02-一次函数的图像及性质-教师版

1、教师日期学生课程编号课型新课课题一次函数的图像与性质教学目标1 .利用一次函数图像分析和认识一一次方程的根与一6-次不等式的解集.2 .通过观察多个一次函数图像所反映的函数值变化情况，归纳总结一次函数的基本性质， 并运用性质解决相关问题.3 .了解和掌握直线 y kx b在直角坐标平面内的位置与常数k和b的正负号之间的关系.4 .在探索直线y kx b在坐标平面内的位置特征与常数k, b的符号之间关系的过程中， 体会数形结合的思想，领会由特殊到一般的分析问题和解决问题的思维方法.教学重点1 .理解并掌次函数与一6-次方程和一一次不等式之间的联系.2 .运用一次函数的图像性质解决相关问题.3 .

2、掌1次函数图像求解一一次方程和一次不等式.4 .运用一次函数的图像与性质求解简单的几何问题.教学安排版块时长1一次函数与元次方程及不等式30min2一次函数的性质50min3一次函数的性质的总结与运用40min次函数知识结构1、一元一次方程与一次函数（1） 对于一次函数 m,由它的函数值 y 0就得到关于x的一元一次方程kx b 0,解这个方程得xb ,于是可以知道一次函数m的图像与x轴的交点坐标为k1°）；（2） 若已知一次函数 m的图像与x轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标x b,其就是一元一次方程 kx b 0的根.k2、一元一次不等式与一次函数（1） 由一次函数y kx

3、 b的函数值y大于0 （或小于0）,就得到关于x的一元一次不等式kx b 0 （或kx b 0）的解集.（2） 在一次函数m的图像上且位于x轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式kx b 0 （或kx b 0）的解集.例题解析【例1】已知一次函数经过 A(2,0)和B(1, 3),在直角坐标系中画出函数图像且求在这个一次函数图像上且位于 x轴上方所有点的横坐标的取值【难度】【答案】图像如图，x 2.【解析】图像如图，x 2 .【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系.【例2】 已知y kx b(k 0)的函数图像如图所示:(1)求在这个函数图像上且位于x轴上方所有点

4、的横坐标的取值范围;(2)求不等式kx b 0的解集.【难度】【答案】(1)x6;(2) x 6 .【解析】(1)由图像可得：x 6;(2)由图像可得：x 6.【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系.【例3】 已知y kx b(k 0)的函数图像如图所示:(1)求在这个函数图像上且位于y轴左侧所有点的横坐标的取值范围;(2)求在这个函数图像上且位于y轴右侧所有点的纵坐标的取值范围;(3)求y 2016x b在y轴上的截距.【难度】【答案】(1) x 0; (2) y 2; (3) 2 .【解析】(1)由图像可得：x 0;(2)由图像可得：x 0;(3)由图像可得：b 2y 2016x

5、 b在y轴上的截距是 2.【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，注意分析清楚题目中所要求的结果.【例4】已知一次函数解析式是 y 1x 3.2(1)当x取何值时，y 2?(2)当x取何值时，y 2?(3)当x取何值时，y 2?(4)当x取何值时，0 y 2?【难度】【答案】(1) x 10；(2) x 10；(3) x 10；(4) 6 x 10 .1【解析】(1)令x 3 2 ,解得：x 10;2“ 1, 一(2)令x 3 2 ,解得：x 10 ;21(3)令1x 3 2 ,解得：x 10;2人1一 一一(4)令 0 x 3 2 ,解得：6x10.2【总结】本题考察了一次函数与不等式的关

6、系，本题也可以通过函数图像求解.【例5】 已知函数f(x) 3x 1 .(1)当x取何值时，f(x) 2?(2)当x取何值时，4 f(x)2?(3)在平面直角坐标系中，在直线 f(x) 3x 1上且位于x轴下方所有点，它们的横坐标的取值范围是什么 ？【难度】1【答案】(1)x1;(2)1x1;(3) x3【解析】(1)令3x 12,解得：x 1 ；(2)令 4 3x 12 ,解得： 1x1;1(3)令 3x 1 0 ,解得：x 1 .3【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解.【例6】 已知方程ax 2 0(a 0)的解为x 4, (1)求出函数y ax 2与x轴的

