求数列通项公式的八种方法

1、求数列通项公式的八种方法一、公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法1、累加法适用于：an 1 an f(n)a2 ai f(1)a3 a2 f (2)右 an 1 an f (n) (n 2)，则 llan i anf (n)n两边分别相加得an 1 aif(n)k 1例1已知数列an满足an1 an 2n 1,3 1，求数列务的通项公式解：由 an 1 an 2n 1 得 a. 1 a. 2n 1 则所以数列an的通项公式为an n2。例2已知数列an满足am an 2 3n 1,印3，求数列a.的通项公式3(1 3n )1 3解法一：由 an1 an 2 3n

2、1 得 am a. 2 3n 1 则an(anan 1) (an 1an 2) L(a3a?)(a2 a1) a1n 1(2 31) (23n2 1)L(23211) (2 31) 32(3n 13n 2 L32 31)(n1)3(n1) 33n 3 n 1 3所以 an3nn 1.解法二：an 1 3an2 3n 1两边除以3n1an 1an3n 13n2 133n 1，因此即2(n 1)j(13n 1)12n1 113n313322 3n '则an2n 3*1n 33n1322an 1anf(n),则竺 f(1)，竺 f(2),LL,也a1a2anf(n)2、累乘法适用于：an 1

3、 f(n)ann两边分别相乘得，也a1f(k)a1k 13，求数列an的通项公式例3已知数列an满足an 1 2(n 1)5n a“,印解：因为an 12(n 1)5n务，內3，所以an0，则也an2(n 1)5n，故an4 1a3 a2anlaan 1 an 2a2 a12(n 11)5112(n21)5n2L 2(2 1)522(11)5132n 1n(n 1) L 3 2 5(n 1 (n 2) L 21 3n(n 1)3 2n 1n!n(n 1)所以数列an的通项公式为an 3 2n1 5 n!.二、待定系数法适用于an 1 qanf (n)分析：通过凑配可转化为an 11 f (n)

4、2®n1f(n)；解题基本步骤: 1、确定f(n)3、列出关系式 an i i f (n) 2® f n)4、 比较系数求i,25、 解得数列anif(n)的通项公式6、解得数列an的通项公式 例4已知数列an中，ai 1,an 2% 1 1(n 2)，求数列的通项公式。解法一：Q an 2务 i 1(n 2),又Qq 1 2, an 1是首项为2,公比为2的等比数列an 1 2n，即 an 2n 1解法二：Q an 2am 1(n 2),两式相减得an 1 an 2(an an 1)(n 2)，故数列an 1 a“是首项为2，公比为2的等比数 列，再用累加法的例5已知数列

5、an满足am 2an 4 3n1, a, 1，求数列的通项公式。解法一：设an1 13n2(an 3n1)，比较系数得1 4, 2 2 ,则数列an 4 3n1是首项为a1 4 31 15，公比为2的等比数列，所以 an43n152n1，即an43n1 52n 1解法二：两边同时除以3n1得：瞎2牛电，下面解法略3n 13 3n 32注意：例6已知数列an满足am 2an 3n2 4n 5,1，求数列a.的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(a“ xn2 yn z)比较系数得x 3,y 10,z 18 ,所以 an 13(n 1)210(n 1) 182(an 3

6、n2 10n 18)由 a13 12 10 1 181 31320，得 an 3n210n 1802则邑 3(n 1)10(n D 18 2，故数列an 3n2 10n 18为以an 3n2 10n 18a1 3 12 10 1 18 1 31 32为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 32 2n 1，贝卩 an 2n 4 3n2 10n 18。注意：形如 an 2 pan 1 qan时将an作为f(n)求解分析：原递推式可化为an 2 an 1 (p)(an 1an)的形式，比较系数可求得，数列an 1an为等比数列。例7已知数列an满足an 2 5an1 6an,a

7、11念2，求数列何的通项公式。解：设 an 2an 1 (5)(an 1an)比较系数得3或2，不妨取2，则an 22an13(an12an)，则an12an是首项为4,公比为3的等比数列an 1 2an 4 3n 1，所以 an 4 3n 1 5 2n 1四、迭代法例8已知数列an满足an1 a3(n1J d 5，求数列an的通项公式。解：因为am审诃，所以n (n 1)又a1 5，所以数列an的通项公式为an 53"“2=。注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。五、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式 例9已知数列an满足ani 2 3n a5 ,印

