复数知识点归纳及习题

1、复 数.知识网络图二.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算 的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地 加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定 的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练 .(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都 具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.三.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数

2、三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐 角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容 .(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共腕复数以及模的有关性质.复数的运算是复数的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.四.基础知识1.复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi (a,b CR)的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常 用C来表

3、示。(1) z=a+bi R b=0 ( a,b R) z=Zz2>0；(2) z=a+bi 是虚数bw0(a, bC R);(3) z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 bw0(a,b C R) z+z = 0(zw0)z2<0；(4) a+bi= c+di a=c 且 c=d(a,b,c,d R)；2,复数的几种形式。对任意复数z=a+bi (a,b R), a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将 (a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么 z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之

4、间 的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式3.共腕与模，若z=a+bi , (a,b C R)，则z a-bi称为z的共腕复数。模与共腕的性质有：(1)皂；(5)Iziz2I IziII z2I ；z2/c、/ c、 -I 12ziziz2ziz2 ; (2)ziz2乙 z2 ; (3)z z|z|; (4) z2(6)IJ ；(7) IIziI-Iz2II<Izi±z2I<Iz

5、iI+Iz 2I ； (8) Izi+z2I2+Izi-z2I2=2IziI2+2Iz2I2；z2I z2 Ir r .1，一 1(9)右 IzI=i，则 z 。z4,复数的运算法则：(i)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共腕复数将分母分为实数；(2)按向量形式，力口、减法满足平行四边形和三角形法则；复数的代数形式及其运算：设 zi= a + bi , z 2= c + di ( a,b,c,d C R),则：(1) z i±z2 = ( a + b) ± ( c + d)i ；(2) zi. z2 = ( a+bi ) (c+di

6、) = (ac-bd) + ( ad+bc) i ； z-z2 = (a bi)仁di)(c di )(c di)ac bd-272 c dbc ad .(Z2* 0)；4n 3.4n .4n i .4 2.4n 3i,i i； i i i i 0;几个重要的结论:(i i)2 2i(2) i 性质：T=4; i4ni,i4nii,i4n2i；-ii ii iz-o；(4)一i；一zi ii i运算律：(i) zm znzi z2 ；(亘)亘 z2z2zmn；(2)(zm)n zmn；(3)(zi z2)m zimz2m(m,n N)；共腕的性质：(ziz2)ziz2 ；zz2模的性质：II

7、zi I I z2 II Iziz2I IziI Iz2I; (2) Izz2I IziIIz2I ; I 亘 ILz”；z2 I z2 InnI z I |z| ；5 .复数相等的充要条件：两个复数实部和虚部分别对应相等。6 .复数z是实数的充要条件是z=z；z是纯虚数的充要条件是：z+z=0 （且zw0）.五.习题2.3.已知a C R,A.复数若(1 -ai )(3 +2i)为虚数,32i1 + 2i (i3B.2 C23 D.是虚数单位）的实部是（A.2 B . 2 C. 1 D . 1 5555复数,z是实数的充要条件是（A. z z4.若复数z满足zA.3 4i1 2i3 4i5.

8、1 、.3i(、3 i)A.1.3,- i446.2z| (z 1)A.M 实数7.已知复数z1bi ,z2则a的值为（23）z2为实数3.i42.z 1,则虚数1 ai (si, bD. z4i1 Ji22实数茴M复数3.i2A .点（3,2）与点（1,1）之间的距离点（3,2）与点（11）之间的距离C .点（3,2）与原点的距离D 点（3,1）与点（2,1）之间的距离9.已知 z C , |z 2 1 ,则z 2 5i的最大值和最小值分,别是（）A. 河1和历1C . 5点和商d . J39和310.设 0<8 <2", (a +乎i )(1 i)=cos8 +乎i

9、,贝 U 9 的值为()A.B.C.7tD.7t11.若x C,则方程x 1 3i x的解是()A. 1 ®B . xi 4, X21 C. 4 3i D.2®222212 .满足条件z i |z 2应的复数z在复平面内对应的点的轨迹.是 ()A.双曲线 B.双曲线的一支. C .两条射线D .一条射线13 .设A, B为锐角三角形的两个内角，则复数 z (cotB tan A) (tanB cot A)i对应的点位于复平面()A.第一象限.B.第二象限 C .第三象限D.第四象限14 .已知复数z a 27a 6 (a2 5a 6)i(a R),那么当 a=时,z是实数；

10、当 a 1a 时,z 是虚数；当 a=时,z 是纯虚数。15 .若 f(z) 1 z(z C),已知 z, 2 3i , z2 5 i ,则 f 幺.z216 .复数z (m2 3m 2) (m2 2m 8)i的共腕复数在复平面上的对应点在第一象限内，则实数m 的取范围是.17 .已知|z 1,则复数 2z 3 4i ,对应点的轨迹是 .18 .设z log2(m2 3m 3) i log2(m 3)(m R),若z对应的点在直线 x 2y 1 。上，则 m的值 是.19 .已知向量OZ1对应的复数是5 4i ,向量OZ2对应的复数是 5 4i,则OZ1 +OZ2对应的复数是 20 .复数z1 = 3 + 4i , z2=0, z3=c+(2c 6)i在复平面内对应的点分别为 A, B, C若/BAC 是钝角，则