性性投影面的平行面在其平行的那投影面的平行面在其平行的那 个投影面上的个投影面上的投影反映实形；投影反映实形；另两个投影面上的另两个投影

35、面上的投影反映积聚性，分别积投影反映积聚性，分别积 聚成直线段，并且分别平行于平面所平行的聚成直线段，并且分别平行于平面所平行的 投影面的相邻两根轴。投影面的相邻两根轴。a b c a b c abca b c a b c abc度量问度量问题，三夹题，三夹角角直接判直接判断。断。铅垂面（铅垂面（H，V，W ） 投影面垂直面投影面垂直面c c abca b b a 投影分析投影分析投投影影规规律律 abc = 0 反映积聚性反映积聚性 a b c ABC 反映类似性反映类似性 且且 abc X ， abc Y a b c ABC 反映类似性反映类似性 度量问题度量问题 平面的实形平面的实形 A

36、BC = ？ 平面与投影面的夹角平面与投影面的夹角 0 直接判断直接判断类似性类似性类似性类似性积聚性积聚性 abc 与与 X 轴的夹角轴的夹角 abc 与与 Y 轴的夹角轴的夹角不反映不反映判断下列平面是什么位置的平面判断下列平面是什么位置的平面侧垂面侧垂面正垂正垂 面面投投影影特特性性投影面的垂直面在其垂直那个投影面投影面的垂直面在其垂直那个投影面上的上的投影反映积聚性，积聚成一直段，投影反映积聚性，积聚成一直段，并且与相邻的两轴线倾斜相交；其夹角并且与相邻的两轴线倾斜相交；其夹角反映空间平面与其两相邻投影面的真实反映空间平面与其两相邻投影面的真实夹角。夹角。另两个投影面上的另两个投影面上

37、的投影分别反映类似性。投影分别反映类似性。度量问题度量问题:不反映实形；不反映实形；三夹角垂直三夹角垂直投影面的夹投影面的夹角直接判断，角直接判断，其他两夹角其他两夹角在图中测得。在图中测得。c c abca b b a 一般位置平面一般位置平面 三个投影都三个投影都 反映类似性。反映类似性。a b c a c b abc 投影规律投影规律 度量问题度量问题实形、三夹角实形、三夹角都不能够反映。都不能够反映。 a c b c a abcb 例例：正垂面：正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水，已知其水 平投影及顶点平投影及顶点B B的正面投影，求的正面投影，求ABC

38、ABC的正的正 面投影及侧面投影。面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？452.4.3. 平面上的直线和点平面上的直线和点位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：1) 1) 平面上取任意直线平面上取任意直线M MN NA AB BM M 若一直线过平面上的两若一直线过平面上的两 点，则此直线必在该平点，则此直线必在该平 面上。面上。 若一直线过平面上的一若一直线过平面上的一 点且平行于该平面上的点且平行于该平面上的 另一直线，则此直线在另一直线，则此直线在 该平面上。该平面上。 abcb c a d d例：已知平面由直线例：已知平面由直线AB、AC所确定

39、，在所确定，在 平面内任作一条直线。平面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a 例：在平面例：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距离为面的距离为10mm10mm。n m nm10 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？c a b cab2) 2) 平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面上的一条直线作为先找出过此点而又在平面上的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：已知例：已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影

40、。点的水平投影。baca k b c 面上取点的方法：面上取点的方法：d d利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取线首先面上取线kabca b k c kbckk b例：已知例：已知AC为正平线，补全平行四边为正平线，补全平行四边 形形ABCD的水平投影。的水平投影。解法解法 一：一：解法解法 二：二：cada d b c ada d b c dede1010mm例：在例：在ABCABC内取一点内取一点M M，并使其到，并使其到H H面和面和V V面的距离均为面的距离均为10mm10mm。bcX XbcaaO O2.5 2.5 直线与平面

41、及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括相对位置包括平行平行、相交相交和和垂直垂直。2.5.1. 2.5.1. 平行问题平行问题 直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行包括包括1) 直线与平面平行直线与平面平行 若平面外的一直线平行于平面内若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。的某一直线，则该直线与该平面平行。n a c b m abcmn例：过点例：过点M作直线作直线MN平行于平面平行于平面ABC。有无数解有无数解有多少解？有多少解？d d正平线正平线例：过例：过M点作直线点作直线MN平行于平行于V面和平面面和平面 ABC。唯一解唯

42、一解nn d dc b a m abcm2) 2) 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线分别平行于另分别平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。c f b d e a abcdeff h abcdefha b c d e kk 由于由于ek不不平行于平行于ac, ,故两平面故两平面不平行。不平行。例：判断平面例：判断平面ABDCABDC与平面与平面EFHMEFHM是否平行，是否平行，

43、已知已知ABABCDCDEFEFMHMHacebb a d dfc f e hh O OX Xm m 直线与平面相交，其直线与平面相交，其交点是直线与平交点是直线与平面的共有点。面的共有点。2.5.2. 相交问题相交问题直线与平面相交直线与平面相交平面与平面相交平面与平面相交1)1)直线与平面相交直线与平面相交要讨论的问题：要讨论的问题： 求求直线与平面的直线与平面的交点。交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可判别可 见性。见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。殊位置的情况。例：求直线例：求直线MN

44、与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正段在平面前，故正面投影上面投影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。作图作图用线上用线上取点法取点法 平面为特殊位置平面为特殊位置abcmnc n b a m k k1 (2 )211 (2 )km(n)bm n c b