8、7 ,求数列a.的通项公式解：因为an1 2 3n5an，a17，所以an 0，an 10两边取常用对数得lg an 15lg annlg3lg2设 lgan 1 x(n 1) y5(lg anxny)（同类型四）比较系数得，lg3x, ylg3lg24164由晌：3 1lg3 lg 2164lg7lg3 14lg36lg20，得 lganlg3n lg3lg20，4n4164所以数列lg an也n翌 也是以lg7也 也 必为首项，以5为公比的等比数41644164列，则lgan里n里巫(lg7里 里 也)5n1，因此41644164lg3lg3Ig2.n1lg3lg3lg2lg% (Ig7)

9、5n4164464111n 11lg(7 34 3柩 24)5n 1 lg(34 3花 2刁)111n 115“ 1lg(7 34 316 24)5lg(34 316 24)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162)5n 4n 15n 1 1则 an 75"1 3 162=。2、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例10已知数列an满足an12a an宁11，求数列an的通项公式。解：求倒数得丄an 11丄2 an1an 111an2an 1a为等差数列首项寸1，公差为1，1 1訂 2(n 1), an3、换元法适用于含根式的递推关系例11已知数列a&quo

10、t;满足a"1汕4an , 1 ), a1 1，求数列a.的通项公式。解：令 bn J 24an，则 an £(b：1)代入an24a即 4b； 1(bn3)2因为bn124an 0，则 2bn 1bn3，即 bm可化为bn 113 2 (bn 3)所以bn3是以bi3此bn 31 n 11 n 22(二) ()n.1 24&2b，则bn1 -1押1 4寺l1an 3(1)n (1)n 1。3 4231 24 1 3 2为首项,1(?)2 3，即、.厂24 a以-为公比的等比数列，因22 3，得六、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前项，猜出数列的通项公式,再

11、用数学归纳法加以证明。例12已知数列an满足时a.內黑2? 3)28 '求数列an的通项公式。解：由an 1 an由此可猜测器F，下面用数学归纳法证明这个结论。2当n 1时，/8，所以等式成立。(2)假设当n k时等式成立，即ak2X，则当n k 1时,由此可知，当n k 1时等式也成立。根据(1), ( 2)可知，等式对任何n N*都成立。七、阶差法1、递推公式中既有Sn，又有an分析：把已知关系通过anSl，n 1转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相Sn Sn i, n 2应的方法求解。例13已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn丄(务1)(务2)，且a2.a4.

12、a96成等比数列，求数列an的通项公式。解：T对任意n N有Sn丄(an 1)(an 2)61 当n=1时，S1 a1佝1)佝2)，解得4 1或a1 26当 nA2 时，S.1 ；(am 1)(am 2)6-整理得：(an an 1)(an an 1 3) 0T an各项均为正数，二an an 1 3当a11时，an 3n 2，此时a4 a2a9成立当a1 2时，an 3n 1，此时a： a?a9不成立，故印2舍去所以an 3n 22、对无穷递推数列例14已知数列a.满足a1 1, an a1 2a? 3a3 L (n 1总山2)，求a.的通项公式。解：因为 ana12a23a3 L(n 1)

13、an 1(n2)所以 an 1 a2a23a3L (n1总 1 na.用式式得 an 1 an na.则an 1(n 1)务5 2)故葩ann 1(n2)所以a电邑L竺a?an 1 an 2a2n!n(n 1) L 4 3a2a2.2由anai2a2 3a3 L (n1)an i(n 2)，取n 2得 a? a1 2a?，则 a?a1，又知 a11，则 a21 ,代入得an 1 3 4 5 L nn!。2所以，an的通项公式为八、不动点法不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x°D，使f() x0成立，则称Xo为f (x)的不动点或称(Xo, f (Xo)为函数f (

14、x)的不动点。分析：由f(x) x求出不动点Xo，在递推公式两边同时减去X。，在变形求解。类型一：形如 an 1 qan d例15已知数列an中，a1 1,an 2am 1(n 2),求数列an的通项公式。解：递推关系是对应得递归函数为f(x) 2x1，由f(x) x得，不动点为-1an 1 1 2(an 1),类型二：形如an 1a an b cand分析：递归函数为f(x)旦Uc x d(1)若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将an两式相除得an kan 1 qanP 其中 k a pc . a(a pq)kn1 p pq)qa qc佝 p)kn 1 (a1 q)(2)若有两个相同的不动点p,则将递归关系式两边减去不动点 p,然后用1除,得- k，其中kan 1 P an P2c