7、交点坐标； (2)解不等式ax 2 0.【难度】【答案】(1) (4, 0);(2) x 4.【解析】由一次函数与方程不等式的关系得:(1) y ax 2与x轴的交点坐标为：(4, 0);(2) ax 2 0的解集为：x 4 .【总结】本题考察了一次函数与方程不等式的关系，本题也可由一次函数的图像或者是函数的性质求得最终结果.ax b 4mx n 4y b axmx y nax b mx n.x 3；(3) x 3.y 4【例7】 已知一次函数y ax b与y mx n交于点(3,4),根据其图像回答下列问题:(1)求解不等式组:(2)求解方程组：(3)求解不等式：【难度】【答案】(1) x

8、3; (2)【解析】由一次函数与方程不等式的关系得:(1)由ax b 4可得：x 3;由mx n 4可得:y b axx 3mx y n的解即为两条直线交点坐标，即：y 4(3) ax b mx n解集为y ax b在y mx n上方时x的范围，即x 3.【总结】本题考察了一次函数与方程及不等式的关系，主要是根据图像进行求解.【例8】 当一1WxW2时，函数y ax 6满足y 10 ,求出常数a的取值范围.【难度】【答案】4 a 2.【解析】当a0时，ymax2a 6 10 ,解得：a2；当 a0 时，ymina 6 10 ,解得：a 4；当 a 0时，y ax 6 6,满足 y 10; .

9、4 a 2.【总结】本题考察了一次函数的性质，注意解题时要分类讨论.模块二：一次函数的性质知识精讲1、一次函数的增减性：一般地，一次函数 y kx b （k,b为常数，k 0）具有以下性质:当k 0时，函数值y随自变量x的值增大而增大，图像为上升；2、一次函数图像的位置情况：直线y kx b （ k当k 0时，函数值y随自变量x的值增大而减小，图像为下降.0 , b 0）过（0, b）且与直线y kx平行，由直线 y kx在平面直角坐标系内的位置情况可知: 当k 0,且b 0时，直线y 当k 0 ,且b 0时，直线y 当k0,且b 0时，直线y（要用图像的平移推导可得） kx b经过一、二、三

10、象限； kx b经过一、三、四象限；kx b经过一、二、四象限;0,且b 0时，直线y kx b经过二、三、四象限.把上述条件反过来叙述，也是正确的.（这部分知识概念也可以按照下面表格进行讲解和整理）例题解析153 x【例9】 已知函数：y x2; y 3-x； y -x； y ；23211Dy x (x 1) .在这些函数中，函数值 y随自变量x的值增大而减小的函数有 45【难度】【答案】.【解析】由一次函数的性质，当 k 0时，y随x的增大而减小，故选 .【总结】本题考察了一次函数的性质.【例10】已知一次函数y (3 2m)x m 1 ,函数值y随自变量x的值增大，而减小.(1)求m的取

11、值范围；(2)其函数图像经过那些象限 ？【难度】3【答案】(1) m ；(2)经过一、二、四象限.2【解析】(1)由已知得：3 2m 0,解得：m 3；2(2)此时m 1 0, 一次函数经过一、二、四象限.【总结】本题考察了一次函数的性质及图像所过的象限.1【例11】 已知点A(a, 1)和B(b,4)在函数y 1x m的图像上，试比较a与b的大小. 3【难度】【答案】a b.【解析】由已知得：k 1 0 ,所以y随x的增大而减小，a b . 3【总结】本题考察了一次函数的性质，也可用特殊值法比较大小.【例12】 完成下列填空：(1) 直线y 2x 5是 (填上升"或下降”)的，并且