45、 a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上，在位于平面上，在前；点前；点位于位于MN上，在上，在后。故后。故k 2 2 为不可见为不可见。k 2 1作图作图用面上取点法用面上取点法2) 2) 两平面相交两平面相交 两平面相交其交线为直线，两平面相交其交线为直线，交线是两平交线是两平面的共有线，面的共有线，同时同时交线上的点都是两平面的交线上的点都是两平面的共有点。共有点。

46、要讨论的问题：要讨论的问题：(1) (1) 求求两平面的两平面的交线交线方法：方法： 确定两平面的确定两平面的两个共有点。两个共有点。 确定确定一个共有点及交线的方向。一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。的情况。(2) (2) 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。判别可见性。可通过正面投影可通过正面投影直观地进行判别。直观地进行判别。abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线

47、为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。nm能能!如何判别？如何判别？例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。能否不用重能否不用重影点判别？影点判别？abcdefc f db e a m (n )例：求两平面的交线例：求两平面的交线 MN并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投

48、影分析 求交线求交线 判别可见性判别可见性作图作图 从正面投影上可看从正面投影上可看出，在交线左侧，平面出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影在上，其水平投影可见。可见。mn 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的，它们的交线为一交线为一条正垂线条正垂线，两平面，两平面正面投正面投影的交点即为交线的正面影的交点即为交线的正面投影，投影，交线的水平投影垂交线的水平投影垂直于直于OX轴轴。aa bd( (e) )ebdh( (f) )cfch1( (2 ) )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与

49、ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影。影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图21 mmnnabd( (e) )ebdh( (f) )cfchmnnm空间及投影分析空间及投影分析 平面平面DEFH是一铅是一铅垂面，它的水平投影有垂面，它的水平投影有积聚性，其与积聚性，其与ac、bc的的交点交点m 、n 即为两个共即为两个共有点的水平投影，故有点的水平投影，故mn即为交线即为交线MN的水平投的水平投影

50、影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性 点点在在MC上，点上，点在在FH上，上，点点在前，在前，点点在后，故在后，故mc 可见。可见。作图作图c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于 DEF所确定的平面内，但所确定的平面内，但不位于不位于 DEF这个图这个图形内。所以形内。所以 ABC和和 DEF的交线应为的交线应为MK。 nn m kmk 互交互交c d e f a b abcdef投影分析投影分析 N点的水平投影点的水平投影n位于位于 def 的外面，的外面，说明点说明点N位于位于 DEF所

51、确定的平面内，但所确定的平面内，但不位于不位于 DEF这个图这个图形内。所以形内。所以 ABC和和 DEF的交线应为的交线应为MK。互交互交mkk m 2.5.3. 垂直问题垂直问题直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直1) 1) 直线与平面垂直直线与平面垂直 若直线垂直于平面，则直线的正面若直线垂直于平面，则直线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影一定垂直于平面上的正平线的正面投影，直线的水平投影一定垂直于平面投影，直线的水平投影一定垂直于平面上的水平线的水平投影。上的水平线的水平投影。 例：过点例：过点M M作直线作直线MNMN垂直于垂直于ABCABC所确定的平面

52、所确定的平面 ndede nmabcb acm 根据直线与平面垂根据直线与平面垂直时的投影特性，所作直时的投影特性，所作直线的正面投影应垂直直线的正面投影应垂直于于ABCABC上的正平线的上的正平线的正面投影，水平投影应正面投影，水平投影应垂直于垂直于ABCABC上的水平上的水平线的水平投影。线的水平投影。因此，因此，作图时应首先在作图时应首先在ABCABC内作一条正平线和一条内作一条正平线和一条水平线。水平线。 分析：分析：例：过点例：过点A A作平面垂直于直线作平面垂直于直线MNMN 。bcc bmnan m a分析：分析： 根据直线与平面垂根据直线与平面垂直的几何条件，所作直的几何条件，

53、所作平面内应包含两条相平面内应包含两条相交直线与交直线与MNMN垂直，假垂直，假设它们是设它们是相交于点相交于点A A的一条正平线和一条的一条正平线和一条水平线，则该正平线水平线，则该正平线的正面投影应垂直于的正面投影应垂直于mn，水平线的水平，水平线的水平投影应垂直于投影应垂直于m n 。2) 2) 平面与平面垂直平面与平面垂直 若若一平面通过另一平面的垂线一平面通过另一平面的垂线，则两，则两平面相互垂直。平面相互垂直。 绘制相互垂直平面的两种方法：绘制相互垂直平面的两种方法： 使一平面使一平面包含另一平面的一条垂线包含另一平面的一条垂线。 使一平面使一平面垂直于另一平面内的一条直线。垂直于

54、另一平面内的一条直线。ABQPABQP例：过点例：过点M M作一平面垂直于作一平面垂直于ABC所确定的平面。所确定的平面。 dend e n kk分析：分析： 假设所作假设所作平面由相交于平面由相交于点点M M的两条直线的两条直线构成，根据两构成，根据两平面垂直的几平面垂直的几何条件，何条件，使其使其中一条为中一条为ABC的垂线的垂线即可。即可。 abcma c b m abca b c 直线为一般位置时直线为一般位置时 直线为特殊位置时直线为特殊位置时bab ka k 本章本章小结小结点、直线、平面的投影特性，尤其是点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与特殊位置直线与 平面的投影特性。能够根据给定条件绘画三面投影平面的投影特性。能够根据给定条件绘画三面投影。重点掌握：重点掌握：点、直线、平面的点、直线、平面的相对位置的判断方法及投影特性相对位置的判断方法及投影特性。1. 直线上的点直线上的点(1) (1) 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。(2) (2) 点的投影必分线段的投影成定比点的投影必分线段的投影成定比定比定理。定比定理。(3) (3) 判断方法判断方法: : 2. 两直线的相对位置两直线的相对位置1) 1) 平行平行