12、与 y轴的 半轴相交，因此这条直线经过第 象限，截距为 ;(2) 直线y 7(x 2)是 (填上升"或 下降”)的，并且与 y轴的 半轴相交，因此这条直线经过第 象限，截距为 .【难度】【答案】(1)下降，负，二、三、四， 5;(2)上升，负，一、三、四， 14.【解析】略.【总结】本题考察了一次函数的性质，要熟记不同的情况.【例13】 直线y (m 1)x m【例15】已知一次函数y kx b的图像是与直线y £x平行的直线. (1) 随着自变量x的值的增大，函数值 y增大还是减小？(2) 直线y kx 4经过哪几个象限？(3) 直线y kx b经过哪几个象限？【难度】【

13、答案】(1) y随着x的增大而减小；(2)二、三、四象限；(3)当b 0时，经过二、三、四象限；当b 0时，经过二、四象限； 1与y轴的交点坐标是(0,3),且直线经过第一、 二、四象 限，则该直线与x轴的交点为 .【难度】【答案】(3应3,0).m2 1 3 .一【解析】由已知得：m 1 3, 解得：m 依，y ( J2 1)x 3.m 1 0令y 0 ,解得：x 3"3,，与x轴的交点坐标是：(3夜 3,0).【总结】本题考察了一次函数的性质及交点坐标；【例1当b 0时，经过一、二、四象限.】直线y (m2 1)x 3上有两点A(x1,y1)和点B(x2, y2),且x1 x2,

14、 y1 y2,则常 数m的取值范围是.【难度】【答案】1 m 1.【解析】由已知得：y随x的增大而减小，则m2 1 0 ,解得：1 m 1 .【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对于一元二次不等式的求解方法.【解析】(1)由已知得：k 2 0 ,故y随着x的增大而减小;3(2) k 0, b 0 ,经过二、三、四象限；(3) 当b 0时，经过二、三、四象限；当b 0时，经过二、四象限；当b 0时，经过一、二、四象限.【总结】本题考察了一次函数的图像及性质的运用.m的值或m的取值范围:【例16】已知直线y (2m 1)x 3m,分别根据下列条件求(1) 这条直线经过原点；(2) 这条直线经过一

15、二四象限；(3) 这条直线不经过第三象限；(4) 这条直线与y 2x 1.5平行.【难度】1【答案】(1) m 0;(2) 0 m-；2【解析】(1)由已知得：3m 0,解得：m(2)由已知得：2m 1 0,解得：03m 0, 2m 1 0 (3)由已知得：，解得：03m 0(4)由已知得：2m 12 ,解得：m【总结】主要考察了一次函数的性质的运用，含了常值函数在里面，从而第(3)小问中，、1，、1(3) 0 m ；(4) m .220；12本题中要特别注意题干中说的是直线，因此包k可以为零.【例17】函数y ax b与ybx a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是().ABCD【难度】【

16、答案】B【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k、 b 范围写出来，不矛盾即为正确选项，故选 B k、 b 的关系【例18】 点(1, m), (2, n)在函数y ( 9a2 6a 3)x a 3(a 3)的图象上，则 m、n的 大小关系是 【难度】m ny (3a 1)2 2x a 3， (3a 1)2 2 0,，y随x的增大而减小，m n .【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对比例系数进行配方，从而判定正负性.【例19无论p为何值，除0以外，直线y px 2 P 一定经过 象限.【难度】【答案】二、三.( 1)当 p 0 时，直线经过一、二、四象限；( 2)当 p 0 时，直线经过

17、二、三、四象限；故直线一定经过二、三、象限；【总结】本题考察了一次函数的象限特点.20】 不 论 k 为何值， 解析式 (2 k1)x (k 3) y (k 11) 0 表示的函数的图象必过定点，求此定点的坐标【难度】(2， 3) (2x y 1)k x 3y 11 0k 为何值，图象必过定点，2x y 1 0x 3y 11 0解得：x2y 3，定点坐标为：(2,3).【总结】本题考察了函数恒过定点的问题，此题型只要令可取任意值的字母系数为零即可解决模块三：一次函数的性质的总结与运用知识精讲1、一次函数y kx b (k,b为常数，k 0)中k、b的意义：k (称为斜率)表示直线ykxb (k

18、 0)的倾斜程度；b (称为截距)表示直线ykxb (k 0)与y轴交点是(0,b),也表示直线在y轴上的截距.2、同一平面内，不重合的两直线 y ax当a1% , b1 b2时，两直线平行.当& a2时，两直线相交，交点为方程组当bi b2时，两直线交于y轴上同一点.bi 0）与y a?x b2（a2 0）的位置关系:y a1x b1 y 11的解.y a2x b2例题解析【例21】已知一次函数y=kx+b, y随x的增大而增大，且 kb<0,指出一次函数的图像经过的象限.【难度】【答案】一、三、四;【解析】由已知得：k 0,又kb<0, ，b<0.一次函数图像经过

19、一、三、四象限.【总结】本题考察了一次函数图像经过的象限的特点.【例22】 若直线li ： y 2x 3与直线I2 ： y x 3相交于点P,(1)求P点坐标；(2)求li , 12与x轴所围成的三角形的面积；f(3)求li , 12与y轴所围成的三角形的面积；(4)求li , I2与坐标轴所围成的四边形的面积.【难度】【答案】(1) P (2, 1); (2)旦；(3) 6;(4)里.44【解析】(1)联立:y 2x 3y x 3解得：y 1，交点坐标为P (2, 1);(2)易得y 2x*yx 3分别与x轴交于(3,0)、(3, 0),2(3)易得y 2x*yx 3分别与y轴交于(0, 3

20、)、(0, 3),1S 6 2 6;2(4)由题意可知，所求的四边形为图中红色边的四边形,27【总结】本题考察了一次函数围成图形的面积，规则图形用公式法，不规则图形用割补法;PB是一次函数【例23已知：如图，直线 PA是一次函数y x n(n 0)的图象，直线y 2x m(m 0)的图象，其中点 Q是直线PA与y轴的交点.(1)用m, n来分别表示点P, A, B, Q的坐标；(2)四边形PQOB的面积是AB=2,试求P点的坐标，并写出直线PA与PB的解析式.(2)(1)Q(0n)，A( n,0)B(m,0)2p(T1P(一 3PA:PB: y2x(1)易得:Q(0n)，A(0)，B(m,0)

21、2y x联立：y2x解得:m n3m 2n P(2 .3-)；(2)由已知得:12m2m 2n3解得:1 4P(-,-),3 3PA: yPB : y2x【总结】本题考察了一次函数与几何的综合，综合性较强，解题时注意认真分析.【例24】已知一次函数f(x)=ax+2a+1,当1 x 1时，f(x)的值有正有负，求a的取值范围.【难度】【答案】1 a 1.3【解析】由已知得：f( 1) f(1) 0, (a 1)(3a 1) 0,解得：1 a -.3从而求出不等【总结】本题考察了一次函数的性质及根据取值范围得到两个函数值的正负, 式的解集.【例25已知m为正整数,直线y5x 2m 12 m 一

22、、2x 的交点在第四象限，求这3 3两条直线与x轴围成的三角形的面积.【答案】S, 1405x 2m 1y【解析】联立2-x3解得:2m7m 27交点在第四象限,，可解得:又m为正整数,7)2x 1 两直线交点坐标为:3两直线与x轴交点坐标为：(3,0 ), ( 1,0),13 111 S ()25 27 140【总结】本题考察了一次函数交点坐标及围成三角形面积的求法.随堂检测【习题1】已知，直线y (k1)x k2 2在y轴上的截距为4,且y随x的增大而增大,【解析】k2 24，.二 k22 , k 衣， k 10,【习题2】若点P(a,b)在第二象限内，则直线 y ax b不经过【答案】第

23、二象限.三、四象限，故不经过第二象限.【解析】由题意可得：a 0, b 0 ,则直线经过一、【总结】本题考察了一次函数图像性质.c-的图像经过第 b【习题3】若bc 0 , ab 0 ,则一次函数y 第一、二、四象限.【解析】由题意可得一次函数图像经过一、二、四象限.本题考察了一次函数的图像的性质.【习题4】已知点A( 2, a)、B( 3, b)在直线y (5 k)x 2上，且围是a b,，y随x的增大而增大， k 5 0, k 5 .本题考察了一次函数的图像的性质及增减性的综合运用.,2 ,【习题5】根据图中所画的直线y kx k 1,则一次函数y 3kxk 1k在y轴上的截距,与坐标轴围

24、成的三角形面积为【解析】k2由图可知,y 3kxk. k 26此一次函数在y轴上的截距为72,与坐标轴围成的三角形面积为【总结】本题考察了一次函数的概念和图像，注意认真分析题目中的条件.【习题6(1) 一次函数y (6 3m)x 2n 4不经过第三象限，则m、n的范围是(2)直线y (6 3m)x 2n 4不经过第三象限，则m、n的范围是【难度】【答案】（1） m 2, n 2;（2） m 2, n 2.【解析】（1）二一次函数图像不经过第三象限，6 3m 0, 2n 4 0,1- m 2 , n 2 ;（2） .直线不经过第三象限，6 3m 0 , 2n 4 0,1- m 2 , n 2 .

25、【总结】本题考察了函数图像的性质与函数解析式的系数的关系.【习题7】已知直线y kx b（k 0）与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论:（1）k 0, b 0;（2）k 0,b 0;（3）k 0, b 0;（4）k 0, b 0 .其中正确的是.【难度】【答案】（2）、（3）.【解析】画图可知（2）、（3）正确.【总结】本题考察了一次函数的图像与函数解析式系数的关系.【习题81直线li: yikixa , I2 ： y2k2xb的交点坐标是（1,2）,则使yi< y2的x取值范围是【难度】【答案】x 1.【解析】由图易得y1 v y2的x取值范围是x 1 .【总结】本题考察了学生观察、识

26、图的能力.【习题9】若一次函数y kx b（k 0）的自变量x的取值范围是2 x 6 ,相应的函数值的范围是 11 x 9,求此函数的解析式，以及其经过哪些象限？【难度】5 5【答案】y 2x 6 ,函数图像经过一、 三、四象限；或y 5x 4 ,函数图像经过一、四象限;【解析】由题意易得函数经过点（2,11）和（6, 9）或者过9）和（6,11）,11 2k b_9 2kb或9 6kb11 6k b解得:，函数的解析式为：y 5x 6,函数图像经过一、三、四象限；或25-x 4 ,函数2图像经过一、二、四象限.【习题10已知方程ax b1(a 0)的解为x迎(1)求出函数ax1与x轴的交点坐

27、标;(2)解不等式(3)试求函数axax0 ；1与一次函数y2(x J2)的交点坐标.(1)(应,0)；(3)(夜，0).【答案】(1) A (4, 0),B (0, 2);【解析】观察图像可知.【总结】本题考察了学生对函数的识图能力和与方程的联系.1【习题11如图，直线L： y -x 2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有2点C (0,4),动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动.(1)求A、B两点的坐标;(2)求 COM的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式;(3)当t何值日COMAAOB,并求此时 M点的坐标.(3) t =2 时，M (2, 0);t =6 时，M(

28、2, 0).(2) S=8 2t (0 t 4) , S=2t 8 (t 4);【习题12】一个一次函数图象与直线1平行，与x轴、y轴的交点分别为 A、B,【解析】(1)易得A (4, 0),B (0, 2);一11(2) S-OMOC-4t 4;22当0 t 4时，S 8 2t,当 t 4 时，S 2t 8;(3)当 0 t 4时，t =2 时，M (2, 0);当 t 4 时，t=6 时，M(-2, 0).【总结】本题考察了函数的综合应用.并且过点(1 , 25),则在线段AB上(包括端点 A、B),横、纵坐标都是整数的点有哪些？(11, 10), (15, 5), (19, 0);595

29、,25)得：5 b 25,解得：b 三,445x 954【难度】【答案】(3, 20), (7, 15),5【斛析】设y x b ,代入点(1 4，该一次函数的解析式为：y转化，得：x 4y 95 4y 55当y为5的倍数时，x为整数，满足条件的点有：(3, 20), (7, 15), (11, 10), (15, 5), (19, 0).【总结】本题考察了一次函数的图像和性质以及对整数点坐标的理解.bk-b- (a、b是常数)始6【习题13已知：不论k取什么实数，关于 x的函数y 2kx a3终经过点(1,1),试求a、b的值.【解析】把(1, 1)代入,得:2k a 1 bk .1 ，化简

30、得:函数(b 4)k2kx a3(2 a 7)x bk60,(a、b是常数)始终经过点(1,1),b2a解得:【总结】本题考察了一次函数恒过点的问题,主要是将问题转化为方程的解为任意实数的问题.课后作业【作业1】已知一次函数 y kx b的图像交y轴于正半轴，且 y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式 .【难度】【答案】y x 1等，不唯一.【解析】只需要k 0, b 0即可.【总结】本题考察了一次函数的性质.【作业2】(1)已知m是整数，且一次函数 y (m 4)x m 2的图像不经过第二象限，则m为;(2) 一次函数y (a 2)x 4a 3的图像与y轴的交点在x轴的下方，则a

31、的取值范围是.【难度】【解析】(1)由已知，得:解得:【答案】(1) 3;(2) a 3 .*ym 是整数，1. m 3 ;4a 3 0-3(2)由已知，得：， 解得：a -.a 2 04【总结】本题考察了一次函数的性质，注意对图像不经过第几象限的准确理解.【作业3】已知直线y mx 2m(m 0).(1)当x取何值时，y 0?(2)当x取何值时，y 0 ?(3)当x取何值时，y 0?(4)在m的取值范围内，直线在平面直角坐标系始终经过哪些象限？【难度】【答案】(1) x 2;(2) x 2;(3) x 2;(4)二、三、四象限.【解析】(1)令y 0 ,解得：x 2;(2)令y 0,解得：x

32、 2;(3)令y 0,解得：x 2;(4)易得：图像经过二、三、四象限.【总结】本题考察了一次函数的图像及性质.【作业4】已知y kx b(k 0)的函数图像如图所示：(1 )求在这个函数图像上且位于x轴下方所有点的横坐标的取值范围;【难度】【答案】(1) x 5 ；(2) x 5 .【解析】(1)由图像可得：x 5； (2)由图像可得：x 5 .【总结】本题考察了一次函数与方程、不等式的关系.).【作业5】函数y kx k与yk(k0)在同一坐标系内的图象可能是(CBD【解析】本题型可以将每个选项中两条直线的k,b范围写出来，不矛盾即为正确选项,故选C.【总结】本题考察了一次函数与反比例函数

33、的图像.【作业6】已知一次函数y(3函数值y随自变量x的值增大而减小.(1)求m的取值范围;(2)其函数图像经过那些象限?【答案】(1) m 3;(2)二、三、四象限.【解析】(1)由已知得:(2)由已知得：k0 ,解得：m 3 ；0 ,图像经过二、三、四象限.【总结】本题考察了一次函数的图像及性质.【作业7】已知点A(3 , ya)和B( 3, yb)在函数y ( m2 3)x m的图像上，试比较 ya与 yb的大小.【难度】Vayb .【解析】由已知得：k m2 3 0 , ，y随x的增大而减小,【总结】本题考察了一次函数的性质的运用.【作业8】k在为何值时,直线2k 15x4 y与直线k2x3y的交点在第四象限?【解析】联立:2k 1k 2x5x3y4y解得:2k 37k 27交点在第四象限,2k7k 27【总结】本题考察了一次函数的交点坐标问题.【作业9】画出函数y3x 2的图像，利用图像求:(1)方程 3x 20的根;(2)不等式 3x2 0的解集;(3)当y 7时，求x的取值范围;(4)当1 x 1时，求y的取值范围； 求图像与坐